Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 19
Текст из файла (страница 19)
4.29). Тогдабоковые частоты будут подавляться рассматриваемым звеном так же, как ониподавляются звеном с немодулированным сигналом (рис. 4.28).Постоянную времени звена с модулированным сигналом, если оно представляетсобой для огибающей апериодическое звено первого порядка, можно определить по тойчастоте огибающей, при которой боковые частоты подавляются в 2 раз.Для этого, аналогично предыдущему, на амплитудной частотной характеристикезвена (рис. 4.29) должно быть сделано следующее построение. Необходимо определитькоэффициент передачи звена k на несущей частоте, что соответствует постоянномувходному сигналу (4.68) или частоте огибающей Ω = 0 .
Затем на высоте 0,707kпроводится горизонтальная прямая до пересечения с частотной характеристикой иопределяется полоса пропускания ∆wп . Постоянная времени определяется на основании2(4.67) и равна T =∆wпРассмотреннаявышеметодикапозволяетсформулироватьправило,устанавливающее требования к амплитудной частотной характеристике звена смодулированным сигналом для того, чтобы его воздействие на огибающую было такимже, каким является воздействие обычного звена заданного типа на немодулированныйсигнал.
Это правило сводится к следующему. Амплитудная частотная характеристиказвена с модулированным сигналом должна быть такой же, как амплитудная частотнаяхарактеристика звена с немодулированным сигналом, но эта характеристика должна бытьсимметричной не относительно оси ординат, а относительно несущей частоты.
Звено снемодулированным сигналом может рассматриваться при этом как частный случай звена смодулированным сигналом при несущей частоте w0 = 0.Для того чтобы избежать ошибок в связи с наличием неминимально-фазовыхзвеньев, сформулированное выше правило для амплитудных характеристик должно бытьдополнено аналогичным правилом для фазовых частотных характеристик. Если известно,что все рассматриваемые звенья относятся к категории минимально-фазовых звеньев, топривлечение фазовых характеристик не является необходимым и можно ограничитьсяиспользованием только амплитудных характеристик.Таким образом, в общем случае, если обозначить эквивалентную частотнуюпередаточную функцию по огибающей Wэ ( jΩ) , то для частотной передаточной функциизвена с модулированным сигналом W(jw) должно выполняться условиеW ( jw) = Wэ ( jΩ) Ω = w− w = Wэ ( j ( w − w0 ) (4.71)0Так, например, если необходимо, чтобы по своему действию на огибающуюмодулированного сигнала звено соответствовало апериодическому звену первого порядкас эквивалентной частотной передаточной функциейkWэ ( jΩ) =1 + jΩTто оно должно иметь частотную передаточную функциюkW ( jw) =1 + j ( w − w0 )TПриблизительно такую передаточную функцию имеют, в частности.
резонансныеусилители, настроенные на несущую частоту w0, причем постоянная времени Топределяется полосой пропускания усилителя в соответствии с (4.67).Проиллюстрируем применение изложенного правила на другом примере. Возьмемрассмотренную ранее дифференцирующую RС-цепь (рис. 4.24, а). Эта цепь годится длядифференцирования немодулированного сигнала.
Если на ее вход податьмодулированный сигнал, то дифференцирования не получится. Действительно,рассмотрим входной сигнал u1 = U 1 (t ) cos w0 t , где U1 представляет собой закон измененияамплитуды во времени, т. е. огибающую или сам передаваемый сигнал.Продифференцируем это выражение, считая для простоты, что дифференцирующая цепьидеальна:du1 dU 1 (t )=cos w0 t − w0U 1 (t ) sin( w0 t ) (4.72)dtdtВ результате получилось два слагаемых. Первое слагаемое является полезным, таккак содержит требуемую производную от огибающей, а второе — вредным, так как онопредставляет собой ложный сигнал, который может в сотни и тысячи раз превышать поуровню полезный сигнал.АмплитуднаячастотнаяхарактеристикадифференцирующейRС-цепи(дифференцирующего звена с замедлением) изображена в табл.
4.7. Для получениядифференцирования огибающей модулированного сигнала необходимо осуществитьтакую цепь, у которой амплитудная характеристика была бы подобна изображенной втабл. 4.7 и была бы при этом расположена симметрично относительно несущей частоты.Такая характеристика изображена на рис. 4.30, а..Из рассмотрения характеристики следует, что звено не должно пропускать несущуючастоту. Это должно быть понятным и физически, так как несущая частота в чистом виде,т. е.
отсутствие боковых частот, будет при постоянном сигнале на входе (см. (4.68)). Вэтом случае производная сигнала (по огибающей) будет равна нулю и на выходе звена недолжно быть никакого сигнала.При изменении сигнала по какому-либо закону, например в соответствии свыражением (4.69), появятся боковые частоты, которые будут пропускаться звеном темсильнее, чем дальше они отстоят от несущей частоты, т. е.
чем больше частотаогибающей. Таким образом, звено будет обладать дифференцирующими свойствами поотношению к огибающей модулированного сигнала.Амплитудная частотная характеристика, изображенная на рис. 4.30, а, можетреализоваться различным образом. Такая характеристика может быть получена, например,от резонансной параллельной LС-цепи, Т-образной цепи и т. п., настроенных на несущуючастоту (рис. 4.30, б и в).Обратимся теперь ко второй указанной выше задаче.
