МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эта матрица ортогональна.Обратно, если C — ортогональная матрица порядка 2, то сопоставим ей базис {e01 , e02 }, задаваемыйформулой (e01 , e02 ) = (e1 , e2 )C, и он, согласно предыдущему, тоже ортонормированный.Построенная биекция между ортонормированными базисами и ортогональными матрицами является аналогом биекции между базисами и обратимыми матрицами, построенной в Замечании 2.17.Конечно, аналогичные результаты имеют место для евклидовых пространств произвольной размерности n.Параметризуем множество матриц (cij ), где cij являются решениями системы (8) (эквивалентно,множество матриц, удовлетворяющих матричному уравнению C T C = E). Для этого заметим, что,в силу соотношения c211 + c221 = 1, всегда можно найти такой угол α, единственный с точностьюдо кратных 2π, что (c11 , c21 ) = (cos α, sin α).
То есть вектор e01 имеет в базисе {e1 , e2 } координатный столбец (cos α, sin α)T . Аналогично, третье соотношение (8) означает, что вектор e02 тоже22e02e2αe01αe1e02Рис. 3: Ортогональные матрицы переходаимеет единичную длину, а второе из соотношений (8) — что векторы e01 и e02 ортогональны. В зависимости от того, является ли пара {e01 , e02 } одинаково или противоположно ориентированной сбазисом {e1 , e2 }, остается две возможности для координатного столбца e02 : либо (− sin α, cos α)T ,либо (sin α, − cos α)T , см. Рис. 3.Таким образом, множество решений системы (8) распадается на два класса:!!cos α − sin αcos α sin αили.(9)sin α cos αsin α − cos αЭти два класса отличаются знаком определителя: матрицы перехода первого типа сохраняют ориентацию базиса, а второго — меняют ее.
При этом два базиса в первом случае отличаются на поворот,а во втором случае — на симметрию относительно некоторого одномерного подпространства.Замечание 2.38. Аналогично случаю евклидовой структуры на векторном пространстве V можнобыло бы рассмотреть форму объема (площади в двумерном случае), получив класс базисов, для которых объемы натянутых на них ориентированных параллелограммов равны 1, и матрицы переходамежду ними — в точности матрицы с определителем 1. В этом случае также имеет место аналогПредложения 2.35.2.5Линейные отображения и преобразованияМежду векторными пространствами, как правило, рассматривают не произвольные, а так называемые линейные отображения, которые согласованы с операциями в векторных пространствах.Определение 2.39.
Пусть U и V — векторные пространства. Отображение ϕ : U → V называетсялинейным, если1) ϕ(u1 + u2 ) = ϕ(u1 ) + ϕ(u2 ) ∀ u1 , u2 ∈ U и2) ϕ(λ u) = λ ϕ(u) ∀ λ ∈ R, ∀ u ∈ U.Линейное отображение ϕ : V → V называется линейным преобразованием пространства V .23QR(Q)R(P )ααOPРис. 4: ПоворотЗаметим, что условие 1) означает, что линейное отображение ϕ задает гомоморфизм аддитивныхгрупп (U, +) → (V, +).
В частности, ϕ(0) = 0 и ϕ(−u) = −ϕ(u) ∀ u ∈ U.Еще следствие из определения: если ϕ : U → V — линейное отображение, то для любой линейнойPкомбинации mk=1 λk uk векторов из U имеем:!mmXXϕλ k uk =λk ϕ(uk ).k=1k=1Примеры линейных преобразований.Пример 2.40. Нулевое преобразование: ϕ : V → V, ϕ(v) = 0 ∀ v ∈ V.Пример 2.41. Тождественное преобразование ϕ = idV : V → V, ϕ(v) = v ∀ v ∈ V.Пример 2.42. В этом примере мы определим преобразование rα : V → V двумерного ориентированного евклидова пространства, называемое поворотом на угол α.Поворотом Rα аффинной12 ориентированной13 евклидовой плоскости S на угол α вокруг некоторой точки O ∈ S называется такое преобразование Rα : S → S, при котором точка O неподвижна,−−→ −−−−−→то есть Rα (O) = O, и для любой точки P ∈ S радиус-векторы OP и ORα (P ) равны по модулю иориентированный угол между ними равен α, см.
Рис. 4.−−→Пусть V — векторное пространство свободных векторов в плоскости S. Если v = [P Q] ∈ V (классэквивалентности направленных отрезков в S), то определим преобразование rα : V → V формулой−−−−−−−−−→rα (v) = [Rα (P )Rα (Q)].(10)Во-первых, заметим, что формула (10) корректно задает rα . Последнее означает, что если вместо−−→направленного отрезка P Q, представляющего свободный вектор v, взять другой направленный от−−→−−→−−−−−−−−−−→−−−−−−−−−→резок P 0 Q0 , такой что v = [P 0 Q0 ], то должно выполняться равенство [Rα (P )Rα (Q)] = [Rα (P 0 )Rα (Q0 )].Теперь корректность легко усмотреть из Рис.
5. Преобразование rα мы также будем называть поворотом на угол α.Более того, rα — линейное преобразование линейного пространства V , что легко усмотреть изРис. 6. Действительно, левая картинка показывает, что rα (u + v) = rα (u) + rα (v), а правая — чтоrα (λ v) = λ rα (v).12ниже мы дадим точное определение этого понятия. Для нас сейчас важно, что элементами аффинной плоскостиS являются точки, в то время как элементами V являются свободные векторы.13ниже мы в качестве ориентирующего класса везде выбираем класс правых базисов, то есть в двумерном случаепод поворотом на угол α подразумевается поворот против часовой стрелки.24vrα vαOrα vvРис. 5: Корректность определения поворотаvu+vλrα (v) = rα (λv)rα uαrα (u + v)Orα vuαrα vOvλvРис.
