Главная » Просмотр файлов » МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов

МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 6

Файл №1188220 МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов) 6 страницаМУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220) страница 62020-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Эта матрица ортогональна.Обратно, если C — ортогональная матрица порядка 2, то сопоставим ей базис {e01 , e02 }, задаваемыйформулой (e01 , e02 ) = (e1 , e2 )C, и он, согласно предыдущему, тоже ортонормированный.Построенная биекция между ортонормированными базисами и ортогональными матрицами является аналогом биекции между базисами и обратимыми матрицами, построенной в Замечании 2.17.Конечно, аналогичные результаты имеют место для евклидовых пространств произвольной размерности n.Параметризуем множество матриц (cij ), где cij являются решениями системы (8) (эквивалентно,множество матриц, удовлетворяющих матричному уравнению C T C = E). Для этого заметим, что,в силу соотношения c211 + c221 = 1, всегда можно найти такой угол α, единственный с точностьюдо кратных 2π, что (c11 , c21 ) = (cos α, sin α).

То есть вектор e01 имеет в базисе {e1 , e2 } координатный столбец (cos α, sin α)T . Аналогично, третье соотношение (8) означает, что вектор e02 тоже22e02e2αe01αe1e02Рис. 3: Ортогональные матрицы переходаимеет единичную длину, а второе из соотношений (8) — что векторы e01 и e02 ортогональны. В зависимости от того, является ли пара {e01 , e02 } одинаково или противоположно ориентированной сбазисом {e1 , e2 }, остается две возможности для координатного столбца e02 : либо (− sin α, cos α)T ,либо (sin α, − cos α)T , см. Рис. 3.Таким образом, множество решений системы (8) распадается на два класса:!!cos α − sin αcos α sin αили.(9)sin α cos αsin α − cos αЭти два класса отличаются знаком определителя: матрицы перехода первого типа сохраняют ориентацию базиса, а второго — меняют ее.

При этом два базиса в первом случае отличаются на поворот,а во втором случае — на симметрию относительно некоторого одномерного подпространства.Замечание 2.38. Аналогично случаю евклидовой структуры на векторном пространстве V можнобыло бы рассмотреть форму объема (площади в двумерном случае), получив класс базисов, для которых объемы натянутых на них ориентированных параллелограммов равны 1, и матрицы переходамежду ними — в точности матрицы с определителем 1. В этом случае также имеет место аналогПредложения 2.35.2.5Линейные отображения и преобразованияМежду векторными пространствами, как правило, рассматривают не произвольные, а так называемые линейные отображения, которые согласованы с операциями в векторных пространствах.Определение 2.39.

Пусть U и V — векторные пространства. Отображение ϕ : U → V называетсялинейным, если1) ϕ(u1 + u2 ) = ϕ(u1 ) + ϕ(u2 ) ∀ u1 , u2 ∈ U и2) ϕ(λ u) = λ ϕ(u) ∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ U.Линейное отображение ϕ : V → V называется линейным преобразованием пространства V .23QR(Q)R(P )ααOPРис. 4: ПоворотЗаметим, что условие 1) означает, что линейное отображение ϕ задает гомоморфизм аддитивныхгрупп (U, +) → (V, +).

В частности, ϕ(0) = 0 и ϕ(−u) = −ϕ(u) ∀ u ∈ U.Еще следствие из определения: если ϕ : U → V — линейное отображение, то для любой линейнойPкомбинации mk=1 λk uk векторов из U имеем:!mmXXϕλ k uk =λk ϕ(uk ).k=1k=1Примеры линейных преобразований.Пример 2.40. Нулевое преобразование: ϕ : V → V, ϕ(v) = 0 ∀ v ∈ V.Пример 2.41. Тождественное преобразование ϕ = idV : V → V, ϕ(v) = v ∀ v ∈ V.Пример 2.42. В этом примере мы определим преобразование rα : V → V двумерного ориентированного евклидова пространства, называемое поворотом на угол α.Поворотом Rα аффинной12 ориентированной13 евклидовой плоскости S на угол α вокруг некоторой точки O ∈ S называется такое преобразование Rα : S → S, при котором точка O неподвижна,−−→ −−−−−→то есть Rα (O) = O, и для любой точки P ∈ S радиус-векторы OP и ORα (P ) равны по модулю иориентированный угол между ними равен α, см.

Рис. 4.−−→Пусть V — векторное пространство свободных векторов в плоскости S. Если v = [P Q] ∈ V (классэквивалентности направленных отрезков в S), то определим преобразование rα : V → V формулой−−−−−−−−−→rα (v) = [Rα (P )Rα (Q)].(10)Во-первых, заметим, что формула (10) корректно задает rα . Последнее означает, что если вместо−−→направленного отрезка P Q, представляющего свободный вектор v, взять другой направленный от−−→−−→−−−−−−−−−−→−−−−−−−−−→резок P 0 Q0 , такой что v = [P 0 Q0 ], то должно выполняться равенство [Rα (P )Rα (Q)] = [Rα (P 0 )Rα (Q0 )].Теперь корректность легко усмотреть из Рис.

5. Преобразование rα мы также будем называть поворотом на угол α.Более того, rα — линейное преобразование линейного пространства V , что легко усмотреть изРис. 6. Действительно, левая картинка показывает, что rα (u + v) = rα (u) + rα (v), а правая — чтоrα (λ v) = λ rα (v).12ниже мы дадим точное определение этого понятия. Для нас сейчас важно, что элементами аффинной плоскостиS являются точки, в то время как элементами V являются свободные векторы.13ниже мы в качестве ориентирующего класса везде выбираем класс правых базисов, то есть в двумерном случаепод поворотом на угол α подразумевается поворот против часовой стрелки.24vrα vαOrα vvРис. 5: Корректность определения поворотаvu+vλrα (v) = rα (λv)rα uαrα (u + v)Orα vuαrα vOvλvРис.

