МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В дальнейшем мы рассматриваем только такие пространства.Вообще говоря (за исключением единственного случая нульмерного пространства, см. ниже),векторное пространство V имеет много базисов. Имеет место важный факт: число элементов (точнее, мощность) во всех базисах данного пространства V одно и то же. Этот факт мы пока не доказываем7 .

Это число называется размерностью пространства V и обозначается dim V (от английскогослова “dimension” — “размерность”). В основных для нас случаях свободных векторов на прямой,на плоскости и в пространстве с использованием геометрических соображений было доказано, чтобазисы — это системы, состоящие соответственно из одного ненулевого вектора, упорядоченной пары неколлинеарных векторов и упорядоченной тройки некомпланарных векторов. Таким образом,пространства свободных векторов на прямой, на плоскости и в (“трехмерном”) пространстве имеютразмерности соответственно 1, 2 и 3. Самое “маленькое” векторное пространство состоит из одногонулевого вектора, базис в нем пустой, и поскольку число элементов пустого множества равно 0, этопространство имеет размерность нуль.В дальнейшем мы пишем формулы для случая n = dim V = 3, хотя многие из них без измененийпереносятся на случай произвольного n.Напомним, что коэффициенты в разложенииv = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3вектора v по базису называются координатами вектора v в базисе {e1 , e2 , e3 }.

Их обычно записывают в виде столбца (v1 , v2 , v3 )T . Тогда с использованием матричного умножения разложение (2)можно записать в виде v1 v = (e1 , e2 , e3 ) v2  .v3Замечание 2.15. Зафиксируем базис e := {e1 , e2 , e3 } в V . Сопоставляя вектору v ∈ V его координатный столбец в данном базисе, мы получаем отображение ϕe : V → R3 из V в пространствоR3 столбцов высоты 3. То, что оно определено на всем V и при этом корректно, следует из существования и единственности разложения произвольного вектора по базису.

На самом деле отображение ϕe — биекция. Действительно, оно инъективно, поскольку если v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 иv0 = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 , то v = v0 . Сюръективность следует из того, что произвольный столбец изR3 является координатным столбцом некоторого вектора.Более того, отображение ϕe обладает следующим важным свойством: сумме векторов оно ставитв соответствие сумму координатных столбцов, а произведению вектора на число — произведениекоординатного столбца на это число. Таким образом, выбор базиса позволяет свести геометриювекторов к алгебре столбцов с сохранением всех операций.7он является следствием метода Гаусса решения систем линейных уравнений, который проходится во 2-м семестре.14Указанные свойства отображения ϕe можно сформулировать так: ϕe определяет линейный изоморфизм (то есть обратимое линейное отображение, см.

раздел 2.5) между векторными пространствами V и R3 . Отметим еще, чтоϕe (e1 ) = (1, 0, 0)T ,ϕe (e2 ) = (0, 1, 0)T ,ϕe (e3 ) = (0, 0, 1)T .Пусть теперь в пространстве V заданы два базиса {e1 , e2 , e3 } и {e01 , e02 , e03 }. Тогда каждый векторвторого базиса можно разложить по первому:e01 = c11 e1 + c21 e2 + c31 e3 ,e02 = c12 e1 + c22 e2 + c32 e3 ,(3)e03 = c13 e1 + c23 e2 + c33 e3 .Если записывать элементы базиса в строку, то с использованием матричного умножения разложения(3) можно компактно записать в виде:(e01 , e02 , e03 ) = (e1 , e2 , e3 )C,гдеc11 c12 c13C := c21 c22 c23 c31 c32 c33— матрица, называемая матрицей перехода от базиса {e1 , e2 , e3 } к {e01 , e02 , e03 }. По определению,k-й столбец (k = 1, 2, 3) матрицы C является столбцом координат вектора e0k относительно старогобазиса.В следующем Предложении устанавливается важное свойство матрицы перехода: она обязательно невырождена, а, значит, обратима.Предложение 2.16.

Матрица C перехода от базиса {e1 , e2 , e3 } к базису {e01 , e02 , e03 } невырождена.Доказательство. Докажем, что столбцы матрицы C линейно независимы. Заметим, что линейнуюзависимость     c11c12c130     λ1 c21  + λ2 c22  + λ3 c23  = 0c31c32c330можно записать в матричном виде   0c11 c12 c13λ1   c21 c22 c23  λ2  = 0 .λ30c31 c32 c33Тогда имеем:   λ1λ1λ1   000  0 = (e1 , e2 , e3 ) C λ2  = ((e1 , e2 , e3 ) C) λ2  = (e1 , e2 , e3 ) λ2  .λ3λ3λ315Так как {e01 , e02 , e03 } — базис, то λ1 = λ2 = λ3 = 0.Получим формулы изменения координат вектора при замене базиса. Рассмотрим разложениепроизвольного вектора v ∈ V по паре базисовv = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = v10 e01 + v20 e02 + v30 e03 ,или, с использованием матричных обозначений и ассоциативности произведения матриц     v1v10v10v10  0  0 000  0v = (e1 , e2 , e3 ) v2  = (e1 , e2 , e3 ) v2  = ((e1 , e2 , e3 )C) v2  = (e1 , e2 , e3 ) C v2  .v3v30v30v30В силу единственности разложения по базису получаем равенство  v1v10 0 v2  = C v2  ,v30v3или, ввиду обратимости матрицы перехода C,  v10v1 0−1  v2  = C v2  .v30v3(4)Полученные формулы показывают как меняются координаты вектора при замене базиса.Замечание 2.17.

Пусть {e001 , e002 , e003 } — еще какой-то базис, и D — матрица перехода от базиса{e01 , e02 , e03 } к {e001 , e002 , e003 }, то есть(e001 , e002 , e003 ) = (e01 , e02 , e03 )D.Тогда(e001 , e002 , e003 ) = (e01 , e02 , e03 )D = ((e1 , e2 , e3 )C)D = (e1 , e2 , e3 )(CD),и, значит, CD — матрица перехода от {e1 , e2 , e3 } к {e001 , e002 , e003 }.В частности, если в качестве {e001 , e002 , e003 } взять старый базис {e1 , e2 , e3 }, то поскольку матрицаперехода от {e1 , e2 , e3 } к {e1 , e2 , e3 } единичная, получим, что CD = E, то есть (снова получаем, что)матрица перехода всегда обратима. Обратно, легко видеть, что любая обратимая матрица можетбыть матрицей перехода от базиса {e1 , e2 , e3 } к еще какому-то базису.

Действительно, если(a1 , a2 , a3 ) := (e1 , e2 , e3 )C— не базис, то столбцы C линейно зависимы. Значит, по закону контрапозиции если C невырождена,то {a1 , a2 , a3 } — некоторый базис.Тем самым, если зафиксировать базис {e1 , e2 , e3 } в V , получаем взаимнообратные биекции между базисами в V и обратимыми матрицами порядка 3: базису {e01 , e02 , e03 } сопоставляем матрицу перехода от {e1 , e2 , e3 } к {e01 , e02 , e03 }, и обратно, матрице C сопоставляем базис (e01 , e02 , e03 ) = (e1 , e2 , e3 )C.Из обратимости матрицы перехода следует, что ее определитель либо положителен, либо отрицателен.16Определение 2.18. Два базиса называются одинаково ориентированными, если определитель матрицы C перехода между ними положителен, и противоположно ориентированными в противномслучае.Предложение 2.19.

