МУ Что такое математическая физика - Бурский (1188235), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Переход от уравнение Шредингера к уравнениям классическоймеханики, описывающей движения частиц по траекториям, подобен переходу отволновой оптики к геометрической. Аналогия между классической механикой игеометрической оптикой, которая является предельным случаем волновой, сыгралаважную роль в установлении уравнения Шредингера.С математической точки зрения уравнение Шредингера есть волновое уравнениеи по своей структуре подобно уравнению, описывающему колебания нагруженнойструны. Однако, в отличие от решений уравнения колебаний струны, которые даютгеометрическую форму струны в данный момент времени, решения ψ ( x, y, z , t )уравнения Шредингера прямого физического смысла не имеют.

Смысл имеет квадратволновой функции, а именно величины Рn(x, у,z, t) = |ψn(x, у, z, t|2, равной вероятностинахождения частицы (системы) в момент t в квантовом состоянии п в точкепространства с координатами х, у, z. Эта вероятностная интерпретация волновой функции— один из основных постулатов квантовой механики.Лит.:[1] Шредингер Э., Новые пути в физике Статьи и речи, М., 1971.УРАВНЕНИЕ ДИРАКА 2С. М. БиленькийУравнение Дирака — квантовое (волновое) уравнение для релятивистскойчастицы со спином 1/2 (электрона, мюона, кварка и других частиц). Получено (дляэлектрона) в 1928 П.

Дираком (Р. Dirас) из следующих требований:1) уравнение для волновой функции частицы ψ(х, t) (х — пространственныекоординаты, t - время) должно быть линейным для того, чтобы выполнялся принципсуперпозиции состояний;2) в уравнение должна входить первая производная функции ψ(х, t) по времени стем, чтобы задание ψ в начальный момент определяло волновую функцию в любойпоследующий момент времени;3) уравнение должно быть инвариантным относительно преобразований Лоренца,то есть иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта;4) величина ψ +(х, t) ψ(х, t) (где + означает эрмитово сопряжение) должна иметьфизический смысл плотности вероятности нахождения частицы в точке х в моментвремени t;5) уравнение для свободной частицы (массы т) должно быть построено так,1принцип соответствия – постулат квантовой механики, требующий совпадения ее физических следствий в предельномслучае больших (малых) квантовых чисел с результатами классической теории.

Выдвинут Н. Бором в 1923 г.2Математическая физика. Энциклопедия. М.199835чтобы состояние с импульсом р и энергией E было его решением только в случае, есливыполняется релятивистское соотношение E2 =р2 + т2 (используется система единиц = с = 1).Всем этим требованиям удовлетворяет система уравнений для функции ψ(х, t),которая имеет четыре компоненты и записывается в виде столбца: ψ 1 ( x)  ψ 2 ( x) ψ( x) = ψ ( x)  3  ψ ( x)  4 (х — точка пространства-времени). При преобразованиях Лоренца и пространственныхповоротах они преобразуются как компоненты 4-компонентного спинора (биспинора).Ковариантный вид уравнения Дирака зависит от выбора метрики пространствавремени.

Если метрика выбрана так, что x 2 = g µν x µ x ν = ( x 0 ) 2 − x 2 , где g µν –метрический тензор (x0 = t):1 0000 −1 00g=, то уравнение имеет вид0 0 −1 00 00 −1iγ µ∂ψ ( x)− mψ ( x) = 0∂x µ(1)где γ µ − матрицы Дирака, µ = 0, 1, 2, 3 (по повторяющемуся индексу предполагаетсяγ 0 = β, γ k = βα k , α k =суммирование):единичная матрица, k=1,2,3, σ1 =0 11 00σkσkI 0,β=.00 −I, σ2 =Здесь1 0I=0 1−0 −i1 0, σ3 =− матрицы Паули.0 −1i 0Матрицы Дирака γ µ − размера 4×4, γ 0 −эрмитова, γ k − антиэрмитовы и удовлетворяютперестановочным+γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2 g µν .

Сопряженныйсоотношениям:биспинорψ ( x) = ψ ( x) γ удовлетворяет уравнению0i∂ψ ( x) µγ + ψ ( x)m = 0∂x µИз (1) и (2) для 4-мерного вектора токанепрерывности:(2)j µ = ψγ µ ψвытекает уравнение∂ jµ= 0.∂x µ(3)Временнaя компонента вектора тока равна плотности вероятности нахождениячастицы в точке х в момент времени x0, а его пространственные компоненты являютсякомпонентами 3-мерного вектора потока вероятности.При данном импульсе р уравнение Дирака имеет четыре линейно независимыхрешения два решения с положительной энергией(E = p0 p0 =p2 + m2)и дварешения с отрицательной энергией E = − p 0 .

Они могут быть записаны (соответственно)в следующем ковариантном виде:ψ ± p ( x) =1u (± p )e  ipx ,3/ 2(2π)где спиноры и(р), и(-р) удовлетворяют уравнениям(4)36( p = γ( p ± m )u (± p) = 0µ(5))pµ = γ 0 p 0 − γ α p α , α = 1,2,3 .Для сопряженных спиноров имеем:u ( ± p )( p ± m ) = 0 .(6)Для каждой из пар спиноров в качестве независимых могут быть выбраны решения сопределенной спиральностью (проекцией спина на направление импульса) λ = ±1 / 2 .

