МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Для преобразования изсистемы покоя частицы в систему, где ее импульс равен р, а энергия р0 , имеемU=p0 + m γα pαγ01 + i2m p0 + m , α = 1,2,3. (18)При построении лагранжианов взаимодействия в квантовой теории поля широкоиспользуются трансформационные свойства величинψ O k χ , где ψ и χ − биспиноры Дирака381 µ ν( γ γ − γ ν γ µ ); γ µ γ 5 ; γ 52i— полная система 16 матриц Дирака. Из (14)—(16) следует, что ψ χ − скаляр, ψ γ µ χ −(спинорные поля Дирака), а O = 1;kчетырехмерный вектор,γ µ ; σ µν = −ψ σ µν χ − тензор второго ранга,ψ γ µ γ 5 χ − псевдовектор,ψ γ 5 χ − псевдоскаляр.Волновое уравнение для релятивистской частицы со спином 1/2 в электромагнитном полеможет быть получено из уравнения для свободной частицы заменой∂ψ ∂→  µ + ieAµ ψ,µ∂x ∂x(19)где е - электрич заряд частицы, а Аµ = (ϕ, −А) — четырехмерный потенциалэлектромагнитного поля (ϕ − скалярный потенциал, А — векторный).

Таким образом,уравнение Дирака для электрона (мюона) в электромагнитном поле имеет вид ∂iγ µ  µ + ieAµ ψ − mψ = 0. ∂xЭто уравнениепреобразованийинвариантноотносительно(20)локальныхψ ' ( x' ) = e iΛ ( x ) ψ ( x),1 ∂Λ ( x) 'Aµ ( x) = Aµ ( x) −,e ∂x µ калибровочных(21)где Λ(x) − произвольная вещественная функция x. В нерелятивистском пределе в первомпорядке по β для “верхнего” спинора vλ(x) из уравнения Дирака (20) вытекает уравнениеПаули. При этом для магнитного момента электрона автоматически получаетсяправильное значение e / 2mc (в СГС системе единиц) Если учитывать также членывторого порядка по β, то в уравнении для vλ(x), вытекающем из уравнения Дирака вцентральном поле V(r) (r − расстояние до центра), возникает потенциал спинорбитального взаимодействия:Vc.−o.

=1 1 dV (r ) 1σL.2m 2 r dr 2(22)Здесь L = [rр] — оператор орбитального момента. Уравнение Дирака вкулоновском поле точечного ядра с зарядом Zе, V = —Zе2 /r может быть решено точно.Для уровней энергии электрона в атоме возникает при этом выражение ZαE nj = m 1 +   n − ( j + 1 / 2) + ( j + 1 / 2) 2 − ( Zα) 2 2−1 / 2(23)Квантовое число п принимает целые значения 1, 2, 3, … , а квантовое числополного момента j − полуцелые такие, что j + 1/2 < n ( α ≈ 1/137 − постоянная тонкойструктуры) Если Zα “ 1, то с точностью до членов (Zα )4 из (23) следует: 1 ( Zα) 2E nj = m1 −2 2 n ( Zα ) 21 +n 13  −   . j + 1 / 2 4n  (24)Квантовое число п соответствует, таким образом, главному квантовому числунерелятивистской теории.

Уровни энергии в релятивистском случае классифицируются,как и в нерелятивистской теории, путем задания n, j и квантового числа орбитальногомомента l. В таблице приведены первые четыре уровня:39Обозначениеуровняпlj1S1/2101/22S1/2201/2т1 + 1 − ( Zα ) 222P1/2211/2т1 + 1 − ( Zα ) 222P3/2213/2En jт 1 − ( Zα ) 2m4 − ( Zα ) 22Разность уровней 2P1/2 и 2P3/2 (тонкое расщепление уровней) обусловлена спинорбитальным взаимодействием (22).

Уровни 2S1/2 и 2P1/2 , отличающиеся чётностью иобладающие одними и теми же значениями п и j, оказываются в теории Диракавырожденными. Учет эффектов квантовой электродинамики приводит к тому, что этовырождение снимается, при этом уровень 2S1/2 лежит выше уровня 2P1/2 . Этот такназываемый лэмбовский сдвиг уровней измерен на опыте и находится в блестящемсогласии с предсказаниями квантовой электродинамики.Литература: [1] АхиезерА.И., БерестецкийВ Б., Квантовая электродинамика, 4 изд., М., 1981; [2] Бьёркен Д.Д. ,Дрелл С.

Д., Релятивистская квантовая теория, пер. с англ., т. 1—2, М., 1978.КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ МНОГИХ ЧАСТИЦ 1Л. П. ПитаевскийКвантовой теорией многих частиц называют совокупность теоретических методов,применяемых для описания квантовомеханических систем, состоящих более чем из двухчастиц. Поскольку уравнение Шредингера для таких систем не может быть решеноточно, речь идет о приближенных методахУравнение Шредингера при решении квантовомеханических задач в системахмногих частиц обычно используется в представлении вторичного квантованияКоординатное и импульсное представления в этом случае менее удобны, поскольку числоизмерений пространства, в котором пишется это уравнение, растет с увеличением числачастицСледует различать методы, применяемые для описания систем из конечного числачастиц, и методы описания макроскопических тел.

