МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Проведение сформулированной выше программыдаже в этих простейших случаях потребовало создания математической техникиоператорных оценок специально для изучаемых моделей.Дальнейшее развитие конструктивной квантовой теории поля связано спереходом к евклидову пространству и применением методов евклидовой теории поля. Ваксиоматической квантовой теории поля было доказано, что функции Вайтмана Wn(t1, х1;...; tn, хn) являются граничными значениями аналитических функций Fn( z10 , z1; ...; z n0 , zn)в область аналитичности которых попадают также евклидовы 4-точки zk такие, что z k0 =iτ k , z k = x k , где τ k − “мнимое время”.
Значения функций Fn(z1, ...,zn) на множестве54евклидовых точек называются функциями Швингера [введены Ю. Швингером(J. Schwinger) в 1951]:Sn(τ1, х1; ...; τn, хn) = Fn(iτ1, х1; ...; iτn, хn).К. Остервальдер и Р. Шрадер (1975) нашли необходимые и достаточные условия,при выполнении которых была доказана эквивалентность теорий, построенных нафункциях Wn и Sn .Изучение функций Швингера более удобно по следующим причинам. Во-первых,к решению проблем теории поля привлекаются хорошо разработанные теоретико-вероятностные методы, поскольку функции Швингера можно отождествить со средними отпроизведения случайных процессов (евклидовых полей):Sn(τ1, х1; ...; τn, хn) = E [Ф(τ1, х1)...Ф(τ1, х1)].Здесь Е[Ф] — среднее от некоторой случайной величины Ф, заданной нанекотором вероятностном пространстве. Было выяснено, что величина Ф(⋅) должна бытьевклидово-ковариантныммарковскимслучайнымполем,удовлетворяющимопределенным дополнительным требованиям, и доказано, что эти требования эквивалентны условиям Остервальдера—Шрадера.
Во-вторых, переход к евклидовымвероятностным мерам позволил при исследовании проблем, связанных со снятиемобрезаний, использовать корректные интегральные представления для регуляризованныхфункций Швингера Sn(⋅ |Λ,σ) и многочисленные методы статистической физики. Темсамым оказалось, что многие вопросы евклидовой теории эквивалентны проблемамстатистической физики. На этом пути были упрощены доказательства существованияфункций Вайтмана в модели P n (ϕ) 2 и доказано их существование в модели ϕ 34 .Математически развитые методы конструктивной квантовой теории поля привелипока к доказательству существования квантованных гейзенберговых полей только всуперперенормируемых моделях квантовой теории поля Переход к изучениюперенормируемых моделей требует привлечения новых идей и методов.Литература:[1] Саймон Б, МодельP(ϕ) 2евклидовой квантовой теории поля, пер с англ , М , 1976, [2]Конструктивная теория поля, пер с англ , М.
, 1977, [3] Евклидова квантовая теория поля. Марковский подход, М , 1978, [4]Глимм Д , Джаффе А , Математические методы квантовой физики Подход с использованием функциональных интегралов,пер с англ, М , 1984.НЕЛОКАЛЬНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ 1Д. А. КиржницНелокальная квантовая теория поля − наименование обобщений стандартной(локальной) квантовой теории поля, для которых характерно несоблюдение условиямикропричинности в области малых расстояний и промежутков времени с размерамипорядка фундаментальной длины I. (В статье используется система единиц, в которой =с = 1.) В большинстве вариантов нелокальной квантовой теории поля это достигаетсянарушением присущего локальной теории свойства близкодействия (локальностивзаимодействия), требующего совладения пространственно-временных аргументоввзаимодействующих полей; именно поэтому говорят о “нелокальной” теории поля.Нелокальная квантовая теория поля смыкается с другими обобщениями локальнойтеории (содержащими высшие производные полей, индефинитную метрику и т.
п.), атакже с процедурой регуляризации ультрафиолетовых расходимостей локальной теории,основанной на рассмотрении локального взаимодействия как предела “размазанного”.Нелокальная квантовая теория поля зародилась как реакция на расходимости, ипервоначальной целью их устранение [ П. Дирак (Р.
Dirac), 1934; Г. Ватагин (G.Vatagin),1934]. Позднее интерес к нелокальной квантовой теории поля оживлялся в периодыобострения трудностей локальной теории (“нулификация заряда”, неперенормируемостьслабого взаимодействия и др.), а также при появлении свидетельств сложной внутреннейструктуры адронов. В более общем плане к разработке нелокальной квантовой теории1Математическая физика. Энциклопедия. М.199855поля побуждала неудовлетворенность состоянием физического фундамента локальнойтеории поля (в частности, невозможностью придать прямой физический смысл условиюмикропричинности из-за неадекватности понятия точечного события в релятивистскойквантовой физике); возникала даже убежденное в близости новой революции в физике,означающей коренной пересмотр представлений о пространстве-времени “в малом” ипоявление новой фундаментальной физической константы — элементарной(фундаментальной) длины l.
