МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Дляэлементов такой совокупности можно ввести алгебраические операции сложения,умножения и умножения на число, в связи с чем ее называют алгеброй локальныхнаблюдаемых, или локальной алгеброй (данной области пространства-времени).Концепция локальных наблюдаемых и правила действий с ними фактически обобщаютформализм операторов обычной квантовой механики и вполне естественны дляквантовой физики. Алгебраический подход эффективен при изучении наиболее общихсвойств квантовой теории поля. Так, в его рамках дано простое и компактное описаниесвойств причинности в релятивистской квантовой теории, найдены строгие критерииэквивалентности физических теорий и выяснено, при каких дополнительных условияхтеория локальных наблюдаемых включает в себя квантованные поля.Все перечисленные подходы приспособлены, в первую очередь, для описанияквантовых систем, не включающих частиц нулевой массы.
Сюда относится прежде всеготеория сильного взаимодействия в ее традиционной форме. Реальные теории сбезмассовыми частицами (и наиболее важная из них — квантовая электродинамика), какправило, принадлежат к разряду теорий калибровочных полей. Для таких теорий строгодоказаны теоремы запрета, согласно которым принципы локальности и релятивистскойинвариантности несовместимы с постулатом положительности нормы в пространствефизических состояний. Поэтому здесь возникает необходимость существенноймодификации схемы аксиоматической квантовой теории поля.
Попытки построенияподобной модификации связываются с использованием пространств состояний, допускающих отрицательную норму для векторов состояний (пространств с индефинитнойметрикой).Подход Уайтмена — наиболее разработанное и изученное из направленийаксиоматической квантовой теории поля, давшее самый большой вклад в ее развитие.Именно на его основе полностью выяснено, каким математическим аппаратом следуетпользоваться для описания релятивистской квантовой системы с помощью взаимодействующего квантового поля. Этот аппарат позволил строго вывести из аксиомаксиоматической квантовой теории поля нетривиальные физические следствия.
Первымиз них явилось обобщение СРТ-теоремы, полученное Р. Йостом. СРТ- теорема Йостараскрывает глубокую связь причинных свойств теории со свойствами симметриипространства-времени и допускает непосредственную проверку на опыте. Следующеекрупное достижение подхода Уайтмена — построение теории рассеяния Хаага-Рюэля [Р.Хааг, Д. Рюэль , 1958-62], установившей, что в схеме Уайтмена, исходящей из понятияполя, а не частицы, асимптотические состояния поля обладают свойствами частиц.
Темсамым была успешно решена проблема корпускулярной интерпретации полевой теории,то есть доказано, что теория поля одновременно способна служить и теорией частиц.Аксиоматический подход Боголюбова, первый по времени появления, оказалнаибольшее влияние на развитие квантовой теории поля и вообще теории элементарныхчастиц (в частности, тем, что выработал понятие об амплитуде процесса в его различныхканалах как о единой аналитической функции своих переменных). Хотя в систему егоаксиом входят дополнительные предположения (по-видимому, вытекающие из основныхаксиом), оправданием таких допущений служит то, что с их помощью существенносокращается путь к результатам, которые могут быть непосредственно проверены наопыте. Результаты такого рода в аксиоматической квантовой теории полянемногочисленны, но обладают особой ценностью, поскольку могут служить критериямисправедливости основ квантовой теории поля.
Значительная их часть получена в рамкахаксиоматики Боголюбова. Прежде всего к ним относится доказательство дисперсионныхсоотношений квантовой теории поля (Н. Н. Боголюбов, 1956). Использованиедисперсионных соотношений развилось в широкий метод изучение взаимодействияэлементарных частиц, являющийся одним из основных рабочих средств квантовойтеории поля.
Другой принципиальный результат – доказательство аналитичностиамплитуды рассеяния в некотором эллипсе в комплексной плоскости угла рассеяния (X.Леман, 1958; А. Мартен, 1966). Далее, для произвольных стабильных масс доказанааналитичность амплитуды (при фиксированной передаче импульса) вне окрестностиначала координат разрезанной комплексной плоскости инвариантной энергии (Ж. Брос,В. Глазер, А. Эпштейн, 1965). Последние результаты приводят к многочисленным,52непосредственно проверяемым следствиям аксиоматической квантовой теории поля.На рубеже 60-70-х гг. принципиальные проблемы этой традиционнойаксиоматической квантовой теории поля были в основном решены.
Однако в то же времянаметились новые проблемы для квантовой теории поля в целом, связанные собнаружением новых особенностей процессов взаимодействия элементарных частиц.Большую, если не главную роль в них играют структуры, недостаточно учитывавшиесяили совсем не учитывавшиеся традиционной квантовой теорией поля: правиласуперотбора различных типов, калибровочные поля, фазовые переходы и топологическиезаряды.
Аксиоматический подход пока не занимает в их изучении видного места. Но и наэтом новом этапе квантовой теории поля фундаментальные аксиомы, лежащие в основепрежней аксиоматической квантовой теории поля, и ее результаты сохраняют силу иценность для современных исследований. Новая аксиоматической квантовой теории полядолжна быть не отменой, а обогащением прежней, включив в себя положения, которыеотражают специфику новой структуры (что, возможно, потребует и перехода на новыйматематический язык). К этому направлению относятся некоторые результатыконструктивной квантовой теории поля, поиски строгого аппарата для теории калибровочных полей, алгебраическая теория правил суперотбора. Наиболее актуальная задачав данный период — создание аксиоматической формулировки калибровочной квантовойтеории поля.Литература.: [1] Й о с т Р., Общая теория квантованных полей, пер.