6: Линейность поворотаПример 2.43. Пусть L — некоторая прямая на аффинной евклидовой плоскости S. Определим симметрию относительно прямой L как преобразование SL : S → S, которое каждой точке P ∈ Sсопоставляет симметричную относительно прямой L точку SL (P ) ∈ S, см. Рис. 7.Задача 2.44. По аналогии с предыдущим примером определите соответствующее линейное преобразование sl : V → V 14 пространства V свободных векторов в S. Докажите формулуsl (v) = v − 2(v, n) n,где n ∈ V — единичный вектор нормали к прямой L, см.

Рис. 8 (Подсказка: на этом рисункеw = −(v, n) n).Пример 2.45. Приведем примеры преобразований ϕ : V → V , не являющихся линейными. Зафикси14здесь l ⊂ V обозначает направляющее подпространство прямой L ⊂ S.LPSL (P )Рис. 7: Симметрия относительно прямой25sl (v)nα2α2wlvРис. 8: Симметрия относительно подпространстваруем произвольный вектор a ∈ V . Определим преобразование ϕa : V → V формулойϕa (v) = a ∀ v ∈ V.Легко проверить, что ϕa : V → V линейно ⇔ a = 0.Определим преобразование τa : V → V с помощью формулыτa (v) = v + a∀ v ∈ V.Легко проверить, что τa : V → V линейно ⇔ a = 0.Предложение 2.46. 1) Композиция ψ ◦ϕ линейных преобразований ϕ, ψ : V → V также являетсялинейным преобразованием пространства V.2) Преобразование ϕ−1 , обратное к биективному линейному преобразованию ϕ : V → V, такжелинейно.Доказательство.

1) Имеем:ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ψ(u + v) = ψ(u) + ψ(v) ⇒(ψ ◦ ϕ)(u + v) = ψ(ϕ(u) + ϕ(v)) = ψ(ϕ(u)) + ψ(ϕ(v)) = (ψ ◦ ϕ)(u) + (ψ ◦ ϕ)(v),аналогично для умножения на числа.2) ϕ биективно ⇒ ∀ v ∈ V ∃ ! u ∈ V такой, что ϕ(u) = v (⇔ u = ϕ−1 (v)). Пусть также ϕ(a) = b.Тогда в силу линейности ϕ имеем:ϕ(a + u) = ϕ(a) + ϕ(u) = b + v(⇔ a + u = ϕ−1 (b + v)),что дает ϕ−1 (b + v) = a + u = ϕ−1 (b) + ϕ−1 (v); так как b и v — произвольные, то для ϕ−1 получаемусловие 1) из Определения 2.39.Аналогично доказывается что ϕ−1 (λ v) = λ ϕ−1 (v).Следствие 2.47.

Биективные линейные преобразования пространства V образуют группу. Онаобозначается GL(V ) (от английских слов “general linear” — “общая линейная” — группа).Помимо операции композиции линейные преобразования можно складывать и умножать на числа, получая при этом новые линейные преобразования. Точнее, для двух линейных преобразованийϕ, ψ : V → V определим их сумму ϕ + ψ как преобразование пространства V , заданное формулой(ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v) ∀ v ∈ V.26Его линейность легко проверяется. Аналогично, для произвольного λ ∈ R определим преобразованиеλ ϕ : V → V как(λ ϕ)(v) = λ · ϕ(v) ∀ v ∈ V.Легко проверить, что множество L(V ) всех линейных преобразований пространства V с введеннымиоперациями сложения и умножения на числа само является векторным пространством над R.Замечание 2.48.

Фактически, на множестве L(V ) линейных преобразований векторного пространства V заданы 3 операции: сложение преобразований, умножение их на числа (относительно этихдвух операций L(V ) является векторным пространством), а также композиция преобразований. Этиоперации удовлетворяют ряду аксиом, которые мы не будем здесь выписывать. Такая алгебраическая структура называется алгеброй. Ее определение и свойства можно найти, например, в учебнике[6].

Другой пример алгебры дают матрицы Matn (R) порядка n с операциями сложения, умноженияна числа и умножения матриц.2.6Матрица линейного преобразованияВ этом разделе мы опишем, как задаются линейные преобразования пространства V в фиксированном базисе. Точнее, мы покажем, что подобно тому как в конкретном базисе вектору сопоставляется столбец его координат, преобразованию сопоставляется квадратная матрица, которая полностьюопределяет преобразование. Как обычно, мы рассматриваем случай dim V = 3.Пусть {e1 , e2 , e3 } — базис в V , а ϕ : V → V — линейное преобразование.

Если v1 v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = (e1 , e2 , e3 ) v2  ,v3то из линейности ϕ получаем v1 ϕ(v) = v1 ϕ(e1 ) + v2 ϕ(e2 ) + v3 ϕ(e3 ) = (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )) v2  .v3(11)Поскольку ϕ(ek ) ∈ V, эти векторы, в свою очередь, могут быть разложены по базису. Пустьϕ(e1 ) = a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 ,ϕ(e2 ) = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3ϕ(e3 ) = a13 e1 + a23 e2 + a33 e3— эти разложения.Определим матрицуa11 a12 a13A = Aϕ := a21 a22 a23 a31 a32 a3327(12)(то есть координаты вектора ϕ(ek ) в базисе {e1 , e2 , e3 } выписаны в ее k-й столбец, k = 1, 2, 3.Заметим, что A зависит не только от преобразования ϕ, но и от базиса {e1 , e2 , e3 }).

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
769,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6392
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее