МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Инвариантность поотношению к локальным преобразованиям цветовой группы вместе с требованиямиперенормируемости однозначно фиксирует вид классического лагранжиана квантовойхромодинамики :где1 a a(2)L = − GµνGµν + i ∑q =u ,d ,... qi (γ µ Dµij − mq )q j ,4aGµν= ∂ µ Aνa − ∂ ν Aµa + i g f abc Aµb Aνc , Dµ = δ ij ∂ µ − igAµa Λa( )ij—тензорнапряженностей глюонного поля, f abc — структурные константы группы SUc(3), тq —масса кварка типа q (Как обычно, предполагается суммирование по повторяющимся1Математическая физика. Энциклопедия. М.199846индексам).
Лагранжиан (2) по построению инвариантен относительно локальныхкалибровочных преобразований кварковых полей (1) и глюонных полей вида:Aµa ( x) → Aµa ( x) + f abcω b ( x) Aµa ( x) + ∂ µ ω a ( x).(3)Последовательная процедура квантования локально калибровочно инвариантныхлагранжианов построена в 1967 Л. Д. Фаддеевым и В. Н. Поповым, а также, независимо,Б. де Виттом. В классе ковариантных α-калибровок применение этой процедуры к (1)приводит к эффективному лагранжиану вида:cLeffK.x.
= LK.x. −(1∂ µ Aµa2α)2(+ ∂ µ η a ∂ µ δ ac − fabc)Aµb η c .(4)По сравнению с квантовой электродинамикой новым элементом здесь являются “духи”− скалярные поля η a и η a , подчиняющиеся статистике Ферми−Дирака. Эти полянеобходимы для соблюдения условия унитарности в физическом секторе теории.
Исходяиз эффективного лагранжиана, стандартным образом могут быть введены правилаФейнмана для вычисления соответствующих функций Грина по теории возмущений.Теория, описываемая лагранжианом (4), является перенормируемой (количествонезависимых перенормировочных констант конечно). Существенную роль вдоказательстве этого утверждения играют так называемые тождества Славнова —Тейлора, связывающие различные функции Грина и являющиеся следствиемкалибровочнойинвариантностилагранжиана(2).Перенормированныеквантовохромодинамические функции Грина зависят от кварк-глюонной константы связиα S = g 2 / 4π , масс кварков и точки нормировки µ.
Зависимость от последней возникаетвследствие известной конечной неопределенности в выборе перенормировочныхконстант (см. [5]).Примечательной особенностью квантовой хромодинамики является свойствоасимптотической свободы: эффективная константа связи α S (µ) , подчиняющаясястандартному уравнению ренормализационной группыµ2d= α S (µ) = β(α S ),dµ(5)убывает в ультрафиолетовой области.
Из явных вычислений функции β( α S ) в двухпервых порядках теории возмущений следует, чтоα S (µ) = 6(153 − 19n j ) ln(ln(µ 2 / Λ2 )) 12π1 −,(33 − 2n j ) ln(µ 2 / Λ2 ) (33 − 2n j ) ln 2 (µ 2 / Λ2 ) (6)где пf − число кварков с массой меньшей µ, Λ − так называемый параметр шкалыквантовой хромодинамики. Физический смысл Λ состоит в том, что числовое значениеэтого параметра характеризует масштаб области сильной связи в квантовойхромодинамике. При выводе формулы (6) полностью игнорировались эффекты масскварков, то есть рассматривалась идеализированная ситуация, когда влиянием кварков смассой больше µ полностью пренебрегалось В этом приближении зависящие от пf членыв формуле (6) меняются дискретным образом, когда пересекаются кварковые пороги.
Вобласти больших импульсных передач µ эффективная константа связилогарифмически падает, то есть в этом пределе квантоваяα S (Q) = α 3 (µ = 0)хромодинамика превращается в теорию слабо взаимодействующих между собой кваркови глюонов. Этот факт позволяет использовать улучшенную с помощью аппаратаренормализационной группы (см. [6]) теорию возмущений для надежного нахожденияфункций Грина в области больших импульсов Q (то есть когда α S (Q ) < c ), чтосоответствует на координатном языке малым расстояниям. В отличие от квантовойэлектродинамики, сама возможность осмысленного применения теории возмущений вквантовой хромодинамике базируется на предварительном использовании соотношенийренормализационной группы.
Свойство асимптотической свободы позволило физическиобосновать справедливость партонной картины сильных взаимодействий, в рамкахкоторой адроны при определенных условиях можно рассматривать как совокупности47почти не взаимодействующих между собой составляющих — партонов.Как следует из формулы (6), при уменьшении Q эффективная константа связиα S (Q) растет и ≥1 при Q, приближающемся к Λ. Точное поведение α S (Q) при Q ≤ Λ внастоящее время неизвестно; сама теория возмущений и, следовательно, формула (6)неприменимы в этой области вследствие немалости эффективной константы связи. Вовсяком случае, это означает, что в квантовой хромодинамике взаимодействие при малыхпереданных импульсах, то есть на больших расстояниях, в отличие от квантовойэлектродинамики, становится сильным, что не позволяет непосредственно использоватьлагранжиан (4) для определения наблюдаемого спектра одночастичных состояний в этойтеории.
