МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Рассмотрим ассоциативную алгебру А, порожденную образующими a1 , a2 ,..., an , n= p + q. Первые р образующихa1 , a2 ,..., an , по определению, являются чётными элементами алгебры, остальные qобразующих a p +1 , a p + 2 ,..., a p + q — нечётными. Таким образом, первоначально чётность59определяется только для образующих алгебры. На элементы общего вида чётностьпереносится с помощью следующих правил. Умножение элемента алгебры на число неменяет чётности. Сумма двух чётных элементов является чётным элементом алгебры, асумма двух нечётных элементов — нечётным. Произведение двух чётных элементов, атакже произведение двух нечётных элементов является чётным, а произведение чётного инечётного элементов — нечётным элементом алгебры.

С помощью этих правил в алгебреА определяется класс чётных и класс нечётных элементов. Любой элемент алгебры Аможет быть единственным образом представлен в виде суммы чётного и нечётногоэлементов. Алгебра А, в которой определено понятие чётности, называетсяградуированной алгеброй (точнее, Z2-градуированной).Определим теперь понятие супералгебры Ли. Основной операцией являетсякоммутатор [х,у], соответствующим образом обобщенный на случай градуированнойалгебры. Он определяется следующим образом. Если элементы х и у алгебры имеютопределенную чётность, то в случае, когда хотя бы один из элементов х, у чётный,коммутатор [х,у] = xу — ух.

Если же оба элемента х и у нечётные, то коммутатор [х, у ] =ху + ух. Для элементов общего вида, равных сумме чётного и нечётного элементов,коммутатор [х,у] определяется из условия билинейности. Определенный так обобщённыйкоммутатор (суперкоммутатор) объединяет понятия коммутатора и антикоммутатора вобычном смысле.Рассмотренная конструкция устанавливает связь супералгебры с градуированнойалгеброй А, которая является обобщением связи обычной алгебры Ли с ассоциативнойалгеброй.

Обобщённые коммутаторы удовлетворяют определённым тождествам. Всенеобходимые соотношения легко выводятся с помощью основных определений.Практически важный класс супералгебр образуют супералгебры с конечнымчислом образующих B1 ,..., BN . Обычно образующие Bk называются генераторами.Заметим, что система генераторов Bk отнюдь не совпадает с системой образующих ai ,ассоциативной алгебры А. В силу билинейности коммутатора достаточно определитьзначения коммутаторов для генераторов с помощью соотношений типа(1)[ Bk , Bl ] = Cklm BmВ этом случае супералгебра определена заданием структурных констант Cklm .Алгебра супертрансляций.

Супералгеброй, лежащей в основе физическихсуперсимметричных теорий, является так называемая алгебра супертрансляций, онапорождается конечным числом чётных и нечётных генераторов. Нечётные генераторы,действуя на состояния системы, переводят бозоны в фермионы и наоборот. Убедиться вэтом можно следующим образом. Операторы рождения бозонов и фермионов можнорассматривать как систему образующих некоторой (бесконечномерной) градуированнойалгебры. При этом бозонные операторы считаются чётными элементами алгебры, афермионные — нечётными. Установив чётность одночастичных состояний, можноопределить чётность любых состояний. Справедливо общее утверждение: чётныесостояния подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна, нечётные − статистике ФермиДирака. Отсюда легко вывести утверждение относительно нечётных генераторов алгебрысупертрансляций.Из условия релятивистской инвариантности теории следует, что генераторысупертрансляций должны преобразовываться по некоторому представлению группыЛоренца.

Учитывая связь спина и статистики, получаем дальнейшее уточнение этоготребования: нечётные генераторы преобразуются по представлениям с полуцелымспином, чётные − по представлениям с целым спином. Простейшее допущение,согласующееся с этим требованием, состоит в том, что нечётные генераторы являютсяспинорами. Это допущение и лежит в основе построения алгебры супертрансляций.Спиноры — это величины, преобразующиеся по фундаментальнымпредставлениям группы комплексных матриц второго порядка с детерминантом, равнымединице.

Эта группа обозначается символом SL(2,C). Существует два фундаментальныхпредставления группы SL(2,C), которые комплексно сопряжены друг другу.Соответствующие спиноры обычно обозначаются символами типа Qα и Qα . Индексы αи α принимают два значения.60Более детальное рассмотрение приводит к тому, что для построениянетривиальной алгебры супертрансляций чётные генераторы должны образовывать 4вектор Pµ , µ = 0, 1, 2, 3.

Таким образом, наиболее простая алгебра супертрансляций(2)t = Pµ , Qα , Qα{}порождается четырьмя чётными генераторами Pµ и четырьмя нечётными генераторамиQα , Qα . Перестановочные соотношения типа (1) между генераторами всегда могут бытьприведены к формеµQα , Qα  = 2σ αα(3) Pµ .+Все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Индекс “+” в левой частисоотношения (3) означает антикоммутатор (это соответствует рассмотренным вышеправилам построения операции коммутирования в супералгебре); σ µ − матрицы второгопорядка:=σ 0 I,=σ i , i 1, 2,3, − спиновые матрицы Паули, I − единичная матрица.Важнейшее физическое предположение относительно супералгебры (2) состоит втом, что чётные генераторы Pµ являются 4-вектором энергии-импульса системы.Операторы энергии и импульса − это генераторы трансляций времени и пространства.Алгебра супертрансляций (2) представляет собой расширение алгебры трансляций путемвведения четырех новых генераторов “спиновых трансляций” Qα и Qα .