Отношение “быть одинаково ориентированными” является отношением эквивалентности на множестве всех базисов в V .Доказательство. Будем пользоваться краткими обозначениями {e} := {e1 , e2 , e3 } и т.д. Во-первых,e ∼ e, так как det E = 1 > 0. Во-вторых, если e ∼ e0 , то det C > 0 ⇒ det (C −1 ) > 0 ⇒ e0 ∼ e.В-третьих, если e ∼ e0 , e0 ∼ e00 , то det C > 0, det D > 0, а следовательно det (CD) = det (C) det (D) >0 ⇒ e ∼ e00 .В качестве следствия получаем, что все базисы в V разбиваются на два класса эквивалентности:матрицы перехода между базисами из одного класса имеют положительный определитель, а междубазисами из разных классов — отрицательный.2.3Структуры на линейных пространствах“Голое” векторное пространство имеет довольно бедную геометрию, связанную с линейными соотношениями между векторами. Для того, чтобы в V можно было ввести понятия длины вектора и угламежду векторами, его нужно снабдить дополнительной структурой — скалярным произведением.В векторной алгебре скалярное произведение векторов u, v ∈ V обычно определяется как функция (·, ·) : V × V → R, заданная формулой (u, v) = |u||v| cos α.

Далее показывается, что она обладаетсвойствами1) билинейности, то есть (u1 + u2 , v) = (u1 , v) + (u2 , v), (λu, v) = λ(u, v) ∀ u1 , u2 , v ∈ V, λ ∈ R,и аналогично для второго аргумента;2) симметричности, то есть (u, v) = (v, u) ∀ u, v ∈ V ;3) положительной определенности, то есть (v, v) ≥ 0 ∀ v ∈ V, причем если v 6= 0, то (v, v) > 0.С математической точки зрения более естественно определить скалярное произведение как произвольную функцию (·, ·) : V × V → R, удовлетворяющую перечисленным выше свойствам 1) — 3).pДалее можно положить |v| := (v, v), и для ненулевых векторов u, v ∈ V определить угол α между(u,v)ними с помощью формулы cos α := |u||v|.

Поскольку при вещественных α выполнено двойное неравенство −1 ≤ cos α ≤ 1, существование угла α, 0 ≤ α ≤ π обеспечивает следующее Предложение.Предложение 2.20. (Неравенство Коши — Буняковского). Для любых векторов u и v из V имеетместо неравенство|(u, v)| ≤ |u||v|,(5)причем равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы u и v коллинеарны.Доказательство. Если v = 0, то обе части (5) равны 0.

Пусть теперь v 6= 0. Из положительнойопределенности скалярного произведения следует, что|u + tv|2 = (u + tv, u + tv) = |u|2 + 2t(u, v) + t2 |v|2 ≥ 0 ∀ u, v ∈ V, ∀ t ∈ R,17(6)откуда следует, что дискриминант квадратного трехчлена в (6) неположителен, то есть (u, v)2 −|u|2 |v|2 ≤ 0, что дает требуемое неравенство (5).Пусть векторы u, v коллинеарны, причем v 6= 0. Тогда u + t0 v = 0 при некотором t0 ∈ R, то естьтрехчлен в (6) имеет вещественный корень, а, значит, его дискриминант равен нулю (поскольку мыуже доказали, что он неположителен).Обратно, если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен в (6) имеет корень t0 ∈ R и,значит, u + t0 v = 0, то есть векторы u, v коллинеарны.Следствие 2.21.

(Неравенство треугольника). Для любых u, v ∈ V имеет место неравенство|u + v| ≤ |u| + |v|.Доказательство. Неравенство треугольника непосредственно следует из неравенства Коши — Буняковского:|u + v|2 = |u|2 + 2(u, v) + |v|2 ≤ |u|2 + 2|u||v| + |v|2 = (|u| + |v|)2 .Следствие 2.22. Пусть u, v ∈ V — произвольная пара неколлинеарных векторов. Тогда!|u|2 (u, v)> 0.det(u, v) |v|2Матрица из предыдущего Следствия называется матрицей Грама системы векторов {u, v}, см.Определение 2.24 ниже.Определение 2.23. Евклидовым пространством называется пара (V, (·, ·)), состоящая из вещественного векторного пространства V и заданного на нем скалярного произведения (·, ·).Далее евклидово пространство мы будем обозначать просто V , подразумевая что скалярное произведение задано.Определение 2.24.

Характеристики

Список файлов книги