В первом случае типичной являетсяпостановка задачи о нахождении волновых функций и уровней энергии системы. Вовтором случае подразумевается переход к термодинамическому пределу, когда объемтела и число частиц в нем формально устремляются к бесконечности с сохранениемконечной плотности числа частиц. Типичной постановкой задачи в этом случае являетсяопределение энергии основного состояния системы и распределения частиц поимпульсам, нахождение спектра элементарных возбуждений (квазичастиц) икинетических коэффициентов системы.Основой ряда методов теории многих частиц является теория возмущений,применяемая в случаях, когда потенциальная энергия взаимодействия между частицамидостаточно мала.

Для двух частиц, взаимодействующих посредством потенциала сконечным радиусом действия, условие этой малости состоит в малости амплитудырассеяния по сравнению с радиусом действия. Для частиц, взаимодействующих по законуМатематическая физика. Энциклопедия. М.1998140Кулона, оно сводится к требованию малости потенциальной энергии по сравнению скинетической на расстоянии порядка длины волны. Формальное применение теориивозмущений приводит к выражениям для характеризующих систему величин в виде рядапо целым степеням потенциальной энергии.

В некоторых случаях члены этогоформального ряда оказываются бесконечными – содержащими расходящиеся интегралы,что обычно свидетельствует об ошибочности предположения о разложимости по целымстепеням потенциала, даже при условии применимости теории возмущений длявзаимодействия двух частиц. В этом случае для получения конечного результатаприходится суммировать бесконечные последовательности наиболее расходящихсячленов ряда. Характерным примером является вычисление термодинамических функцийсистемы заряженных частиц, где для получения конечного результата необходимоучитывать экранировку потенциала каждой из частиц остальными частицами.

Другойпример — вычисление энергии основного состояния слабонеидеального бозе-газа, вкотором отличное от нуля значение энергии возникает только при учете взаимодействия.В обоих случаях разложение термодинамических функций системы содержит дробныестепени потенциала взаимодействия. Своеобразна ситуация в сверхпроводниках, гдетермодинамические функции электронного газа содержат экспоненциально малые попотенциалу взаимодействия члены.

Эти члены исчезают в любом порядке теориивозмущений, однако именно с ними связан сверхпроводящий фазовый переход.Наиболее совершенной формой теории возмущений является диаграммная техника.Она применяется чаще всего для вычисления функции Грина системы, полюсы которойопределяют энергии квазичастиц, а интеграл от которой по частотам – распределениечастиц системы по импульсам. Каждый член ряда теории возмущений изображается вдиаграммной технике в виде совокупности нескольких диаграмм Фейнмана, дляаналитической записи которых существуют стандартные правила. Диаграммная техникаоказывается особенно эффективной для упомянутого выше суммирования наиболеерасходящихся членов ряда теории возмущений.

Различные диаграммы в одном и том жепорядке теории возмущений имеют различный физический смысл и могут обладатьразной степенью расходимости. Суммирование расходимостей в этом случае сводится кимеющему наглядный физический смысл выделению определенных графическихпоследовательностей диаграмм. Важное преимущество диаграммной техники —возможность корректной оценки отброшенных членов и тем самым определения условийприменимости сделанных приближений.Существуют некоторые возможности вычисления функций Грина без применениятеории возмущений.

Большие возможности открывает запись функций в видебесконечнократного функционального интеграла, для приближенного вычисленияпоследнего существуют методы, принципиально отличные от теории возмущений,например, метод перевала. Если условие применимости теории возмущений длявзаимодействия пар частиц не выполняется, но система является настолько разреженной,что амплитуда рассеяния двух частиц мала по сравнению с межчастичным расстоянием,применимо приближение вириального разложения.В некотором смысле обратная ситуация имеет место в тяжелых атомах, гдесоздаваемый электронами электрический потенциал медленно меняется на расстояниипорядка длины волны электрона. Электроны в таком атоме можно рассматривать какквазиклассический ферми-газ, находящийся во внешнем поле, определяющемся самимраспределением электронов. Для этого потенциала получается замкнутое уравнениеТомаса – Ферми.В том случае, когда при постановке многочастичной задачи не удается найтималый параметр, используя малость которого можно искать приближенное решение,важную играют вариационные методы.В применении к атомным системам хорошую точность дает методсамосогласованного поля (метод Хартри – Фока).

Этот метод состоит в том, что волноваяфункция системы электронов записывается в виде линейной комбинации произведенийфункций, каждая из которых зависит от координат только одного электрона. Линейныекомбинации подбираются таким образом, чтобы удовлетворить обходимым условиямсимметрии, соответствующим, например, определенным значениям орбитальногомомента атома. Для самих же одночастичных функций в результате минимизации41энергии получается нелинейное уравнение типа уравнения Шредингера с потенциалом,зависящим от самих волновых функций.

Характеристики

Список файлов книги