Генераторыобычных трансляций связаны с генераторами спинорных трансляций нетривиальнымисоотношениями (3). Перестановочные соотношения между операторами моментов −генераторами преобразований Лоренца − и генераторами алгебры супертрансляций (2)однозначно определяются ковариантными свойствами этих генераторов.Условие теории суперсимметрии сводится к тому, чтобы алгебра супертрансляций была представлена линейными операторами в пространстве состояний. Дляэтого достаточно, чтобы операторы, соответствующие генераторам (2), удовлетворялиперестановочным соотношениям (3).

Из этих соотношений видно, что длясуперсимметричных теорий операторы энергии и импульса выражаются в видепроизведений спинорных операторов. В частности, для гамильтониана системыполучается выражениеH=(1Qα , Qα  + Q2 , Q2 ++4 )(4)из которого следует, что энергия суперсимметричной системы не может приниматьотрицательных значений.Алгебра супертрансляций (2) − самая простая среди семейства аналогичныхсупералгебр.

Члены этого семейства характеризуются целым числом N, обозначающимколичество спинорных генераторов.Супермультиплетычастиц.Неприводимыепредставленияалгебрысупертрансляций (2) объединяют несколько неприводимых представлений Пуанкарегруппы с одной и той же массой и различными значениями спина. Проще всего этопроиллюстрировать для одночастичных состояний.

В этом случае получаютсяcупермультиплеты частиц. Если масса частиц не равна нулю, структурасупермультиплета определяется числом j, принимающим целые и полуцелые значения.При данному супермультиплет имеет спиновый состав (j−1/2, j, j, j+1/2), то есть онсодержит две частицы спина j, частицу спина j −1/2 и частицу спина j + 1/2. В случаенулевой массы. Супермультиплеты объединяют частицы, имеющие спиральность X, \+1/2 Число \ принимает целые и полуцелые значения В отличие от спина у, принимающегонеотрицательные значения, \ может принимать значения любого знака.Супермультиплеты (\, К+\/2) и (−К, −X−1/2) переходят друг в друга припространственной инверсии. В каждом супермультиплете число бозонных состоянийравно числу фермионных состояний; с этим связано сокращение расходимостей всуперсимметричных теориях.

Как известно, в квантовой теории поля некоторые физич.величины оказываются бесконечными за счет расходящихся интегралов. Всуперсимметричных теориях многие из этих величин оказываются конечными, посколькурасходимости,связанныесбозонами,компенсируютсясоответствующими61расходимостями, связанными с фермионами.Суперполя. Основным конструктивным элементом при построениисуперсимметричных теорий являются суперполя, представляющие собой элементыГрассмана алгебры с образующими θ, коэффициентами при которых служат физическиеполя. Каждое суперполе объединяет несколько физических полей с целыми и полуцелыми спинами.

Благодаря суперполям удалось придать суперсимметричным теориямпростую форму. Те же теории, выраженные через компонентные поля, выглядят значительно сложнее.Суперполя наиболее простого вида − это скалярные киральные суперполя. Онихарактеризуются тем, что содержат либо только произведения образующих θ , либотолько образующие θ . Соответственно существуют два типа киральных суперполей —левое и правое:Φ=A( x) + θϕ ( x) + θ θ F ( x), L(5)Φ=B( x) + θϕ ( x) + θ θ G ( x), Rгде А(х), F(х) и ϕα ( x) − компонентные поля левого суперполя ФL (х) (х − точкапространства-времени). Поля А и F скалярные, двухкомпонентный спинор ϕ − левоекиральное поле.

Аналогичными свойствами обладают компонентные поля правогокирального суперполя ФR (х), содержащего правое киральное поле ϕ ( x) . Оба суперполяявляются лоренцовыми скалярами. При пространственной инверсии левое киральноесуперполе переходит в правое и наоборот. Весьма важно следующее соглашение:скалярные поля А(х) и F(х) (и вообще поля целого спина) коммутируют друг с другом исо всеми остальными полями, тогда как спинорные поля ϕα ( x) (поля полуцелого спина)являются нечётными элементами алгебры Грассмана, а θϕ − чётными. Благодаря этомусуперполя (5) коммутируют друг с другом.Киральные суперполя (5) хорошо иллюстрируют принцип построения суперполей.Примером суперполя общего типа, содержащего все образующие е, является векторное суперполеV ( x) =a ( x) + θ ϕ ( x) + θ ϕ ( x) + θ σ µθ ν µ + θ θ b( x) ++θ θ b ( x) + θ θ θ ψ ( x) + θ θ θ ψ ( x) + θ θ θ θ c( x)Его компонентные поля: четыре скалярных поляa , b, b и(6)с, четыре спинорныхϕ , ϕ , ψ , ψ и одно векторное ν µ .

С наличием векторной компоненты и связано названиесуперполя (6). Помимо рассмотренных скалярных суперполей, существуют суперполя сразличными лоренцовыми индексами, а также с индексами, относящимися к внутреннимсимметриям.Суперсимметричная квантовая механика. Алгебра супертрансляций иоснованная на ней суперсимметрия отражают специфику релятивистской квантовойтеории. К этой области относится основная масса работ и важнейшие результаты,связанные с суперсимметрии.

Характеристики

Список файлов книги