Теория систем автоматического управления. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов, 1975 (1189552), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда вместо выражения (4.81) получаетсяW э ( jΩ ) =W [ j (Ω + w0 )]e jϕ + W [ j (Ω − w0 )]e − jϕ(4.82)2Переход к обычной передаточной функции Wэ ( p ) делается, как и выше, заменойjΩ = p .Формулы (4.81) и (4.82) позволяют просто находить передаточную функцию поогибающей. Однако к ним следует относиться с осторожностью.
Сформулированное вышеусловие применимости этих формул заключалось в том, что можно было отброситьслагаемое в (4.75), пропорциональное sinw0t, и оставить слагаемое, пропорциональноеcosw0t или в общем случае cos( w0 + ϕ ) . Однако для этого еще недостаточно, чтобыпоследующее фазочувствительное устройство в принципе могло отсеивать слагаемое смножителем sinw0t. Необходимо, чтобы это можно было реализовать технически, для чегонужна относительная малость слагаемого с sinw0t по сравнению со слагаемым с cosw0t.Только в этих условиях при имеющейся всегда нестабильности фазочувствительногоустройства может быть уверенно, выделено слагаемое с множителем cosw0t.W э ( jΩ ) =В качестве примера, иллюстрирующего случай, когда формула (4.81) практическинеприменима, рассмотрим опять дифференцирующую RС-цепь (рис.
4.24, а). Примем дляпростоты, что ее частотная передаточная функция соответствует идеальномудифференцирующему звену W ( jw) = kjw . Тогда, в соответствии с формулой (4.81),частотная передаточная функция для огибающей будетkj (Ω + w0 ) + kj (Ω − w0 )W э ( jΩ ) == kjΩ2Это выражение показывает, что звено обладает дифференцирующими свойствами идля огибающей. Действительно, если обратиться к формуле (4.72), то видно, что приустранении слагаемого с множителем sinw0t звено будет обладать дифференцирующимисвойствами. Однако, как уже указывалось выше при анализе выражения (4.72), еговторое (вредное) слагаемое может в сотни и тысячи раз превышать первое (полезное)слагаемое.
Выделить первое слагаемое и отсеять второе практически не, удается.Поэтомуобычнаядифференцирующая RС-цепь не может применяться длядифференцирования огибающей..Пользоваться формулами (4.81) и (4.82) можно тем уверенней, чем большуюсимметриюотносительно несущей частоты будет иметь частотная передаточнаяфункция звена W(jw). При полной симметрии слагаемое с множителемsinw0t ввыражении (4.75) будет отсутствовать и формула (4.81) вырождается в формулу (4.77).
Врассмотренном примере дифференцирующей RС-цепи частотная передаточная функцияобладает сильной несимметрией относительно несущей частоты, что и привело котрицательному результату.В табл. 4.8 приведены приближенные значения передаточных функций длянекоторых звеньев с модулированным сигналом, используемых в практике и сводящихсядля огибающей к апериодическому звену первого порядка. Параметры передаточныхфункций определены для фиксированной фазы последующего фазочувствительногоустройства ϕ = const .
Эта фаза может устанавливаться равной нулю ( ϕ = 0 ), т. е.устройство фазируется с входным сигналом звена (4.69). Фазочувствителъное устройствоможет: фазироваться также с выходным сигналом звена при постоянном входном сигналевида (4.68). В этом случае ϕ = ϕ 0 = const , где ϕ0 — фазовый сдвиг несущей частоты привходном сигнале u1 = U 1 max cos w0 t . При симметричной относительно несущей частотычастотной передаточной функции соблюдается условие ϕ = ϕ 0 = 0 .На рис. 4.31 изображена для иллюстрации переходная характеристика звена смодулированным сигналом, эквивалентная для огибающей апериодическому звенупервого порядка.ГЛАВА 5СОСТАВЛЕНИЕ ИСХОДНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СИСТЕМАВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ§ 5.1.
Общий метод составления исходных уравненийСистемы автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложнымиустройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальныхуравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальноеуравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее числоуравнений было не меньше, чем число независимых обобщенных координат,определяющих состояние системы.При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо преждевсего выявить физический закон, определяющий его поведение.
Таким законом можетбыть, например, закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления),закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры), закон равновесиямоментов (объекты регулирования скорости или угла поворота), закон равновесияэлектродвижущих сил (электрические цепи) и другие основные законы физики.Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходнымдифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы.Например, для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может бытьзаписан в следующем виде:dΩJ= M В − MТdtгде J и Ω — приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя, Mв —вращающий момент двигателя, Mт — тормозной момент внешних сил (момент нагрузки).После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, откоторых зависят переменные, входящие в это уравнение.Для приведенного выше примера необходимо установить, от каких величин зависят икакими выражениями определяются вращающий момент двигателя Мв и тормозноймомент Мт на его валу.
Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерциипостоянной величиной или он изменяется в функции какой-либо переменной (например, вфункции угла поворота двигателя).Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравнений в соответствии сглавой 3, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно линеаризациядопустима, если отсутствуют разрывные, неоднозначные или резко изгибающиесяхарактеристики и уравнения справедливы в течение всего интервала временирегулирования.В результате линеаризации получается совокупность дифференциальных уравнений,описывающих движение рассматриваемой системы. Введя алгебраизированный операторdдифференцирования p = , эту совокупность можно представить в видеdta11 ( p ) x1 + a12 ( p ) x 2 + ....
+ a1k ( p ) x k = f 1 (t ) ⎫a 21 ( p ) x1 + a 22 ( p ) x 2 + .... + a 2 k ( p ) x k = f 2 (t )⎪⎪⎬ (5.1)..................................................................... ⎪a k 1 ( p ) x1 + a 2 k ( p ) x1 + .... + a kk ( p ) x1 = f k (t ) ⎪⎭где x1, х2, . . ., хk — обобщенные координаты системы, в том числе и регулируемаявеличина у (t) и ошибка х (t), а.
f1 (t),f2(t), ...,fk(t) — функции времени, представляющиесобой задающие и возмущающие воздействия. В дальнейшем без потери общностирассуждений будем считать, что к системе приложены только два воздействия —задающее воздействие g(t) и возмущающее воздействие f(t). Например, можно полонить,что f1(t) = g(t), а f2(t)=f(t). Кроме того, в (5.1) введены некоторые полиномы aij отоператора р.Совокупность (5.1) может быть решена относительно любой обобщенной координаты.Обычно она решается либо относительно отклонения регулируемой величины отзаданного значения, т. е. ошибки х(t), либо относительно регулируемой величины у(t).Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило,является более важным.
В этом случае получается дифференциальное уравнениеD( p) x(t ) = Q( p) g (t ) + N ( p) f (t ) (5.2)dПолином D(р) степени n от оператора p =характеризует свободное движениеdtрегулируемого объекта с регулятором. Он называется характеристическим полиномом иможет быть представлен в видеD( p ) = a 0 p n + a1 p n −1 + .... + a n −1 p + a n (5.3)где а0, . .
., аn в линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.Полином Q(р) той же степениQ( p) = c0 p n + c1 p n −1 + .... + c n −1 p + c n (5.4)где с0, . . ., сn — постоянные коэффициенты, определяют влияние задающего воздействияg(t) на характер изменения ошибки х(t). Под задающим воздействием g(t) здесьпонимается требуемый закон изменения регулируемой величины у(t). Выражение Q(р)g(t)не равно нулю только в случае программного регулирования и в следящих системах.
Всистемах автоматической стабилизации g(t)= соnst. Поэтому всегда можно выбратьначало отсчета так, чтобы g(t)=0, что упрощает выражение (5.2).Полином N(р) определяет влияние возмущающего воздействия f(t) на характер измененияошибки х(t). В уравнении (5.2) учтено одно возмущение f(t), действующее на системурегулирования. В принципе таких возмущений может быть несколько. Однако вследствиелинейности действует принцип суперпозиции и достаточно рассмотреть методику учетатолько одного возмущения; при наличии нескольких возмущений необходимо лишьпросуммировать результат. Если для какого-либо возмущающего воздействия f к (t ) ≠ 0полином Nk(p) = 0, то говорят, что система автоматического регулирования являетсяинвариантной относительно этого воздействия.Равным образом в системах программного регулирования и в следящих системахравенство Q(р) = 0 означает, что система является инвариантной относительно задающеговоздействия.Из (5.2) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования может бытьпредставлена в виде суммы двух составляющих.
Первая составляющая определяетсяналичием задающего воздействия g(t). Вторая составляющая определяется наличиемвозмущающего воздействия (в общем случае— возмущающих воздействий илиначальных условий). В системах автоматической стабилизации ошибка сводится толькоко второй составляющей, т. е. определяется только наличием возмущающих воздействий.При решении системы дифференциальных уравнений относительно регулируемойвеличины у(t) получается так называемое уравнение движения регулируемого объекта приналичии автоматического регулирования.Это уравнение может быть получено в результате подстановки выражения для ошибки хx(t)=g(t)-y(t) в уравнение (5.2):D( p ) y (t ) = Q( p ) g (t ) − N ( p) f (t )(5.5)R(t ) = D( p) − Q( p)Степень этого полинома m ≤ n :R ( p ) = b0 p m + b1 p m −1 + .... + bm −1 p + bmКак уже говорилось выше, в системах автоматической стабилизации при g(t) = соnstможно при соответствующем выборе начала отсчета получить g(t) = 0, что упрощаетвыражение (5.5).При заданных функциях времени в правых частях дифференциальных уравнений (5.2) и(5.5) эти уравнения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомыхфункций времени, т.
е. может быть найдено изменение ошибки регулирования во времених(t) из (5.2) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором у(t) из (5.5).Уравнения (5.1) могут быть также представлены в форме Коши, т. е. в видесовокупности n уравнений первого порядка, где n — порядок полинома D(р):nki =1i =1x j = ∑ aij xi + ∑ bij f i( j = 1,...., n) (5.6)Здесь xi(i=1, . . ., n), в отличие от (5.1), представляют собой так называемые фазовыекоординаты системы, fi(i=1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
