МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Тогда из правила умножения матриц (точнее, строки на матрицу) следует, что (12) эквивалентно следующемусоотношению:(ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )) = (e1 , e2 , e3 )A.(13)Подставляя (13) в (11) и используя ассоциативность произведения матриц, получаем:   v1v1   ϕ(v) = ((e1 , e2 , e3 )A) v2  = (e1 , e2 , e3 ) A v2  ,v3(14)v3 v1 то есть координаты вектора ϕ(v) в базисе {e1 , e2 , e3 } образуют столбец A v2  .

Матрица A назыv3вается матрицей преобразования ϕ в базисе {e1 , e2 , e3 }.Таким образом, мы видим, что в фиксированном базисе действие линейного преобразования ϕ навектор v сводится к умножению матрицы преобразования ϕ в этом базисе на столбец координатвектора v в том же базисе. Тем самым мы еще дальше продвинулись в сведе́нии геометрии калгебре, начатом в разделе 2.2.Задача 2.49. Проверить, что в любом базисе пространства V матрица преобразования λ idVравна λ E.Замечание 2.50.

Формула (11) показывает, что линейное преобразование полностью определяетсятем, куда оно переводит некоторый базис, то есть системой векторов {ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )} для некоторого базиса {e1 , e2 , e3 }. Другими словами, линейное преобразование полностью определяется своейматрицей. Тем самым сопоставление ϕ 7→ Aϕ преобразованиям их матриц в фиксированном базисеопределяет инъективное отображение из множества преобразований в множество матриц порядка3. Обратно, взяв произвольную матрицу порядка 3, можно определить линейное преобразованиепространства V с базисом {e1 , e2 , e3 } по формуле (14). Другими словами, указанное сопоставлениетакже сюръективно.

Таким образом, каждый базис задает биекцию между множеством линейныхпреобразований пространства V и множеством матриц порядка 3. Конечно, этот результат обобщается на случай произвольной размерности dim V = n: каждый базис задает биекцию междумножеством линейных преобразований пространства V и множеством матриц порядка n.Замечание 2.51. Линейное преобразование ϕ биективно ⇔ оно обратимо ⇔ оно некоторый базиспереводит в базис (то есть для базиса {e1 , e2 , e3 } система векторов {ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )} тоже базис)⇔ столбцы его матрицы A в некотором базисе линейно независимы ⇔ det A 6= 0 ⇔ матрица Aобратима (обратная матрица A−1 будет тогда матрицей обратного преобразования ϕ−1 в том жебазисе).Предложение 2.52. Сопоставление ϕ 7→ Aϕ линейному преобразованию его матрицы в базисеобладает следующими свойствами: композиции преобразований ψ ◦ ϕ отвечает умножение ихматриц, то естьAψ◦ϕ = Aψ Aϕ ,28тождественному преобразованию idV отвечает единичная матрица (в любом базисе!), AidV = E,и если ϕ обратимо, тоAϕ−1 = (Aϕ )−1 .Доказательство.

Пусть Aϕ = (aϕij ). По определению матрицы преобразования для k = 1, 2, 3 имеемaϕ1k ϕϕϕϕ(ek ) = aϕ1k e1 + a2k e2 + a3k e3 = (e1 , e2 , e3 ) a2k  ,aϕ3kи тогда по линейности ψaϕ1k ϕϕϕψ(ϕ(ek )) = aϕ1k ψ(e1 ) + a2k ψ(e2 ) + a3k ψ(e3 ) = (ψ(e1 ), ψ(e2 ), ψ(e3 )) a2k  .aϕ3kЗначит,(ψ(ϕ(e1 )), ψ(ϕ(e2 )), ψ(ϕ(e3 ))) = (ψ(e1 ), ψ(e2 ), ψ(e3 ))Aϕ .Используя это, получаем(e1 , e2 , e3 )Aψ◦ϕ = (ψ(ϕ(e1 )), ψ(ϕ(e2 )), ψ(ϕ(e3 ))) = (ψ(e1 ), ψ(e2 ), ψ(e3 ))Aϕ =(e1 , e2 , e3 )Aψ Aϕ ,откуда Aψ◦ϕ = Aψ Aϕ .Из Задачи 2.49 мы знаем, что в любом базисе AidV = E.

