МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Действительно,−ωo (ψ ◦ ϕ)(p) = o + ψ(ϕ(→op)),−−−−−(ωo (ψ) ◦ ωo (ϕ))(p) = ωo (ψ)(o + ϕ(→op)) = o + ψ(→oo + ϕ(→op)) = o + ψ(0 + ϕ(→op)) = o + ψ(ϕ(→op)).То, что d(ωo (ϕ)) = ϕ, мы уже доказали. Пусть теперь f ∈ Go , тогда имеем:−−ωo (df )(p) = o + df (→op) = f (o) + df (→op) = f (p) ⇒ ωo (df ) = f ∀ f ∈ Go .Таким образом, для каждой точки o ∈ S имеем вложение ωo : GL(V ) → GA(S) полной линейной группы векторного пространства V в качестве подгруппы группы аффинных преобразований,оставляющих точку o на месте.Предложение 3.51. Любой элемент f ∈ GA(S) единственным образом представляется в виде−−−→f = ta ◦ ωo (ϕ), где ϕ ∈ GL(V ), a ∈ V.
Точнее, a = of (o), ϕ = df.Доказательство. Пусть f = ta ◦ ωo (ϕ), тогдаf (o) = (ta ◦ ωo (ϕ))(o) = ta (o) = o + a−−→⇒ a = of (o),откуда легко видеть, что t−1a ◦ f ∈ Go , и, значит, представление в требуемом виде существует.Проверим что оно единственно. Пусть ta ◦ ωo (ϕ) = tb ◦ ωo (ψ), тогда, применяя обе части к точкеo, получаем a = b. Далее, беря композицию с t−1a , получаем ωo (ϕ) = ωo (ψ), и так как гомоморфизмωo инъективен, ϕ = ψ.−−−→−−→ ◦ ωo (df ), применяя левую и правуюПусть теперь a = of (o), ϕ = df.
Проверим, что f = t−of (o)части к произвольной точке p ∈ S. Имеем:−−−→ −−−−−→−−−→ ◦ ωo (df ))(p) = t−−−→ (o + df (→(t−op)) = o + of (o) + f (o)f (p) = f (p).of (o)of (o)Заметим, что в представленииf = ta ◦ ωo (ϕ)(34)элемент ϕ ∈ GL(V ), будучи в силу доказанного предложения дифференциалом f , не зависит от−−−→выбора точки o, в то время как вектор a = of (o) зависит. Данную зависимость описывает следующееПредложение.60Предложение 3.52.
При замене начальной точки o на точку o0 вектор a в представлении (34)−→−→заменяется на вектор b = a + ϕ(oo0 ) − oo0 .Доказательство. Пусть f = ta ◦ ωo (ϕ) = tb ◦ ωo0 (ϕ). Тогда ωo0 (ϕ) = ta−b ◦ ωo (ϕ). Применяя левую иправую части последнего равенства к точке o0 , получаем:−→−→−→−→o0 = (ta−b ◦ ωo (ϕ))(o0 ) = ta−b (o + ϕ(oo0 )) = o + ϕ(oo0 ) + a − b = o0 + o0 o + ϕ(oo0 ) + a − b,откуда все следует.Для упрощения обозначений далее мы будем опускать знак композиции ◦. Таким образом, мыполучили, что любой элемент f ∈ GA(S) представляется в виде (34). Чтобы описать групповую операцию в GA(S), нужно научиться перемножать элементы вида ta ωo (ϕ), представляя произведениев таком же виде. Для этого нам понадобится следующее Предложение.Предложение 3.53.
