МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Однако и в некоторых других областях науки методысуперсимметрии также нашли плодотворное применение. Помимо алгебры супертрансляций (2), существует ряд других супералгебр, на основе которых можно развиватьсуперсимметричные теории. Рассмотрим кратко простейшую из таких супералгебр:(7)S = {H , Q, Q + },которая порождена одним чётным генератором Н и двумя нечётными генераторами Q,Q+. Генераторы связаны перестановочным соотношением[Q, Q+]+ = Н.(8)Все остальные коммутаторы равны нулю.На базе супералгебры (7) строятся различные варианты суперсимметричнойквантовой механики. Общая схема построения такова.

Пространство векторов состоянийсистемы разбивается в прямую сумму пространства бозонных и фермионных состояний.Удобно записывать вектор состояния в двухкомпонентной форме62ψ=ψ1,ψ2(9) гдеверхняя компонента представляет собой фермионное состояние, а нижняя − бозонное.Следует подчеркнуть, что разделение состояний на бозонные и фермионные носитусловный характер и не связано с присутствием реальных бозонов и фермионов. Болеетого, нет какого-либо регулярного метода определения разбиения (9). Явный вид этогоразбиения связан с конкретной задачей. Генераторы Q, действующие на векторы (9),задаются в матричной форме:0 B=, Q0 0=Q0B+0.0Здесь В − оператор, действующий на “бозонные” переменные, В+ − сопряжённыйоператор.

Генератор H отождествляется с гамильтонианом системы, определяемым с помощью соотношения (8):11[ B, B + ]+ + [ B, B + ]− σ 3 .22=Hгде σ 3 − матрица Паули, действующая на вектор (9).Конкретная суперсимметричная квантовомеханическая задача сводится копределению вида оператора В. Для одномерной системы оператор В удобно принять вформе=B12(ip + W ( x))где W(х) − произвольная функция координаты х, а р = −i∂/∂х − оператор импульса.Гамильтониан принимает обычный вид:H=1 2p + W 2 ( x) + W ′ ( x)σ 3 )(2Этот гамильтониан соответствует суперсимметричной квантовой механике Виттена(Е.Witten, 1981); его спектр обладает характерными особенностями. Все уровни с энергией E > 0 двукратно вырождены.

Основное состояние не вырождено только в томслучае, если его энергия равна нулю. Опираясь на эти два свойства, в отдельных случаяхудается полностью определить дискретный спектр гамильтониана (10).Для некоторых конкретных задач суперсимметрия рассмотренного типа являетсяреальной физической симметрией.

Наиболее важный случай − электрон в магнитномполе. В этой задаче суперсимметрия возникает для следующих типов магнитных полей:“двумерное поле”, то есть поле, направленное по оси z и произвольным образомзависящее от координат х и у: Вx = Вy = 0, Вz = Вz(х,у); трёхмерное поле с определеннойчетностью: В(−х) = ±В(х). В этих двух случаях можно определить генераторы Q снужными свойствами, причем в каждом случае построение проводится по-разному. Так, впервом случае компоненты вектора (9) характеризуются значениями проекции спина наось z, а во втором случае − чётностью волновой функции.

Из этого примера виден условный характер введения бозонных и фермионных степеней свободы.Интересный пример суперсимметрии обнаруживается в задаче о движениисистемы под действием случайной силы. Эта задача из теории случайных процессовоказывается формально аналогичной суперсимметричной квантовой механике.Литература.: [1] Гольфанд Ю.А., Лихтман Е.П., “Письма в ЖЭТФ”, 1971, т. 13, в. 8, с. 452; [2] Волков Д.В., Акулов В.П.,там же, 1972, т. 16, в. 11, с.

621; [3] Wess J., Zumino В., “Рhуs. Lеtt..”, 1974, V. 49В, р. 52; [4] Березин Ф.А., Введение валгебру и анализ с антикоммугирующими переменными, М., 1983; [5] ОгиевецкийВ.И., Мезинческу Л., “Успехи физич.наук”, 1975, т. 117, в. 4, с. 637; [6] Генденштейн Л.Э., Криве И.В., там же, 1985, т. 146, в. 4, с. 553; [7] Высоцкий М.И., тамже, с. 591; [8] Арефьева И.Я., Волович И.В., там же, с. 655; [9] Вайнштейн А.И., Захаров В.И., Шифман М.А., там же, с.683; [10] Весс Ю., Беггер Дж., Суперсимметрия и супергравитация, пер. с англ., М., 1986; [11] Ахиезер А.

И.,Пелетминский С.В., Поля и фундаментальные взаимодействия, Киев, 1986; [12] Уэст П., Введение в суперсимметрию исупергравитацию, пер. с англ., М., 1989; [13] Суперсимметрия, калибровочные поля и квантование, сб. статей, М., 1993.63Что такое математическая физика?Методическое пособие(для студентов)СоставительВладимир Петрович Бурский.РедакторКорректорТехн. редакторМосковский Физико-Технический Институт (Государственный Университет, 2018.64 с.–.

Характеристики

Список файлов книги