Если ϕ−1 — преобразование, обратное ϕ,то ϕ−1 ◦ϕ = idV . Из доказанного тогда следует, что Aϕ−1 Aϕ = Aϕ−1 ◦ϕ = AidV = E ⇒ Aϕ−1 = (Aϕ )−1 ,что и требовалось доказать.Замечание 2.53. В частности, выбор базиса {e1 , e2 , e3 } в V определяет изоморфизм между группойGL(V ) и группой GL3 (R) обратимых матриц порядка 3 с элементами из поля R.Кроме того, легко проверяется, что сумме операторов отвечает сумма их матриц, Aϕ+ψ = Aϕ +Aψ , произведению оператора на число — произведение его матрицы на это число, Aλϕ = λAϕ . Такимобразом, операции над линейными преобразованиями приводят к соответствующим операциям надих матрицами в фиксированном базисе.Замечание 2.54.

Более формально, выбор базиса определяет изоморфизм алгебры L(V ) (см. Замечание 2.48) линейных преобразований векторного пространства V и алгебры Mat3 (R) матриц порядка3 с элементами из поля R.Выше уже отмечалось, что матрица преобразования зависит, вообще говоря, от базиса. Опишемэту зависимость.Предложение 2.55. Если {e1 , e2 , e3 } и {e01 , e02 , e03 } — два базиса в пространстве V и C — матрицаперехода от первого ко второму, то для произвольного преобразования ϕ пространства V имеем:A0ϕ = C −1 Aϕ Cгде Aϕ , A0ϕ — матрицы преобразования ϕ в первом и втором базисах соответственно.29Доказательство. По определению матрицы перехода для k = 1, 2, 3 имеемe0k = c1k e1 + c2k e2 + c3k e3 ,и тогда по линейности ϕc1k ϕ(e0k ) = c1k ϕ(e1 ) + c2k ϕ(e2 ) + c3k ϕ(e3 ) = (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )) c2k  .c3kЗначит,(ϕ(e01 ), ϕ(e02 ), ϕ(e03 )) = (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 ))C.Используя это, получим(e01 , e02 , e03 )A0ϕ = (ϕ(e01 ), ϕ(e02 ), ϕ(e03 )) = (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 ))C =(e1 , e2 , e3 )Aϕ C = (e01 , e02 , e03 )C −1 Aϕ C,откуда A0ϕ = C −1 Aϕ C, что и требовалось доказать.В частности, если ϕ = idV — тождественное преобразование, то оно имеет одну и ту же (единичную) матрицу во всех базисах, поскольку единичная матрица коммутирует (перестановочна) совсеми матрицами и, значит, E = C −1 EC для любой обратимой матрицы C.

Можно показать, чтопреобразование ϕ имеет одну и ту же матрицу во всех базисах тогда и только тогда, когда ϕ = λ idV .Пример 2.56. Пусть {e1 , e2 } — базис в двумерном пространстве V и пусть λ1 , λ2 ∈ R — произвольнаяпара чисел. Рассмотрим линейное преобразование ϕ : V → V , заданное своими значениями на базисе:ϕ(e1 ) = λ1 e1 , ϕ(e2 ) = λ2 e2 .С использованием свойства линейности оно однозначно продолжается на все пространство V : всамом деле, для произвольного вектора v = µ1 e1 + µ2 e2 имеем:ϕ(v) = µ1 ϕ(e1 ) + µ2 ϕ(e2 ) = µ1 λ1 e1 + µ2 λ2 e2 .В базисе {e1 , e2 } преобразование ϕ имеет диагональную матрицу!λ1 0.0 λ2Рассмотрим линейные преобразования ψ, χ : V → V,ψ(e1 ) = λ1 e1 , ψ(e2 ) = e2 ; χ(e1 ) = e1 , χ(e2 ) = λ2 e2 .Тогда, легко видеть, что ϕ = χ ◦ ψ = ψ ◦ χ и соответственно для матриц!!!!!λ1 01 0λ1 0λ1 01 0==.0 λ20 λ20 10 10 λ2Если V — евклидова плоскость, λ1 > 0, и векторы e1 , e2 взаимно перпендикулярны, то преобразование ψ естественно назвать сжатием (при 0 < λ1 ≤ 1) или растяжением (при 1 ≤ λ1 ) кодномерному подпространству с направляющим вектором e2 ; аналогично для χ.30rα (e2 )e2αrα (e1 )αe1Рис.

