МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Барицентрической линейной комбинацией точек p1 , . . . , pk аффинного пространства S называется выражение видаkXλi pi ,(31)i=1Pkгде λi ∈ R, при условии i=1 λi = 1.По определению, барицентрическая линейная комбинация (31) равна точке p ∈ S, определяемойP−→, где o ∈ S — некоторая точка.opравенством →op = ki=1 λi −iВо-первых, проверим, что точка p корректно определена.

Произвол в ее определении заключалсяв выборе точки o ∈ S. Пусть o0 — другая точка. ТогдаkkkXXX−→−→−→−→−→→−−→−→0000o p = o o + op = o o +λi opi =λi (o o + opi ) =λi o0 pi ,i=1i=1где в третьем равенстве мы использовали условиеPi λii=1= 1.Центром тяжести pc системы точек p1 , . . . , pk ∈ S называется точка1(p1 + .

. . + pk ).kНапример, центр тяжести r точек p, q ∈ S есть середина отрезка [p q]. Действительно, ∀ o ∈ S→−−−−−or = 21 →op + 12 →oq. Положим o = p, тогда →pr = 12 →pq.pc =55Задача 3.42. Доказать, что в аффинной плоскости центр тяжести точек p, q, r есть точкапересечения медиан треугольника с вершинами p, q, r.Более общо, барицентрическая линейная комбинация λp + µq при λ, µ ≥ 0 определяет точку r,−−−которая делит отрезок [p q] в отношении µ : λ.

Действительно, полагая o = r в →or = λ→op + µ→oq,−→prµ→−→−получаем λpr = µrq, то есть −= λ (при λ = 0 получаем r = q). Случаи λ < 0 или µ < 0 читателю→rqпредлагается исследовать самостоятельно.При решении задач бывает полезен следующий легко проверяемый факт: для любой пары α, βчисел такой, что α + β = 1 и α 6= 0 существует причем единственное λ, λ 6= −1 такое, что α =λ11+λ , β = 1+λ .

Тогда точка αp + βq делит отрезок [p q] в отношении λ : 1.Предложение 3.43. Если f : S → S — аффинное преобразование, то для произвольной бариценPтрической линейной комбинации ki=1 λi pi имеем:kkXXf(λi pi ) =λi f (pi ).i=1Доказательство. Пусть p =нации имеем:Pki=1 λi pi .i=1Тогда по определению барицентрической линейной комби-−f (p) = f (o + →op) = f (o) + dfkX→λi −opi!= f (o) +i=1f (o) +kXi=1kX→) =λi df (−opii=1kkX−−−−−−→ X−−−−−−→λi f (o)f (pi ) =λi (f (o) + f (o)f (pi )) =λi f (pi ).i=1i=1В частности, центр тяжести системы точек при аффинном преобразовании переходит в центртяжести их образов.Определение 3.44. Система точек {p0 , . . .

, pk } из (S, V, +) называется аффинно независимой, еслиникакую из них нельзя представить в виде барицентрической линейной комбинации остальных.Лемма 3.45. Система точек {p0 , . . . , pk } аффинно независима тогда и только тогда, когда система→−−→векторов {−p−0 p1 , . . .

, p0 pk } из V линейно независима.Доказательство. Пусть, например, p0 представляется в виде барицентрической линейной комбинаP→−−→−−→ции остальных точек, то есть p0 = λ1 p1 +. . .+λk pk , ki=1 λi = 1. Тогда 0 = −p−0 p0 = λ1 p0 p1 +. . .+λk p0 pk— нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулю.Обратно, пусть→−−→0 = λ1 −p−(32)0 p1 + . . . + λk p0 pkPk— нетривиальная линейная комбинация векторов, равная нулю. Еслиi=1 λi 6= 0, то без ограPk−→ничения общности можно считать, чтоi=1 λi = 1.

Пусть p := λ1 p1 + . . . + λk pk . Тогда p0 p =→−−→λ1 −p−0 p1 + . . . + λk p0 pk = 0, следовательно, p = p0 .P→−−→ −−→Теперь предположим, что ki=1 λi = 0, но λ1 6= 0. Используя соотношения −p−0 pi = −p1 p0 + p1 pi ,из (32) получаем линейную зависимость→−−→−−→0 = λ0 −p−1 p0 + λ2 p1 p2 + . . . + λk p1 pk ,56в которой λ0 := −λ1 − λ2 − . . .

