МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Действительно, при векторизации сложение точки и вектора превращается в сложе−−−ние векторов →oq = →op + v и, как мы знаем, координаты вектора →oq равны суммам соответствующих→−−координат векторов op и v. Отсюда получаем, что координаты вектора →pq равны разностям соответствующих координат точек q и p.Мы видим, что подобно тому как выбор базиса в векторном пространстве V приводит к отождествлению V с Rn , сохраняющему операции, выбор декартовой системы координат в аффинномпространстве (S, V, +) приводит к отождествлению S с Rn (каждой точке ставится в соответствие−ее столбец координат), при этом V также отождествляется с Rn (координаты вектора →pq равны−разностям соответствующих координат точек q и p) и операция “+” сложения точки p и вектора →pqсводится к сумме соответствующих координатных столбцов, что дает координатный столбец точкиq.Замена декартовой системы координат. Пусть в (S, V, +) заданы две дск o, {e1 , e2 } иo0 , {e01 , e02 }.
Пусть C — матрица перехода между базисами {e1 , e2 } и {e01 , e02 } (то есть (e01 , e02 ) =(e1 , e2 ) C).Пусть p ∈ S — некоторая точка. Как связаны ее координаты в старой (x1 , x2 )T и новой (x01 , x02 )Tсистемах координат, если известна матрица перехода C и координаты (xo1 , xo2 )T начала o0 второй дскотносительно первой?Имеем:!!!!−→0−→x1xo1x01x01→−000op = (e1 , e2 ), oo = (e1 , e2 ), o p = (e1 , e2 )= (e1 , e2 ) C.x2xo2x02x02−→ −→−Подставим теперь приведенные выше разложения по базису {e1 , e2 } в равенство →op = oo0 + o0 p,получим:!!!!!!x1xo1x01x01xo1(e1 , e2 )= (e1 , e2 )+ (e1 , e2 ) C= (e1 , e2 ) C+.x2xo2x02x02xo2Тогда из единственности разложения по базису получаем искомую связь между координатами:!!!x1x01xo1=C+.x2x02xo2Заметим, что мы выразили старые координаты произвольной точки p через ее новые координаты.Но матрица C как матрица перехода между базисами обратима, что позволяет выразить такженовые координаты через старые.Если обе дск o, {e1 , e2 } и o0 , {e01 , e02 } прямоугольные, то матрица C ортогональна.
Вообще, длядекартовых систем координат имеет место аналог Предложения 2.35.413.3Аффинные преобразования и их свойстваПусть (S, V, +) — аффинная плоскость или аффинное пространство.Определение 3.7. Отображение f : S → S называется аффинным преобразованием, если ∀ p ∈S, ∀ v ∈ Vf (p + v) = f (p) + ϕ(v),(22)гдеϕ: V → V— некоторое линейное преобразование, называемое дифференциалом f и иногда обозначаемое df .Аналогично можно было бы определить аффинные отображения между разными аффиннымипространствами, но мы их здесь рассматривать не будем.Из определения следует, что аффинное преобразование полностью определяется своим диффе−ренциалом df и образом некоторой точки p ∈ S. Действительно, ∀ q ∈ S f (q) = f (p + →pq) =→−f (p) + df (pq).Замечание 3.8.
Заметим, что дифференциал ϕ восстанавливается по аффинному преобразованию−−−−−→−f . Действительно, пусть v = →pq, то есть q = p + v, тогда f (q) = f (p) + ϕ(v) ⇒ ϕ(v) = f (p)f (q).Замечание 3.9. Заметим также, что выполнение свойства (22) достаточно потребовать для некоторой точки p ∈ S и для любого вектора v ∈ V , тогда оно будет верно для любой точки q ∈ S.Действительно, пусть f (p + v) = f (p) + df (v) ∀ v ∈ V. Тогда−−−f (q + v) = f ((p + →pq) + v) = f (p + (→pq + v)) = f (p) + df (→pq + v) =−−−−−→−f (p) + df (→pq) + df (v) = f (p) + f (p)f (q) + df (v) = f (q) + df (v).Пример 3.10.
Тождественное преобразование f = idS : S → S является аффинным. Заметим, чтоего дифференциал — тождественное линейное преобразование idV : V → V.Пример 3.11. Параллельный перенос на вектор v ∈ V определяется следующим образом:tv : S → S,tv (p) = p + v ∀ p ∈ S.−−Если v = 0, то t0 = idS . Заметим, что dtv = idV . Действительно, если w = →pq, то dtv (→pq) =−−−−−−→ →−tv (p)tv (q) = pq.Обратно, пусть f : S → S — аффинное преобразование такое, что df = idV .
Покажем, что f = tv−−−→для некоторого v ∈ V. Действительно, положим v := pf (p). Тогда для произвольной точки q ∈ Sимеем:−−−→ −−−−→−−−→−−−f (q) = f (p) + df (→pq) = f (p) + →pq = p + pf (p) + →pq = p + →pq + pf (p) = q + pf (p) = q + v.Пример 3.12. Пусть Rα — поворот аффинной евклидовой плоскости S вокруг точки o ∈ S на уголα (см. Пример 2.42). Тогда Rα — аффинное преобразование S, причем dRα = rα (в обозначениях−−−−−−−−→−того же примера). Действительно, по определению, rα (→pq) = Rα (p)Rα (q) и поэтому−−−−−−−−→−−Rα (q) = Rα (p + →pq) = Rα (p) + rα (→pq) = Rα (p) + Rα (p)Rα (q) = Rα (q) ∀ q ∈ S.42При векторизации (см. стр.
