МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Точнее, каждый класс эквивалентности эллипсов в евклидовой геометрии имеет единственного представителя, имеющего каноническое уравнениеx2 y 2+ 2 = 1,a2ba≥b>0в данной декартовой прямоугольной системе координат.Задача 3.67. Классифицировать треугольники, параллелограммы, трапеции, эллипсы, параболы,гиперболы в трех рассматриваемых геометриях.Вот частичный ответ к последней задаче. Каждый класс эквивалентности эллипсов, парабол игипербол в евклидовой геометрии имеет единственного представителя, задаваемого в данной пдск26конечно, можно рассмотреть грандиозную группу всех биекций плоскости, или все еще огромную группу непрерывных биекций. Здесь же мы ограничиваемся рассмотрением только тех геометрий, которые отвечают группамнепрерывных преобразований, переводящих прямые в прямые.27с точки же зрения проективной геометрии эта бесконечно удаленная прямая ничем не выделяется среди другихпрямых.28то есть классы эллипсов, парабол и гипербол по отдельности не принадлежат проективной геометрии, так же как,например, класс параллельных прямых.67уравнениемx2 y 2+ 2 = 1,a2ba ≥ b > 0;y 2 = 2px,p > 0;x2 y 2− 2 = 1,a2ba, b > 0соответственно.В геометрии подобий каждый класс эквивалентности эллипсов, парабол и гипербол имеет единственного представителя, задаваемого в данной пдск уравнениемx2 +y2= 1,1 − ε20 ≤ ε < 1; y 2 = 2x; x2 −y2= 1,ε2 − 1ε>1соответственно.В аффинной геометрии все эллипсы между собой эквивалентны (в частности, эквивалентныэллипсу, имеющему уравнение x2 +y 2 = 1 в данной дск); аналогичное верно для парабол и гипербол.Читателю предлагается подумать, как сформулированные результаты связаны со следующими(легко проверяемыми) фактами.1) Аффинное преобразование плоскости зависит от шести параметров (т.е.
группа аффинныхпреобразований плоскости шестимерна), преобразование подобия — от четырех, движение —от трех.2) Семейства эллипсов и гипербол на плоскости являются пятипараметрическими, парабол —четырехпараметрическим29 .Заметим, что окружности на плоскости образуют трехпараметрическое семейство, но при этомих евклидова классификация приводит к однопараметрическому семейству классов эквивалентности(радиус окружности является инвариантом группы движений и поэтому каждый класс содержитединственного представителя, имеющего уравнение x2 + y 2 = r2 в выбранной пдск). Как это согласуется с тем, что для четырехпараметрического семейства парабол также существует единственныйевклидов инвариант (параметр p), и, таким образом, их евклидова классификация также приводитк однопараметрическому семейству классов эквивалентности?В заключение отметим, что подход к геометрии с точки зрения групп преобразований, намеченный нами в этом разделе, впервые был изложен Ф.
Клейном в 1872 году в лекции “Сравнительноерассмотрение новейших геометрических исследований” при вступлении в должность профессораЭрлангенского университета, известной теперь под названием “Эрлангенской программы”.Список литературы[1] В.И. Арнольд Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов. — М.: МЦНМО, 2002.—40 с.29тот факт, что парабол “меньше” чем эллипсов и гипербол, объясняется тем, что коэффициенты квадратичной части Ax2 !+ 2Bxy + Cy 2 уравнения, задающего кривую параболического типа, удовлетворяют уравнениюA Bδ := det= 0.B C68[2] В.И. Арнольд Математические методы классической механики: Учебное пособие. Изд.
5-е,стереотипное.— М.: Едиториал УРСС, 2003.— 416 с.[3] Д.В. Беклемишев Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. —12-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009 — 312 с.[4] Д.В. Беклемишев Решение задач из курса аналитической геометрии и линейной алгебры. —М.: ФИЗМАТЛИТ, 2014 — 192 с.[5] А.П. Веселов, Е.В. Троицкий Лекции по аналитической геометрии. — М.: МЦНМО, 2016.— 150 с.[6] Э.Б. Винберг Курс алгебры. — 2-е изд., стереотип.— М.: МЦНМО, 2013.— 592 с.[7] Э.Б. Винберг Симметрия многочленов. (Серия «Библиотека “Математическое просвещение”»,выпуск 11) — М.: МЦНМО, 2001.— 24 с.[8] М.Г. Иванов Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского.
— М.: МФТИ, 2007.—28 с.[9] А.И. Кострикин Введение в алгебру: Ч. I: Основы алгебры. — Новое издание. — М.: МЦНМО,2009.— 272 с.[10] А.И. Кострикин, Ю.И. Манин Линейная алгебра и геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та,1980.— 320 с.[11] И.М.
Парамонова Симметрия в математике. (Серия «Библиотека “Математическое просвещение”», выпуск 7) — М.: МЦНМО, 2000.— 16 с.[12] Я.П. Понарин Аффинная и проективная геометрия. — М.: МЦНМО, 2009.— 288 с.[13] М.В. Потоцкий Что изучает проективная геометрия? — М.: Просвещение, 1982.— 80 с.[14] В.В. Прасолов, В.М. Тихомиров Геометрия. — М.: МЦНМО, 2007.— 328 с.[15] А.Б. Сосинский Геометрии (на англ. языке). — М.: МЦНМО, 2008.— 101 с.[16] И.Р. Шафаревич Основные понятия алгебры.— Ижевск, Ижевская республиканская типография, 1999.—348 с.69.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
