МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Преобразование ϕ ортогонально ⇔ оно линейно и сохраняет длины векторов,то есть|ϕ(v)| = |v| ∀ v ∈ V.32Доказательство. ⇒ : Выше уже было доказано, что ортогональное преобразование линейно исохраняет длины векторов.⇐ : По условию, |ϕ(v)| = |v| ∀ v ∈ V ⇒ |ϕ(v)|2 = |v|2 ∀ v ∈ V . Но|u + v|2 = (u + v, u + v) = (u, u) + (v, u) + (u, v) + (v, v) = |u|2 + 2(u, v) + |v|2 16⇒ (u, v) = 12 (|u + v|2 − |u|2 − |v|2 ).

Из условия сохранения длин и линейности имеем:2(ϕ(u), ϕ(v)) = |ϕ(u) + ϕ(v)|2 − |ϕ(u)|2 − |ϕ(v)|2 =|ϕ(u + v)|2 − |ϕ(u)|2 − |ϕ(v)|2 = |u + v|2 − |u|2 − |v|2 = 2(u, v)⇒ (ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) ∀ u, v ∈ V.Опишем теперь свойства матрицы ортогонального преобразования в ортонормированном базисе.Пусть ϕ : V → V — ортогональное преобразование, {e1 , e2 , e3 } — базис в V (пока не обязательноортонормированный); пусть G := (gij ) — матрица Грама базиса {e1 , e2 , e3 } (то есть gij = (ei , ej ), см.Определение 2.24).

Пусть v имеет в этом базисе столбец координат (v1 , v2 , v3 )T , а u — (u1 , u2 , u3 )T .Тогда v1 (u, v) = (u1 , u2 , u3 ) G v2  .(15)v3Пусть A — матрица преобразования ϕ в базисе {e1 , e2 , e3 }. Тогда векторы ϕ(u) и ϕ(v), как мы  u1v1  знаем из формулы (14), имеют в том же базисе координатные столбцы A u2  и A v2  соответu3v3ственно. Следовательно,  T    u1v1v1     T(ϕ(u), ϕ(v)) = A u2  G A v2  = (u1 , u2 , u3 )A GA v2  .u3v3v3Если последнее выражение равно (u, v) для любых векторов u, v ∈ V , то  v1v1  T(u1 , .

. . , un )A GA v2  = (u1 , u2 , u3 )G v2 v3v3для любых столбцов (u1 , u2 , u3 )T , (v1 , v2 , v3 )T , откуда (рассматривая всевозможные столбцы с однимненулевым элементом, равным 1) получаем, чтоAT GA = G.(16)Тем самым мы получили в матричном виде условие того, что линейное преобразование сохраняетскалярное произведение, то есть является ортогональным.16заметим, что это тождество не что иное как теорема косинусов.33В частности, если базис {e1 , e2 , e3 } ортонормированный, то G = E и из (16) в этом случае получаем, что AT A = E. То есть матрица ортогонального преобразования в ортонормированном базисеявляется ортогональной.

Верно, конечно, и обратное — если некоторое линейное преобразованиеимеет в ортонормированном базисе ортогональную матрицу, то оно ортогонально.Заметим, что из Предложения 2.34 мы знаем, что если A ортогональна, то det A = ±1. В частности, ортогональное преобразование обязательно обратимо. Кроме того, оно сохраняет неориентированные объемы (см. ниже).Предложение 2.62. Ортогональные преобразования евклидова пространства (плоскости) V образуют группу.Доказательство.

Легко проверить, что композиция ортогональных преобразований ортогональна,тождественное преобразование ортогонально, обратное к ортогональному ортогонально.Группа ортогональных преобразований евклидова пространства (плоскости) V обозначаетсяO(V ). Выбор базиса определяет ее изоморфизм с группой O(3) (соотв. с группой O(2)) ортогональных матриц порядка 3 (соотв. 2).Пример 2.63. Изучим подробнее ортогональные преобразования евклидовой плоскости V . Выберемв V ортонормированный базис {e1 , e2 }.

Тогда, как мы знаем, ортогональные преобразования —в точности те, которые имеют ортогональные матрицы. Ортогональные матрицы порядка 2 былиизучены нами в конце раздела 2.2. Напомним, что они делятся на два класса!!cos α − sin αcos α sin αилиsin α cos αsin α − cos αв соответствии со знаком определителя.Мы уже знаем из примеров 2.57 и 2.58, что матрица первого типа задает поворот в положительном направлении на угол α, в то время как второго типа — симметрию относительно подпространства с направляющим вектором a с координатами (cos α2 , sin α2 )T .Мы хотим показать, как найти a по матрице преобразования ϕ. Из геометрического определениясимметрии относительно подпространства ясно, что в качестве направляющего вектора a подпространства, относительно которого ϕ является симметрией, можно взять произвольный ненулевойвектор такой, что ϕ(a) = a, поскольку симметрия все векторы указанного подпространства оставляет на месте.