Для любых f ∈ GA(S) и a ∈ V имеем:f ta f −1 = tdf (a) .Доказательство. Пусть p = f (q). Тогда имеем:f ta f −1 (p) = f (q + a) = f (q) + df (a) = p + df (a) = tdf (a) (p).Упростим обозначения, опуская в дальнейших выкладках символ ωo . Теперь мы можем вывестизакон умножения элементов группы GA(S), представленных в виде (34):tb ψ ta ϕ = tb ψ ta ψ −1 ψ ϕ = tb tψ(a) ψϕ = tb+ψ(a) ψϕ.В частности, для обратного элемента имеем:tb+ψ(a) ψϕ = idS = t0 idV⇒ b = −ψ(a), ψ = ϕ−1 ,откуда(ta ϕ)−1 = t−ϕ−1 (a) ϕ−1 .Фактически, элементы аффинной группы GA(S) — пары (ta , ϕ), где ta ∈ Trans(S) ∼= (V, +), ϕ ∈GL(V ), с правилом умножения(tb , ψ)(ta , ϕ) = (tb+ψ(a) , ψϕ).(35)В теории групп данная конструкция называется полупрямым произведением групп Trans(S) и GL(V )и обозначается Trans(S) h GL(V ) (подробнее о нем можно почитать в учебнике [6]). Таким образом,GA(S) = Trans(S) h GL(V ) или, в случае записи преобразований в координатах, Rn h GLn (R).Заметим, что в группе GL(V ) есть много интересных подгрупп, например группа ортогональныхпреобразований O(V ) (в случае евклидова пространства V ).
Для всякой такой подгруппы G ⊂GL(V ) можно рассмотреть соответствующее полупрямое произведение Trans(S) h G, получая приэтом группы преобразований пространства (S, V, +), содержащиеся в GA(S). Например, Iso(S) =Trans(S) h O(V ) есть группа (всех) движений аффинного евклидова пространства (S, V, +) (ср.61Предложение 3.24). Она состоит из всех пар (ta , ϕ), где ta ∈ Trans(S),умножения (35).ϕ ∈ O(V ), с правиломКонструкция полупрямого произведения играет большую роль в теоретической физике: группаПуанкаре, являющаяся группой движений пространства-времени, является полупрямым произведением группы параллельных переносов и группы Лоренца. Определим аналоги этих групп длядвумерного пространства.Пусть V — двумерное вещественное векторное пространство. Выберем в V базис {e1 , e2 }; тогда любой вектор v ∈ V однозначно задается своим координатным столбцом (v1 , v2 )T . Определимфункцию (·, ·)Λ : V × V → R формулой(u, v)Λ := u1 v1 − u2 v2 ∀ u, v ∈ V.(36)Легко проверяется, что функция (·, ·)Λ обладает такими свойствами скалярного произведения какбилинейность, т.е.
(λu + µu0 , v)Λ = λ(u, v)Λ + µ(u0 , v)Λ и аналогично для второго аргумента; симметричность, т.е. (u, v)Λ = (v, u)Λ ∀ u, v ∈ V , но, в отличие от евклидова скалярного произведения, не является положительно определенной, то есть не обязательно из v 6= 0 следует (v, v)Λ > 0.Например, для вектора u с координатами (0, 1)T (u, u)Λ = −1, а для вектора v с координатами(1, 1)T — (v, v)Λ = 0.Заметим, что функцию (36) можно записать в виде (15) с матрицей Грама!1 0G=,(37)0 −1откуда получается условие (16) того, что линейное преобразование ϕ : V → V , имеющее матрицуA = Aϕ в выбранном базисе {e1 , e2 }, сохраняет данное скалярное произведение.Пусть a1 := (a11 , a21 )T , a2 := (a12 , a22 )T — столбцы матрицы A.Задача 3.54.
Покажите, что преобразование ϕ с матрицей A в базисе {e1 , e2 } сохраняет функцию (·, ·)Λ тогда и только тогда, когда(a , a ) = 1; 1 1 Λ(38)(a1 , a2 )Λ = 0;(a2 , a2 ) = −1Λ(ср. (8)).Задача 3.55. Покажите, что решения системы из предыдущей задачи распадаются на четыресемейства (ср. (9)):!!!!ch α sh α− ch α − sh αch α − sh α− ch α sh α,,,.(39)sh α ch α− sh α − ch αsh α − ch α− sh α ch αЛегко видеть, что линейные преобразования ϕ, сохраняющие функцию (·, ·)Λ (матрицы, полученные в предыдущей задаче) образуют группу относительно композиции (произведения), котораяназывается двумерной группой Лоренца и обозначается O(1, 1) (или в физической литературе Λ(2)).62Ясно, что группа Лоренца O(1, 1) — подгруппа GL2 (R).