− λk = 0. Тогда λ0 + λ2 + . . . + λk = −λ1 6= 0 и, значит, по предыдущемуp1 является барицентрической комбинацией точек p0 , p2 , . . . , pk .Легко видеть, что система {p0 , . . . , pk } точек из (S, V, +) аффинно независима ⇔ наименьшее (повключению) аффинное подпространство в (S, V, +), содержащее эти точки, имеет размерность k, и→−−→в этом случае система векторов {−p−0 p1 , . . . , p0 pk } является базисом в направляющем подпространствеэтого аффинного подпространства.Чтобы упростить обозначения, мы далее в этом параграфе положим, что S = (S, V, +) естьаффинная плоскость. Тогда максимальная аффинно независимая система в S состоит из трех точек.Возьмем такую систему {p0 , p1 , p2 }.

Аффинная независимость в данном случае означает, что эти триточки не лежат в одном одномерном аффинном подпространстве (на одной прямой), и, в частности,никакие две из них не совпадают.Предложение 3.46. Для любой точки p ∈ S существует единственная упорядоченная тройкачисел (x0 , x1 , x2 ) с условием x0 + x1 + x2 = 1, такая, что p = x0 p0 + x1 p1 + x2 p2 (барицентрическаялинейная комбинация).−−→ −−→Доказательство. Разложим вектор −p→0 p ∈ V по базису {p0 p1 , p0 p2 } в V , получим−−−→−−→p→0 p = x1 p0 p1 + x2 p0 p2для некоторых однозначно определенных x1 , x2 ∈ R. Пусть x0 := 1 − x1 − x2 , тогда легко видеть чтоp = x0 p0 + x1 p1 + x2 p2 , причем x0 + x1 + x2 = 1.Докажем единственность разложения. Пусть p = x0 p0 + x1 p1 + x2 p2 = x00 p0 + x01 p1 + x02 p2 , причемx0 + x1 + x2 = 1 = x00 + x01 + x02 .

Рассматривая векторизацию относительно p0 , получаем−−−→−−→0 −−→0 −−→p→0 p = x1 p0 p1 + x2 p0 p2 = x1 p0 p1 + x2 p0 p2 ,откуда x1 = x01 , x2 = x02 . Значит, и x0 = 1 − x1 − x2 = x00 .Произвольная система {p0 , p1 , p2 } аффинно независимых точек плоскости S называется барицентрической системой координат, а для точки p ∈ S тройка чисел (x0 , x1 , x2 ) как в условиипредыдущего предложения называется барицентрическими координатами точки p относительносистемы координат {p0 , p1 , p2 }.Барицентрические координаты x0 , x1 , x2 точки p имеют простой физический смысл: они равнымассам (не обязательно положительным, но удовлетворяющим условию x1 + x2 + x3 = 1), которыенужно поместить в точки p0 , p1 , p2 , чтобы p была центром масс такой системы.

В частности, всеxi > 0 тогда и только тогда, когда точка p лежит внутри треугольника с вершинами в точкахp0 , p1 , p2 .Продемонстрируем теперь применение барицентрических координат к решению задач. Вопервых, докажем следующую теорему Чевы:Теорема 3.47. Пусть точки u, v, w лежат на сторонах qr, rp, pq треугольника 4pqr и делятих в отношении λ : 1, µ : 1, ν : 1 соответственно. Тогда прямые pu, qv, rw имеют общую точкутогда и только тогда, когда λµν = 1, см. Рис. 12.57ruvpwqРис. 12: Теорема ЧевыДоказательство.

Найдем барицентрические координаты точек u, v, w относительно барицентрической системы координат {p, q, r}:λ1λ1q+r ⇒ u 0,,;u=1+λ1+λ1+λ 1+λ1µµ1v=r+p ⇒ v, 0,;(33)1+µ1+µ1+µ1+µ1ν1νw=p+q ⇒ w,,0 .1+ν1+ν1+ν 1+νТочки, лежащие на прямой pu, являются барицентрическими линейными комбинациями вида αp +βu, α + β = 1, и, значит, в системе {p, q, r} имеют барицентрические координатыλ1,β.α, β1+λ 1+λЛегко видеть, что барицентрические координаты (x, y, z), этих точек характеризуются тем, чтоz : y = λ. Аналогично, барицентрические координаты (x, y, z) точек, лежащих на прямой qv, характеризуются тем, что x : z = µ, а точек прямой rw — тем, что y : x = ν. Координаты (x, y, z) общейточки трех данных прямых удовлетворяют системе z : y = λ, x : z = µ, y : x = ν, и такая точкасуществует ⇔ λµν = 1.Используя теорему Чевы, можно доказать известные школьные теоремы о медианах, биссектрисах и высотах треугольника.Предложение 3.48.