6: Линейность поворотаПример 2.43. Пусть L — некоторая прямая на аффинной евклидовой плоскости S. Определим симметрию относительно прямой L как преобразование SL : S → S, которое каждой точке P ∈ Sсопоставляет симметричную относительно прямой L точку SL (P ) ∈ S, см. Рис. 7.Задача 2.44. По аналогии с предыдущим примером определите соответствующее линейное преобразование sl : V → V 14 пространства V свободных векторов в S. Докажите формулуsl (v) = v − 2(v, n) n,где n ∈ V — единичный вектор нормали к прямой L, см.
Рис. 8 (Подсказка: на этом рисункеw = −(v, n) n).Пример 2.45. Приведем примеры преобразований ϕ : V → V , не являющихся линейными. Зафикси14здесь l ⊂ V обозначает направляющее подпространство прямой L ⊂ S.LPSL (P )Рис. 7: Симметрия относительно прямой25sl (v)nα2α2wlvРис. 8: Симметрия относительно подпространстваруем произвольный вектор a ∈ V . Определим преобразование ϕa : V → V формулойϕa (v) = a ∀ v ∈ V.Легко проверить, что ϕa : V → V линейно ⇔ a = 0.Определим преобразование τa : V → V с помощью формулыτa (v) = v + a∀ v ∈ V.Легко проверить, что τa : V → V линейно ⇔ a = 0.Предложение 2.46. 1) Композиция ψ ◦ϕ линейных преобразований ϕ, ψ : V → V также являетсялинейным преобразованием пространства V.2) Преобразование ϕ−1 , обратное к биективному линейному преобразованию ϕ : V → V, такжелинейно.Доказательство.
1) Имеем:ϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ψ(u + v) = ψ(u) + ψ(v) ⇒(ψ ◦ ϕ)(u + v) = ψ(ϕ(u) + ϕ(v)) = ψ(ϕ(u)) + ψ(ϕ(v)) = (ψ ◦ ϕ)(u) + (ψ ◦ ϕ)(v),аналогично для умножения на числа.2) ϕ биективно ⇒ ∀ v ∈ V ∃ ! u ∈ V такой, что ϕ(u) = v (⇔ u = ϕ−1 (v)). Пусть также ϕ(a) = b.Тогда в силу линейности ϕ имеем:ϕ(a + u) = ϕ(a) + ϕ(u) = b + v(⇔ a + u = ϕ−1 (b + v)),что дает ϕ−1 (b + v) = a + u = ϕ−1 (b) + ϕ−1 (v); так как b и v — произвольные, то для ϕ−1 получаемусловие 1) из Определения 2.39.Аналогично доказывается что ϕ−1 (λ v) = λ ϕ−1 (v).Следствие 2.47.
Биективные линейные преобразования пространства V образуют группу. Онаобозначается GL(V ) (от английских слов “general linear” — “общая линейная” — группа).Помимо операции композиции линейные преобразования можно складывать и умножать на числа, получая при этом новые линейные преобразования. Точнее, для двух линейных преобразованийϕ, ψ : V → V определим их сумму ϕ + ψ как преобразование пространства V , заданное формулой(ϕ + ψ)(v) = ϕ(v) + ψ(v) ∀ v ∈ V.26Его линейность легко проверяется. Аналогично, для произвольного λ ∈ R определим преобразованиеλ ϕ : V → V как(λ ϕ)(v) = λ · ϕ(v) ∀ v ∈ V.Легко проверить, что множество L(V ) всех линейных преобразований пространства V с введеннымиоперациями сложения и умножения на числа само является векторным пространством над R.Замечание 2.48.
Фактически, на множестве L(V ) линейных преобразований векторного пространства V заданы 3 операции: сложение преобразований, умножение их на числа (относительно этихдвух операций L(V ) является векторным пространством), а также композиция преобразований. Этиоперации удовлетворяют ряду аксиом, которые мы не будем здесь выписывать. Такая алгебраическая структура называется алгеброй. Ее определение и свойства можно найти, например, в учебнике[6].
Другой пример алгебры дают матрицы Matn (R) порядка n с операциями сложения, умноженияна числа и умножения матриц.2.6Матрица линейного преобразованияВ этом разделе мы опишем, как задаются линейные преобразования пространства V в фиксированном базисе. Точнее, мы покажем, что подобно тому как в конкретном базисе вектору сопоставляется столбец его координат, преобразованию сопоставляется квадратная матрица, которая полностьюопределяет преобразование. Как обычно, мы рассматриваем случай dim V = 3.Пусть {e1 , e2 , e3 } — базис в V , а ϕ : V → V — линейное преобразование.
Если v1 v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 = (e1 , e2 , e3 ) v2 ,v3то из линейности ϕ получаем v1 ϕ(v) = v1 ϕ(e1 ) + v2 ϕ(e2 ) + v3 ϕ(e3 ) = (ϕ(e1 ), ϕ(e2 ), ϕ(e3 )) v2 .v3(11)Поскольку ϕ(ek ) ∈ V, эти векторы, в свою очередь, могут быть разложены по базису. Пустьϕ(e1 ) = a11 e1 + a21 e2 + a31 e3 ,ϕ(e2 ) = a12 e1 + a22 e2 + a32 e3ϕ(e3 ) = a13 e1 + a23 e2 + a33 e3— эти разложения.Определим матрицуa11 a12 a13A = Aϕ := a21 a22 a23 a31 a32 a3327(12)(то есть координаты вектора ϕ(ek ) в базисе {e1 , e2 , e3 } выписаны в ее k-й столбец, k = 1, 2, 3.Заметим, что A зависит не только от преобразования ϕ, но и от базиса {e1 , e2 , e3 }).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