9: Вывод матрицы преобразования поворотаПример 2.57. Найдем матрицу поворота rα (см. Пример 2.42) в правом ортонормированном базисена плоскости (см. Рис. 9). Имеем:rα (e1 ) = e1 cos α + e2 sin α;rα (e2 ) = −e1 sin α + e2 cos α.Таким образом, матрица преобразования поворота на угол α в указанном классе базисов есть!cos α − sin αA=.sin α cos αПример 2.58. Найдем в ортонормированном базисе {e1 , e2 } на плоскости матрицу преобразованиясимметрии sl (см. Задачу 2.44) относительно одномерного подпространства l (направляющий векторподпространства l ⊂ V предполагается известным).Пусть единичный направляющий вектор a подпространства l имеет в базисе координаты(cos α2 , sin α2 )T .

Тогда единичный вектор нормали n (один из двух) к подпространству l имеет координаты (− sin α2 , cos α2 )T . Используя формулу Задачи 2.44, имеем:sl (e1 ) = e1 − 2(e1 , n) n,и вычисление с координатными столбцами приводит к результату15(1, 0)T + 2 sinααα(− sin , cos )T = (cos α, sin α)T .222Аналогичное вычисление показывает, что вектор sl (e2 ) имеет в базисе {e1 , e2 } координатный столбец (sin α, − cos α)T .Таким образом, матрица преобразования симметрии sl относительно подпространства l, направляющий вектор a которого имеет координаты (cos α2 , sin α2 )T , есть!cos α sin αAs l =.sin α − cos α15отметим, что, как и должно быть, выражение для sl (e1 ) не меняется при замене n на −n.31(Кстати, теперь понятно зачем мы в качестве углового параметра взяли не α, а α2 ).

По виду онапохожа на матрицу поворота, но имеет принципиальное отличие от нее: ее определитель равен −1, вто время как определитель матрицы поворота равен 1. Это связано с тем, что симметрия в отличиеот поворота меняет ориентацию базиса.2.7Ортогональные преобразованияПусть V — евклидово пространство со скалярным произведением (·, ·). Напомним, что длина (=pмодуль) вектора v евклидова пространства V определяется формулой |v| := (v, v) ≥ 0, причем|v| = 0 ⇔ v = 0.Определение 2.59.

Преобразование ϕ : V → V называется ортогональным, если оно сохраняетскалярное произведение, то есть(ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) ∀ u, v ∈ V.Заметим, что ортогональное преобразование ϕ сохраняет длины векторов, поскольку|ϕ(v)|2 = (ϕ(v), ϕ(v)) = (v, v) = |v|2⇒|ϕ(v)| = |v| ∀ v ∈ V,а также углы между ними. Из геометрических соображений довольно понятно, что из этих свойствдолжна следовать линейность. Приведем формальное доказательство этого результата.Предложение 2.60.

Всякое ортогональное преобразование линейно.Доказательство. По условию, имеем (ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v) ∀ u, v ∈ V. Во-первых, проверим, что изэтого следует, что ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v) ∀ u, v ∈ V. Пусть w := u + v, тогда, используя свойстваскалярного произведения, получаем:0 = |w − u − v|2 = (w − u − v, w − u − v) = |w|2 + |u|2 + |v|2 − 2(u, w) − 2(v, w) + 2(u, v) =|ϕ(w)|2 + |ϕ(u)|2 + |ϕ(v)|2 − 2(ϕ(u), ϕ(w)) − 2(ϕ(v), ϕ(w)) + 2(ϕ(u), ϕ(v)) =|ϕ(w) − ϕ(u) − ϕ(v)|2 ,и теперь, в силу эквивалентности |a| = 0 ⇔ a = 0, получаем ϕ(u + v) = ϕ(w) = ϕ(u) + ϕ(v).Докажем теперь, что ϕ(λ v) = λ ϕ(v) ∀λ ∈ R, v ∈ V. Пусть w := λ v, тогда имеем:0 = |w − λ v|2 = |w|2 − 2λ (w, v) + λ2 |v|2 =|ϕ(w)|2 − 2λ (ϕ(w), ϕ(v)) + λ2 |ϕ(v)|2 = |ϕ(w) − λ ϕ(v)|2 ,откуда ϕ(λ v) = ϕ(w) = λ ϕ(v).Предложение 2.61.

Характеристики

Список файлов книги