Согласно гипотезе конфайнмента, все физические состояния в квантовойхромодинамике бесцветны, то есть являются синглетами по отношению к цветовойгруппе SUc(3). Кварки и глюоны, реализуя фундаментальное и, соответственно,присоединенное представления группы SUc(3), не могут существовать в свободномсостоянии как физические частицы. При этом экспериментально наблюдаемые сильновзаимодействующие частицы — адроны — представляют собой бесцветные связанныесостояния глюонов. Одним из следствий гипотезы конфайнмента является естественноеобъяснение отсутствия дробно заряженных адронов, что подтверждается всейсуществующей совокупностью экспериментальных данных.
В настоящее время строгоедоказательство этого явления отсутствует и детальный механизм удержания кварковвнутри адронов неясен. Одно из популярных качественных объяснений гипотезыконфайнмента состоит в том, что на больших сравнению с c / Λ расстояниях силапритяжения кварка и антикварка друг к другу не зависит от расстояния между ними и,следовательно, потенциальная энергия их взаимодействия пропорциональна этомурасстоянию. Именно такое поведение потенциальной энергии было найдено в рамках такназываемого решёточного приближения в квантовой хромодинамике.Опосредованный характер квантовой хромодинамики и трудности сдоказательствомгипотезыконфайнментазначительноусложняютзадачуэкспериментальной проверки достоверности этой теории и нахождения значенияфундаментального параметра Λ.
Несмотря на это, к настоящему времени имеетсязначительное число количественных предсказаний квантовой хромодинамики,подтвержденных экспериментально Большая часть этих результатов получена спомощью теории возмущений. Из предыдущего следует, что теория возмущенийквантовой хромодинамики могла бы быть применима для количественного описания такназываемых жестких процессов с большим переданным импульсом Q, для которыхэффективная константа связи α S (Q ) достаточно мала.
Естественно ожидать, что в итогедолжно быть возможным воспроизведение в случае жестких процессов основныхрузультатов кварк-партонной модели. Главная, до сих пор не решенная окончательнотрудность в реализации этой программы заключается в том, что и информацию ореальных адронных процессах приходится извлекать из функций Грина кварковых иглюонных полей (возможно, со вставками локальных операторов, составленных из этихполей), рассматриваемых в области больших евклидовых импульсных передач, которыелишь и могут надёжно вычисляться в рамках теории возмущений.
Тем не менее, внекоторых важных частных случаях, к которым относятся, в частности, полное сечениеэлектрон-позитронной аннигиляции в адроны и инклюзивные глубоко-неупругие лептонадронные реакции, эту проблему можно обойти. В результате оказалось возможным нетолько обосновать наблюдаемое экспериментально приблизительно автомодельноеповедение соответствующих сечений, но и предсказать позднее обнаруженныеэкспериментально логарифмические отклонения от этого поведения, возникающиевследствие вкладов высших порядков теории возмущенийК сожалению, метод операторных разложений непосредственно не применим крассмотрению более сложных жестких процессов, таких, как рождение µ+µ− пар, упругихэлектромагнитных адронных формфакторов или рождение частиц с большимпоперечным импульсом в адронных столкновениях, закономерности асимптотическогоповедения которых хорошо описываются правилами кваркового счёта (см. [7]).
В этомслучае вместо разложений Вильсона используют прямой анализ диаграмм Фейнмана,дающих вклад в изучаемый процесс. Несмотря на то что такой подход существенно более48трудоёмок и сталкивается с определенными техническими трудностями, с его помощьютак удается подтвердить предсказания кварк-партонной модели и формул кварковогосчёта и вычислить по крайней мере первый неисчезающий поправочный член порядкаα S для жёстких процессов. Во всех случаях, в которых предсказания квантовойхромодинамики для жёстких процессов сравнивались с экспериментальными данными,наблюдалось взаимное согласие. При этом определяемое в разных процессах значениемасштабного параметра Λ оказывается лежащим в относительно узком интервале:Λ=100÷300 МэВ (если принять во внимание существование эффектов высших порядков иnΛтак называемых эффектов высших твистов, то есть членов ~ , подавленныхQстепенным образом по сравнению с ведущими.Важную роль в теоретическом изучении квантовой хромодинамики и еёэкспериментальных следствий играют непертурбативные (то есть выходящие за рамкиобычной теории возмущений по константе кварк-глюонной связи α S ) методы, такие какправила сумм квантовой хромодинамики, 1/Nc-разложение, решёточный иквазиклассический подходы.Правила сумм квантовой хромодинамики основаны на использовании кваркадронной дуальности дисперсионных соотношений и операторного разложения на малыхрасстояниях.
В рамках этого подхода статические параметры низколежащих адроновмогут быть приближенно выражены через так называемые вакуумные конденсаты —вакуумные средние калибровочно инвариантных локальных операторов, составленных изкварковых и глюонных полей. Численные значения вакуумных конденсатоврассматриваются как феноменологические параметры, связанные со сложной структуройфизического вакуума квантовой хромодинамики. В обычном подходе, опирающемся натеорию возмущений, эти средние равны нулю. В результате применения правил суммквантовой хромодинамики оказывается, что массы, электромагнитные и слабые шириныосновных мезонных и барионных резонансов могут быть найдены с точностью порядка20-30%, исходя всего из двух вакуумных конденсатов − кваркового (q , q ) и глюонногоaa< Gµν, Gµν> . Более того, метод правил сумм квантовой хромодинамики в последнеевремя с успехом используется для изучения электромагнитных формфакторов адроновпри малых и умеренных импульсных передачах, то есть при Q порядка нескольких ГэВ/сИсследование квантовой хромодинамики в рамках квазиклассического подходапривело к открытию инстантонов — решений уравнений Янга-Миллса, рассматриваемыхв евклидовом пространстве-времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