Точки p, q, r аффинно независимы ⇔ матрица, составленная из их барицентрических координат, невырождена.Доказательство. Пусть относительно некоторой барицентрической системы координат {p0 , p1 , p2 }точки p, q, r имеют барицентрические координаты (α0 , α1 , α2 ), (β0 , β1 , β2 ), (γ0 , γ1 , γ2 ) соответственно.

Имеем: α0 β0 γ0 1 1 1 100 β1 − α1 γ1 − α1 ===,α1 β1 γ1 α1 β1 γ1 α1 β1 − α1 γ1 − α1 β2 − α2 γ2 − α2 α2 β2 γ2 α2 β2 γ2 α2 β2 − α2 γ2 − α2 где мы, во-первых, к первой строке прибавили сумму второй и третьей, во-вторых, из второго итретьего столбцов вычли первый, и, наконец, использовали формулу разложения определителя по58ruvwqpРис. 13: Теорема Менелая−−первой строке.

Легко видеть, что последний определитель составлен из координат векторов →pq, →pr−−→−−→в базисе p0 p1 , p0 p2 . Действительно,−−−→−−→p→0 p = α1 p0 p1 + α2 p0 p2 ,−−−→−−→ −→−−→−−→p→0 q = β1 p0 p1 + β2 p0 p2 , p0 r = γ1 p0 p1 + γ2 p0 p2 ,−−откуда следует требуемое. Значит, p, q, r аффинно независимы ⇔ →pq, →pr линейно независимы ⇔определитель, составленный из их координат не равен нулю ⇔ определитель, составленный из барицентрических координат точек p, q, r не равен нулю.Докажем теперь следующую теорему Менелая.Теорема 3.49.

Пусть точки u, v, w, лежащие на сторонах qr, rp, pq треугольника 4pqr или ихпродолжениях, делят эти стороны в отношениях λ : 1, µ : 1, ν : 1 соответственно. Тогда точкиu, v, w лежат на одной прямой ⇔ λµν = −1, см. Рис. 13.Доказательство. Барицентрические координаты точек u, v, w относительно барицентрической системы координат {p, q, r} уже найдены нами в (33). Составим из них определитель и воспользуемсяпредыдущим предложением.

Имеем:λ 1 0 1 λ 01+λ1+λ 1 µ1 =0µ01 1+µ=1+µ (1 + λ)(1 + µ)(1 + ν)ν 11 ν 001+ν1+ν1(1 + λµν) = 0 ⇔ λµν = −1.(1 + λ)(1 + µ)(1 + ν)3.9Добавление 3: Группа аффинных преобразований и ее подгруппыПусть o ∈ S — фиксированная точка. Рассмотрим в GA(S) подгруппу Go , состоящую из преобразований, оставляющих точку o на месте. Пусть d0 : Go → GL(V ) — ограничение на Go дифференциалаd : GA(S) → GL(V ).Предложение 3.50. d0 является изоморфизмом группы Go на GL(V ).Доказательство. То, что d0 является гомоморфизмом, следует из того, что d — гомоморфизм, чтобыло установлено выше.

Покажем, во-первых, что d0 инъективен. Заметим, что если f ∈ Go , то есть−−−→−f (o) = o, то df (→op) = of (p). Пусть df = dg для f, g ∈ Go ; тогда имеем:−−−→−−−→−−df (→op) = of (p) = dg(→op) = og(p) ∀ p ∈ S ⇒ f (p) = g(p) ⇒ d0 инъективен.59Покажем теперь, что d0 сюръективен. Для произвольного ϕ ∈ GL(V ) обозначим через ωo (ϕ)−преобразование из Go , заданное формулой ωo (ϕ)(p) := o + ϕ(→op) ∀ p ∈ S. Пусть q = p + v, тогдаимеем:−−−ωo (ϕ)(q) = o + ϕ(→oq) = o + ϕ(→op + v) = (o + ϕ(→op)) + ϕ(v) = ωo (ϕ)(p) + ϕ(v),откуда получаем, что ωo (ϕ) аффинно и d(ωo (ϕ)) = ϕ, а, значит, d0 сюръективен и, следовательно,изоморфизм.Заметим, что определенное в доказательстве Предложения отображение ωo : GL(V ) → Go — изоморфизм, обратный к d0 . Проверим это независимо от предыдущего доказательства. Во-первых, то,что ωo — гомоморфизм, следует из тождества ωo (ψ ◦ ϕ)(p) = (ωo (ψ) ◦ ωo (ϕ))(p) ∀ p ∈ S, вытекающегонепосредственно из определения ωo .

Характеристики

Список файлов книги