39) аффинной плоскости S относительно точки o точки p ∈ S отож−дествляются со своими радиус-векторами →op ∈ V , при этом поворот Rα плоскости S отождествляетсяс поворотом rα векторной евклидовой плоскости V .Пример 3.13. Пусть Rα — поворот аффинной евклидовой плоскости S вокруг точки p на угол α вположительном направлении. Пусть o, {e1 , e2 } — правая пдск. Запишем Rα в координатах, если pимеет координаты (x0 , y0 )T .Пусть q ∈ S — произвольная точка, (x, y)T — ее координаты.
Имеем:−−Rα (q) = Rα (p) + rα (→pq) = p + rα (→pq).(23)−−Вектор →pq в базисе {e1 , e2 } имеет координатный столбец (x − x0 , y − y0 )T . Тогда rα (→pq) в том жебазисе имеет координатный столбец!!!(x − x0 ) cos α − (y − y0 ) sin αcos α − sin αx − x0=.(x − x0 ) sin α + (y − y0 ) cos αsin α cos αy − y0Тогда из (23) получаем, что точка Rα (q) имеет координаты(x0 + (x − x0 ) cos α − (y − y0 ) sin α, y0 + (x − x0 ) sin α + (y − y0 ) cos α)T .Предложение 3.14. Пусть f, g : S → S — аффинные преобразования.
Тогда композиция g ◦f : S →S — аффинное преобразование, причем d(g ◦ f ) = (dg) ◦ (df ).Доказательство. Пусть p ∈ S, v ∈ V. Тогда имеем:(g ◦ f )(p + v) = g(f (p + v)) = g(f (p) + df (v)) = g(f (p)) + dg(df (v)) = (g ◦ f )(p) + (dg ◦ df )(v),откуда вытекает аффинность композиции g ◦ f , так как мы уже знаем из Предложения 2.46, чтокомпозиция линейных преобразований dg ◦ df линейна.Оказывается, что обратимость аффинного преобразования полностью определяется его дифференциалом.Предложение 3.15. Аффинное преобразование f : S → S биективно ⇔ линейное преобразованиеdf : V → V биективно.Доказательство. Рассмотрим векторизацию−χo : S → V, χo (p) = →opотносительно некоторой точки o ∈ S. Напомним, что она является биекцией.Заметим, что следующая диаграммаSχofV/Sdf43/Vχf (o)(24)−−−−−→коммутативна, то есть χf (o) ◦ f = df ◦ χo .
Действительно, (χf (o) ◦ f )(p) = χf (o) (f (p)) = f (o)f (p),−−−−−→−(df ◦ χ )(p) = df (χ (p)) = df (→op) = f (o)f (p).ooЕсли df — биекция, то из диаграммы (24) следует, что f = (χf (o) )−1 ◦ df ◦ χo — биекция каккомпозиция биекций. Если f — биекция, то из диаграммы (24) следует, что df = χf (o) ◦ f ◦ (χo )−1 —биекция как композиция биекций.Из Предложения 2.46 мы знаем, что преобразование, обратное к биективному линейному, тожелинейно. То же верно и для аффинных преобразований.Предложение 3.16. Пусть f : S → S — биективное аффинное преобразование. Тогда f −1 : S → Sтакже аффинно, причем d(f −1 ) = (df )−1 .Доказательство.
Для биективного преобразования f однозначно определено f −1 . Докажем, что f −1аффинно. Точнее, докажем, что для q = p + vf −1 (q) = f −1 (p) + (df )−1 (v) (то есть что d(f −1 ) = (df )−1 ).f −1 однозначно характеризуется тем, что это такое отображение S → S, что f ◦ f −1 = idS . С однойстороны, f (f −1 (q)) = q; с другой стороны, имеем:f (f −1 (p) + (df )−1 (v)) = f (f −1 (p)) + df ((df )−1 (v)) = p + v = q,откуда и вытекает требуемое.Следствие 3.17.
Биективные аффинные преобразования f : S → S образуют группу относительнооперации композиции. Эта группа обозначается GA(S) и называется группой аффинных преобразований аффинного пространства S.Отметим, что Предложение 3.14 теперь можно сформулировать так: если (S, V, +) — аффинноепространство, то дифференциал d задает гомоморфизм из группы GA(S) в группу GL(V ).Определение 3.18. Биективное аффинное преобразование f аффинной плоскости (пространства)(S, V, +) называется собственным, если df сохраняет ориентацию базисов пространства V , в противном случае f называется несобственным.Заметим, что собственные аффинные преобразования образуют подгруппу GA+ (S) в GA(S),причем ее образ при гомоморфизме d есть подгруппа GL+ (V ) ⊂ GL(V ) линейных преобразований,сохраняющих ориентацию V (эквивалентно, задаваемых в произвольном базисе матрицами, имеющими положительный определитель).Пример 3.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