Впредставлении Дирака-Паули (в котором γ 0 диагональна) эти решения имеют вид:ν 2λ | pλ | u λ ( p) = N ; E = p 0 , λ = ±1 / 2,ν p +m λ  0 − 2λ | p | ν u λ (− p ) = N  p 0 + m λ ; E = − p 0 , λ = ±1 / 2 .νλ(7)Здесь vλ − 2-компонентный спинор, удовлетворяющий уравнению1σ n v λ = λv λ ,2(8)где n = p / | p |, σ(σ1 , σ 2 , σ 3 ) — матрицы Паули, а множитель N определяетсянормировкой спинора и(±р). Используются следующие нормировки (для каждогозначения λ):a ) (u (± p )) + u (± p ) = 1, N = ( p 0 + m) / 2 p 0 ,б ) u (± p ) u (± p ) = ±1, N = ( p 0 + m) / 2m , в ) u (± p) γ 0 u (± p) = 2 p0 , N = p0 + m ,(9)при этом v+v=1.Для т = 0 решения свободного уравнение Дирака являются собственнымифункциями матрицы γ 5 = −iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 :γ 5 u λ (± p) =  2 λ u λ (± p) .(10)В матричные элементы процессов со слабым взаимодействием спиноры иλ(р), описывающие нейтрино, входят в :видето1(1 + γ 5 )u λ ( p ) = 021(1 + γ 5 )u λ ( p ) .

Если масса нейтрино равна нулю,2при λ = 1/2,1(1 + γ 5 )u λ ( p ) = u λ ( p ) при λ = −1/2,2−1/2. Частице с отрицательной энергиейто есть спиральность нейтрино равнасоответствует антинейтрино (см. ниже), его спиральность равна +1/2.В нерелятивистском случае β =| p | / p 0 << 1 (в системе СГС β = v / c , где v —скорость частицы), и спиноры u λ (± p ) с точностью до линейных по β членов даютсявыражениями:37 − βλν λ  ν  .u λ ( p ) = N  λ , u λ (− p ) = N  νλ  βλν λ (11)Отсюда следует, что для нерелятивистской частицы “нижние” (“верхние”) компонентырешений уравнения Дирака с положительной (отрицательной) энергией много меньше“верхних” (“нижних”) компонент.Приведем следующие полезные соотношенияu (± p ) γ µ u (± p ) = ±( p µ / m) u (± p ) u (± p ),u (± p ) γ 5 u (± p ) = 0,µ 5pµ u (± p) γ γ u (± p) = 0 .(12)Для вычисления сечения процессов с участием релятивистских частиц со спином1/2 необходимо знать суммы Σ λ u λ ( p ) u λ ( p ) и Σ λ u λ (− p ) u λ (− p ) .

Если спинорыu λ (± p ) нормированы условиями u (± p ) γ 0 u (± p ) = 2 p 0 , тоΣ λ u λ (± p) u λ (± p) = p ± m .(13)Решения уравнения Дирака с отрицательной полной энергией — несомненнаятрудность квантовой механики релятивистской частицы Для ее устранения П.Диракпредположил, что состоянием с минимальной энергией (вакуумным состоянием) являетсясостояние, в котором все уровни с отрицательной энергией заполнены. Если из этогозаполненного “моря” состояний с отрицательной энергией вырвать одно состояние(образовать так называемую дырку Дирака), то полученное при этом состояние будетиметь положительную энергию. Масса частицы, описываемой этим состоянием, равнамассе электрона, а ее заряд противоположен заряду электрона. Такая частица —античастица по отношению к электрону — была открыта К Андерсоном (С.

Аnderson) в1932 и называется п о з и т р о н о м.Последовательная реализация идеи Дирака о существовании решений сотрицательной энергией требует по существу выхода за рамки одночастичного уравнениядля релятивистской частицы и осуществляется только в квантовой теории поляКак отмечалось, уравнение Дирака инвариантно относительно преобразованийЛоренца(х’)µ = a νµ xν, где a νµ a σν = δ µσ ( δ µσ — символ Кронекера).

Если записатьпреобразование спинора в виде(14)ψ ' ( x' ) = Uψ ( x),где U — (4 х 4)-матрица, то из условия инвариантности уравнения Дирака следует, что(15)U −1 γ µU = a νµ γ ν .Сопряженный спинор преобразуется следующим образом:ψ ' ( x' ) = ψ ( x)U −1 .(16)Для преобразований Лоренца1(х’) =x1 + βx 01− β20, (х’) =x 0 + βx11− β2, (х’)2 = х2 , (х’)3 = х3матрица U имеет видU = exp( γ 0 γ 1η / 2),(17)где th η = β (β − скорость одной системы относительно другой).

Характеристики

Список файлов книги