с англ., М., 1967; [2] Боголюбов Н. Н., ЛогуновА.А., Тодоров И. Т., Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля, М., 1969; [3] Общие принципы квантовойтеории поля и их следствия, М., 1977.КОНСТРУКТИВНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1Г В. ЕфимовКонструктивная квантовая теория поля − это направление квантовой теорииполя, основная задача которого состоит в строгом математическом обосновании результатов, получаемых в квантовой теории поля. В отличие от аксиоматическойквантовой теории поля, конструктивная квантовая теория поля призвана ответить навопрос, существуют ли в математическом смысле нетривиальные квантованные поля дляобычно рассматриваемых взаимодействий и удовлетворяют ли они основным аксиомамквантовой теории поля и аксиоматической квантовой теории поля. В задачуконструктивная квантовая теория поля входит реальное построение таких полей,изучение математических свойств и различных квантовополевых объектов, связанных сэтими полями, и выяснение физического содержания рассматриваемой конкретноймодели квантовой теории поля.Конструктивная квантовая теория поля как самостоятельный раздел квантовойтеории поля возникла в начале 60-х гг.
и связана с именем А. Вайтмана (А. Wightman),который сформулировал ее основную задачу. Вторым этапом развития конструктивнойквантовой теории поля можно считать 2-ю половину 60-х - начало 70-х гг. [Дж. Глимм(J. Glimm), А. Джаффе (А. Juffe) и др.], когда было доказано существованиеквантованных полей в простейших суперперенормируемых взаимодействиях впространстве размерности d= 2. Третий этап начался в 70-х гг.
и связан с применениемметодов евклидовой теории поля. Основные теоремы евклидовой квантовой теории полябыли доказаны К. Остервальдером (К.Osterwalder) и Р. Шрадером (R. Schrader). В начале80-х гг. направление конструктивной квантовой теории поля испытывает кризис,поскольку методы, развитые в пространстве d = 2, с большим трудом переносятся впространство d = 3 и не ясно, что можно сделать в 4-мерном пространстве-времени (d =4).1Математическая физика. Энциклопедия. М.199853На первом этапе основным объектом изучения конструктивной квантовой теорииполя являлся бесконечный набор функций Вайтмана {Wn(х1, ..., хn)}, где х1, ..., хn п = 1, 2,3, ..., — точки пространства-времени ti,хi (используется система единиц, в которой = с =1).
Задание этих функций эквивалентно знанию квантованных полей в смыслеаксиоматической квантовой теории поля (так называемая теорема реконструкцииВайтмана). Функции Вайтмана, вообще говоря, можно было бы вычислить как вакуумные средние от произведения полей. Например, в простейшем случае однокомпонентногоскалярного поля ϕ(х)Wn(х1, ..., хn) = <0|ϕ(х1)… ϕ(хn)|0>,(1)где гейзенбергово поле ϕ(х) определяется соотношениемϕ(х) = ϕ (t,х) = ехр(iHt) ϕ(х) ехр(−iHt).(2)Здесь ϕ(х) — “начальное” поле, то есть значение поля ϕ (t,х) в точке пространствах в момент времени t = 0, аH = H[ϕ] = H0[ϕ]+gHI [ϕ](3)− гамильтониан системы, представленный в виде суммы гамильтониана H0,описывающего невзаимодействующую систему, и гамильтониана взаимодействия gHI,где g — константа связи (квадратные скобки означают функциональную зависимость отполя ϕ(х).Однако наличие расходимостей — объемных, ультрафиолетовых и, возможно,других — делает прямое вычисление по формуле (1) невозможным.
Поэтомудоказательство существования функций Вайтмана (1) строится следующим образом. Вгамильтониан взаимодействия (3) вводятся объемное (Λ) и ультрафиолетовые (σ)“обрезания”, так что регуляризованный гамильтониан HΛσ[ϕ] становится хорошоопределенным эрмитовым оператором, а для него существует регуляризованный наборфункций Вайтмана {Wn(⋅ |Λ,σ)}, где точка обозначает набор пространственно-временныхпеременных.
Далее к регуляризованному гамильтониану добавляются так называемыеконтрчлены, структура которых предсказывается теорией возмущений и которые призваны сократить возникающие расходимости в пределе снятия обрезания. Задачейконструктивной квантовой теории поля является, во-первых, доказательствосуществования конечного предела(4)lim lim Wn (⋅ | Λ, σ) = Wn (⋅)σ →∞ Λ →∞при определенном выборе контрчленов и, во-вторых, доказательство того, чтополученные предельные функции {Wn(⋅)} удовлетворяют всем требованиямаксиоматической квантовой теории поля.Математические трудности при непосредственной реализации этой программыопределяются сложностью операторной структуры вводимых контрчленов, что, в своюочередь, диктуется конкретным видом рассматриваемой квантово-полевой модели.Наиболее простые контрчлены возникают в так называемых суперперенормируемыхтеориях, то есть в теориях, где число расходящихся диаграмм Фейнмана конечно.Именно по этой причине первые нетривиальные примеры построения релятивистскихлокальных квантованных полей были получены в суперперенормируемых моделях,характеризуемых плотностями гамильтониана взаимодействия ϕ 24 , P n (ϕ) 2 , ψ ψϕ 2 , гдеверхний индекс — степень взаимодействия, а нижний — размерность пространствавремени d = 2, Рn— многочлен степени п, ψ − спинорное поле Дирака (черта над ψозначает дираковское сопряжение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