Существовал и определенный практический интерес кнелокальной квантовой теории поля, связанный с ведущимися и планируемымиэкспериментами по проверке квантовой электродинамики и дисперсионных ееотношений: эта теория должна ответить на вопрос, означает ли положительный результатпроверки дисперсионных соотношений подтверждение свойства микропричинности, и надругие вопросы подобного типа и дать экспериментаторам рабочие формулы,связывающие величину l (или ее верхнюю границу) с данными опыта.По степени отхода от локальной теории существующие варианты нелокальнойквантовой теории поля можно разделить на два класса.К первому, “физическому”, классу относятся нелокальные схемы, которыеоснованы на нестандартных пространственно-временных представлениях, лишающихсмысла такие понятия, как поле в определенной точке пространства-времени (или саматакая точка), локальность взаимодействия, микропричинность. Это достигаетсяприданием 4-вектору координаты смысла оператора, компоненты которого некоммутируют либо с оператором поля [теория Маркова − Юкавы; М.А.
Марков, 1940; X.Юкава (X. Yukawa), 1956], либо друг с другом (теория квантованного пространствавремени), что приводит к соотношениям неопределенностей между полем икоординатами точки пространства-времени и соответственно между самими этимикоординатами. К рассматриваемому классу относятся и другие схемы, например теориястохастического пространства-времени, в которой координата имеет свойства случайнойвеличины (а само пространство-время подобно турбулентной среде).Второй, “феноменологический”, класс составляют нелокальные схемы,базирующиеся на обычных представлениях о пространстве-времени. В них нарушениелокальности взаимодействия и условия микропричинности осуществляются введением ваппарат теории некоторых заданных функций координат или импульсов − формфакторов,которые и ведут к “размазыванию” взаимодействия.
В динамических моделяхнелокальной квантовой теории поля формфактор F вводят в лагранжиан илигамильтониан взаимодействия, “раздвигая” аргументы операторов поля, отнесенных влокальной теории к единой точке пространства-времени. Так, в скалярной теории с 3частичным взаимодействием, которому отвечает функция действияg ∫ d 4 xϕ 3 ( x),переход к нелокальной квантовой теории поля осуществляется заменой этой функциивыражением(1)g d 4 x d 4 x' d 4 x' ' F ( x, x' , x' ' ) ϕ( x) ϕ( x' ) ϕ( x' ' )∫(здесь (ϕ − скалярное поле, х, х', х" − точки пространства-времени, g − константа связи).
Ваксиоматических моделях нелокальной квантовой теории поля, имеющих дело только сматрицей рассеяния, форм-факторы вводятся в ее разложение по нормальным произведениям, причем каждому члену такого разложения может отвечать свой формфактор.Нелокальные схемы 2-го класса не претендуют на описание тех измененийпространственно-временных представлений, которые, возможно, произойдут в будущем.Достоинство этих схем помимо простоты состоит в их общности, тем более что многиеспецифические трудности нелокальной квантовой теории поля как таковой проявляютсяуже на феноменологическом уровне, где их и нужно научиться преодолевать.Любой вариант нелокальной квантовой теории поля должен удовлетворять рядуобщих требований: релятивистской ковариантности (несмотря на существованиесверхсветовых сигналов внутри области нелокальности), калибровочной инвариантности(для нелокальных теорий калибровочных полей), унитарности матрицы рассеяния напространстве физических состояний.
Специфичны для нелокальной квантовой теорииполя требования отсутствия расходимостей и макроскопической причинности. Последнее56имеет смысл “ослабленной” микропричинности, допускающей существование быстрозатухающих акаузальных (причинно не обусловленных) воздействий при условии, чтоони не наблюдаемы из-за неточечности событий (актов взаимодействия между полями),то есть неразличимы на фоне флуктуации, порожденных соотношенияминеопределенностей “координата — импульс” и “время — энергия”.Удовлетворить перечисленным требованиям при построении нелокальнойквантовой теории поля оказалось непросто, с каждым из них были связаны серьезныетрудности, возникающие при выходе за рамки локальной теории поля. Эти трудностиказались столь непреодолимыми, что порождали мнение о принципиальнойневозможности создания последовательной нелокальной квантовой теории поля.
Однакоспециальный анализ трудностей нелокальной квантовой теории поля показал, что они неприсущи теории органически, а возникают в результате чересчур прямолинейногообобщения аппарата локальной теории. Оказалось, что эквивалентные формулировкилокальной теории не равноценны с точки зрения их нелокального обобщения ипреодоление трудностей нелокальной квантовой теории поля соответствовалоправильному выбору исходной формулировки.Пока нет полной уверенности лишь в выполнении требования макроскопическойпричинности. Степень затухания акаузального воздействия тесно связана саналитическими свойствами Фурье-компоненты формфактора F(р) (где р − 4-импульс) вкомплексной плоскости р2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