Подробнее о группе Лоренца и ее роли вспециальной теории относительности можнопочитать в [10].!ch α sh αЗаметим, что матрицыпервого семейства из (39) образуют подгруппу в O(1, 1),sh α ch αпри этом задаваемые ими преобразования можно рассматривать как аналоги поворотов — гиперболические повороты. В частности, используя формулы сложения гиперболических функций, легкодоказать, что при перемножении матриц такого вида их гиперболические углы α складываются.Гиперболические повороты используются в специальной теории относительности для описанияперехода в новую инерциальную систему отсчета, причем относительная скорость v (в системе единиц, в которой скорость света c = 1) связана с гиперболическим углом α соотношением v = th α,см.
например популярное изложение с физической точки зрения в брошюре [8].Если (S, V, +) — аффинная плоскость, то, по определению, двумерная группа Пуанкаре естьIso(1, 1) := Trans(S)hO(1, 1) ⊂ GA(S) — полупрямое произведение группы параллельных переносови двумерной группы Лоренца.3.10Добавление 4: О геометрии в смысле Ф. КлейнаПусть G — произвольная группа биективных преобразований евклидовой плоскости S. Например,Iso(S) — группа всех движений, Sim(S) — группа всех преобразований подобия, GA(S) — группа аффинных преобразований. Имеем вложения в качестве подгрупп: Iso(S) ⊂ Sim(S) ⊂ GA(S). ГруппаGA(S) содержит и другие подгруппы, например (двумерную) группу Пуанкаре Iso(1, 1), введеннуюв предыдущем добавлении, или группу SA(S) эквиаффинных преобразований, состоящую из преобразований f ∈ GA(S) таких, что det df = ±1 (то есть сохраняющих (неориентированную) площадьфигур).Определение 3.56.
Две фигуры F, F 0 ⊂ S называются эквивалентными относительно группы G(или G-эквивалентными), если существует преобразование g ∈ G такое, что F 0 = g(F ).С использованием аксиом группы легко проверяется, что это действительно есть отношение эквивалентности. Например, все (невырожденные) треугольники на аффинной евклидовой плоскостиS эквивалентны относительно аффинной группы GA(S), два треугольника эквивалентны относительно SA(S) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую площадь, относительно Sim(S) —тогда и только тогда, когда они подобны, относительно Iso(S) тогда и только тогда, когда они равны.
Примеры эквивалентных треугольников и эллипсов в планиметрии Минковского, отвечающейгруппе Iso(1, 1), приведены на Рис. 14.Замечание 3.57. Скажем пару слов о геометрии аффинной плоскости Минковского (S, V, +). Определение (36) скалярного произведения в V означает, что в V найдется базис {e1 , e2 }, матрица Грамакоторого есть матрица (37), и квадрат длины вектора v ∈ V вычисляется как разность квадратовего координат v12 −v22 . Такие базисы называются ортонормированными.25 Соответствующим образом25Заметим, что если матрица Грама скалярного произведения, заданного в базисе {e1 , e2 } формулой (36), в некотором базисе имеет диагональный вид, то на ее главной диагонали стоят числа разных знаков (“закон инерции”квадратичных форм).
То есть если базис ортогональный (скалярное произведение разных базисных векторов равнонулю), то скалярный квадрат одного из базисных векторов положительный, другого — отрицательный.63D0DBAD0DC0BC00CACРис. 14: На первом рисунке треугольники 4ABC и 4AB 0 C 0 эквивалентны в планиметрии Минковского (здесь B и B 0 — середины отрезков AD и AD0 соответственно). Аналогично, изображенныена втором рисунке эллипс и окружность эквивалентныопределяется и квадрат расстояния (называемый в данном случае квадратом интервала) междуточками аффинной плоскости Минковского S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