При известной частотнойпередаточной функции звена W(jw) определим эквивалентную частотную передаточнуюфункцию Wэ ( jΩ) для огибающей модулированного сигнала. Для этого вспомним, чточастотная передаточная функция звена (4.17)W ( jw) = A( w)e jψ = U ( w) + jV ( w)представляет собой комплексное число, модуль которого А(w) равен отношениюамплитуд выходной и входной величин, а аргумент ψ — сдвигу фаз при гармоническомвходном сигнале в установившемся режиме. Если на входе звена действует величинаx1 (t ) = X 1 max sin wt , то на выходе будетx 2 (t ) = X 2 max sin( wt + ψ ) = X 1 max A( w) sin( wt + ψ ) = X 1 max [U ( w) sin wt + V ( w) cos wt ](4.73)Для получения частотной передаточной функции по огибающей Wэ ( jΩ) звена смодулированным сигналом обратимся к гармоническому сигналу по огибающей (4.69).Разложим его на боковые частоты w0 + Ω и w0 − Ω : в соответствии с выражением (4.70).Тогда, используя зависимость (4.73) получимUu2 (t ) = 1max [U (w0 + Ω) sin(w0 + Ω)t + V (w0 + Ω) cos(w0 + Ω)t − U (w0 − Ω) sin(w0 − Ω)t −(4 .2− V (w0 − Ω) sin(w0 − Ω)t ]74)где U(w) и V(w) — вещественная и мнимая части частотной передаточной функцииW(jw).Путем разложения синусов и косинусов сумм и разностей углов это выражениепреобразуется к видуV (w0 + Ω) − V (w0 − Ω)⎡U (w0 + Ω) + U (w0 − Ω)⎤u 2 (t ) = U1 max ⎢sin Ωt +cos Ωt ⎥ cos w0 t +22⎣⎦V (w0 + Ω) + V (w0 − Ω)⎡U (w0 + Ω) − U (w0 − Ω)⎤sin Ωt ⎥ sin w0 tsin Ωt ++ U1 max ⎢22⎣⎦(4.75)Остановимся теперь на двух важных частных случаях.1.
Рассмотрим случай «симметричной» относительно несущей частоты частотнойпередаточной функции, что определяется равенством W [ j ( w0 + Ω)] = W * [ j ( w0 − Ω)] , гдезвездочкой отмечена сопряженная комплексная величина. Из этого равенства вытекаютдва других:U ( w0 + Ω) = U ( w0 − Ω) и V ( w0 + Ω) = −V ( w0 − Ω) .Тогда формула (4.75) существенно упрощается и может быть записана в видеu 2 (t ) = U1 max [U (w0 + Ω) sin Ωt + V (w0 + Ω) cos Ωt ] cos w0 t (4.76)Рассматривая огибающую, т.
е. отбрасывая множитель cos w0t , и сравниваявыражения (4.76) и (4.73), убеждаемся, что эквивалентная частотная передаточнаяфункция для огибающей Wэ ( jΩ) может быть получена из частотной передаточнойфункции звена W(jw) подстановкой w = w0 + Ω :Wэ ( jΩ) = W ( jw) Ω = w− w = W ( j ( w − w0 )) (4.77)0что согласуется с полученной ранее формулой (4.71).Так, например, если звено типа резонансного усилителяимеет частотнуюпередаточную функциюkW ( jw) =1 + j ( w − w0 )Tто передаточная функция для огибающей будетkkWэ ( jw) ==w= w0 + Ω1 + j ( w − w0 )T1 + jΩTПереход к обычной передаточной функции может быть сделан заменой jΩ = p .
Врезультате из (4.77) получаемWэ ( p ) = W ( jw0 + p) (4.78)2. Рассмотрим теперь другой важный случай, когда передаточная функция W(jw) неявляется «симметричной», но слагаемое в формуле (4.75), определяемое множителемsinw0t, отсеивается в последующих звеньях каким-либо фазочувствительным устройством,например фазовым дискриминатором. Тогда это слагаемое может быть отброшено иформула (4.74) упрощается:V (w0 + Ω) − V (w0 − Ω)⎡U (w0 + Ω) + U (w0 − Ω)⎤u 2 (t ) = U1 max ⎢sin Ωt +cos Ωt ⎥ cos w0 t (4.79)22⎣⎦Так как U(w)—функция четная, а V(w) — нечетная, выражение может бытьпредставлено в следующем виде:V (w0 + Ω) + V (w0 − Ω)⎡U (w0 + Ω) + U (w0 − Ω)⎤u 2 (t ) = U1 max ⎢sin Ωt +cos Ωt ⎥ cos w0 t (4.80)22⎣⎦В этом случае эквивалентная частотная передаточнаяфункция дляогибающей может быть определена из выраженияW [ j (Ω + w0 )] + W [ j (Ω − w0 )](4.81)2Аналогичный результат может быть получен,если фазочувствительноеустройствопропускаетсигналфиксированнойфазы,напримерU (t ) cos(w0 t + ϕ ) , где ϕ = const .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