Поставим более общую задачу: на какие ненулевые векторы v наше преобразованиеϕ с ортогональной матрицей второго типа действует умножением на некоторое число λ ∈ R, то естьϕ(v) = λ v ?(17)В частности, для каких λ ∈ R существуют такие векторы?Так как действие преобразования на вектор в базисе сводится к умножению матрицы преобразования на координатный столбец вектора, то соотношение (17) переписывается следующим образом:!!!cos α sin αv1v1=λ,sin α − cos αv2v2что, очевидно, эквивалентно равенству!!cos α − λsin αv1=sin α− cos α − λv234!0.0Последнее равенство эквивалентно системеv (cos α − λ) + v sin α = 0;12v sin α + v (− cos α − λ) = 0,1(18)2решения которой — суть линейные зависимости!cos α − λ+ v2v1sin αsin α− cos α − λ!=00!между столбцами матрицы!cos α − λsin α.sin α− cos α − λНаличие такой нетривиальной зависимости эквивалентно вырожденности этой матрицы, одним изкритериев которой является равенство нулю ее определителя, то естьcos α − λsinα = λ2 − cos2 α − sin2 α = λ2 − 1 = 0.

sin α− cos α − λЗначит, возможные значения λ, для которых существуют ненулевые векторы v, удовлетворяющиесоотношению (17), суть ±1. Обратно, для каждого из этих значений λ ненулевые векторы v, удовлетворяющие соотношению (17), существуют, поскольку столбцы соответствующей матрицы линейнозависимы и коэффициенты любой нетривиальной линейной зависимости являются координатамитакого вектора. Эти значения λ называются собственными значениями преобразования ϕ.Для каждого из собственных значений найдем собственные векторы, то есть ненулевые векторыv, удовлетворяющие соотношению (17).

Возьмем λ = 1. Тогда система (18) равносильна уравнениюv1 (cos α − 1) + v2 sin α = 0,которое, в свою очередь, как следует из тригонометрии, равносильноv1 sinαα− v2 cos = 0.22Ненулевым решением последнего является пара (cos α2 , sin α2 ), любое другое решение пропорционально этому. Таким образом, собственный вектор v, отвечающий собственному значению λ = 1,имеет в нашем базисе координатный столбец (cos α2 , sin α2 )T .Возьмем теперь второе собственное значение λ = −1. Рассматривая его аналогично предыдущему случаю, получаем на координаты соответствующего собственного вектора соотношениеu1 cosαα+ u2 sin = 0,22и, значит, собственный вектор u, отвечающий собственному значению λ = −1, имеет координатныйстолбец (− sin α2 , cos α2 )T .Полученный результат можно проверить прямым вычислением, например, для λ = −1:!!!cos α sin α− sin α2− sin α2= (−1) ·.sin α − cos αcos α2cos α235uv = sl (v)l−u = sl (u)Рис.

10: Собственные векторы преобразования симметрииЗаметим, что векторы v и u, как и должно быть по геометрическому смыслу симметрии (см.Рис. 10), взаимно ортогональны. Они образуют ортонормированный базис {v, u}, в котором матрицаоператора ϕ имеет очень простой — диагональный — вид17!1 0.0 −1И в общем случае, если в векторном пространстве есть базис из собственных векторов линейногопреобразования ϕ, то в этом базисе матрица этого преобразования диагональна; верно и обратное — если в некотором базисе матрица преобразования диагональна, то этот базис состоит из егособственных векторов.Заметим, что не всегда у линейного преобразования есть собственные векторы: например, дляоператора поворота при α 6= 0, π таких векторов, очевидно, нет, и, тем более, из собственных векторов не обязательно можно составить базис пространства.Задача 2.64.

Убедитесь, перемножая матрицы, что композиция поворота ориентированной евклидовой плоскости на угол α и поворота на угол β — поворот на угол α+β. Каким преобразованиембудет композиция поворота и симметрии? Композиция двух симметрий?Читатель, решивший предыдущую задачу, знает, что композиция поворота и симметрии — симметрия, композиция двух симметрий — поворот.Задача 2.65. Пусть sα — симметрия относительно прямой, образующей угол α с какой-то фиксированной прямой l. Проследив за образом какой-нибудь одной точки, убедитесь, чтоsβ ◦ rα = sβ− α2 ,rα ◦ sβ = sβ+ α2 ,sβ ◦ sα = r2(β−α) .Напомним, что в Примере 2.56 мы определили понятие сжатия евклидовой плоскости к одномерному подпространству.Теорема 2.66. Любое обратимое линейное преобразование евклидовой плоскости является композицией ортогонального преобразования и сжатий (растяжений) к двум взаимно перпендикулярным одномерным подпространствам.17читателю рекомендуется убедиться в этом также с использованием формулы Предложения 2.55.36Доказательство.

Для доказательства Теоремы нам потребуется следующая Лемма.Лемма 2.67. Для любого обратимого линейного преобразования ϕ евклидовой плоскости V существует пара единичных векторов u, v ∈ V, u⊥v таких, что ϕ(u)⊥ϕ(v).Доказательство Леммы. Выберем ортонормированный базис в V . Тогда единичные взаимно перпендикулярные векторы uα , vα , полученные из базисных векторов поворотом на угол α, имеюткоординатные столбцы (cos α, sin α)T , (− sin α, cos α)T соответственно. Определим функциюf : R → R,f (α) := (ϕ(uα ), ϕ(vα )).Если в выбранном базисе преобразование ϕ имеет матрицу A, тоf (α) = (ϕ(uα ), ϕ(vα )) =cos αAsin α!!T− sin αAcos αЗаметим, что матрица AT A симметрична, пусть AT A =f (α) =!!−sinα= (cos α, sin α)AT A.cos α(19)!a b; тогда из (19) получаемb cc−asin 2α + b cos 2α.2Пусть b 6= 0, тогда f (0) = b и f ( π2 ) = −b имеют разные знаки; так как функция f непрерывна,то между точками 0 и π2 лежит ее нуль.

Характеристики

Список файлов книги