МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В этом случае легкопроверяется, что f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y и g(f (x)) = x ∀ x ∈ X, то есть что f ◦ g = idY , g ◦ f = idX .Обратное отображение к f обычно обозначается f −1 .Предложение 1.1. Пусть f, g : X → X — биективные преобразования множества X. Тогда f ◦g : X → X — тоже биективное преобразование множества X, причем (f ◦ g)−1 = g −1 ◦ f −1 .Доказательство. Так как f, g — биекции, то существуют f −1 , g −1 . Тогда(f ◦ g) ◦ (g −1 ◦ f −1 ) = f ◦ (g ◦ g −1 ) ◦ f −1 = f ◦ idX ◦ f −1 = f ◦ f −1 = idXи аналогично (g −1 ◦ f −1 ) ◦ (f ◦ g) = idX . Значит преобразование f ◦ g имеет обратное g −1 ◦ f −1 и всилу предыдущего биективно.Заметим, что обратные к биективным преобразованиям из рассматриваемых ниже классов преобразований (таких как гомоморфизмы групп, линейные или аффинные преобразования) такжепринадлежат к соответствующему классу.51.2Группы преобразованийНиже мы будем систематически пользоваться языком теории групп преобразований.
Данный параграф содержит список основных определений и носит справочный характер, читателю рекомендуется его просмотреть, а затем обращаться к нему по мере чтения дальнейшего текста.Систематическое изложение основ теории групп можно найти в университетских учебниках алгебры, например в [6], [9]; краткое популярное введение можно найти в брошюрах [7] и [11], многоинтересных примеров разобрано в [16].Определение 1.2. Пусть G — некоторое непустое множество биективных преобразований множества X, замкнутое относительно композиции, то есть ∀ g1 , g2 ∈ G ⇒ g2 ◦ g1 ∈ G (вместе с каждойпарой преобразований из G их композиция также лежит в G), а также взятия обратного элемента,то есть ∀ g ∈ G ⇒ g −1 ∈ G (для каждого преобразования из G его обратное также содержится вG). Тогда G называется группой преобразований множества X.Заметим, что из определения группы преобразований множества X сразу следует, что idX ∈ G.(Действительно, так как G 6= ∅, то ∃ g ∈ G, тогда g −1 ∈ G, следовательно, g −1 · g = idX ∈ G).Пример 1.3.
Пусть X = {1, 2, . . . , n}. Тогда группа всех биективных преобразований множества Xназывается группой перестановок на n элементах и обозначается Sn . Число элементов в Sn равноn!.!123...nПроизвольную перестановку σ ∈ Sn можно записать в виде. Проσ(1) σ(2) σ(3) . . . σ(n)изведение перестановок как композицию отображений мы будем записывать справа налево.
Например, при n = 4!!!1 2 3 41 2 3 41 2 3 4◦=,2 1 4 31 3 4 22 4 3 1!!!1 2 3 41 2 3 41 2 3 4◦=.1 3 4 22 1 4 33 1 2 4Пример 1.4. Для векторного пространства V определена группа GL(V ) его биективных линейныхпреобразований (см. Следствие 2.47).Пример 1.5. Для евклидова пространства V определена группа O(V ) его ортогональных преобразований (см. Предложение 2.62).Пример 1.6. Движения евклидовой аффинной плоскости (евклидова аффинного пространства) Sобразуют группу преобразований плоскости (пространства) S, которую мы будем обозначать Iso(S)(см. Следствие 3.25)Пример 1.7.
Параллельные переносы аффинной плоскости (аффинного пространства) S образуютгруппу Trans(S) преобразований плоскости (пространства) S (см. Пример 3.19).Пример 1.8. Преобразования подобия евклидовой аффинной плоскости (евклидова аффинного пространства) S образуют группу Sim(S) преобразований плоскости (пространства) S.Пример 1.9. Биективные аффинные преобразования аффинной плоскости (аффинного пространства) S образуют группу GA(S) преобразований плоскости (пространства) S (см. Следствие 3.17).6Пример 1.10.
Пусть Fn — правильный n-угольник на аффинной евклидовой плоскости S (n ≥ 3).Движения аффинной евклидовой плоскости, которые переводят Fn в себя, образуют группу с числом элементов 2n, среди которых n поворотов (включая тождественное преобразование — поворотна нулевой угол) и n симметрий (отражений) относительно прямых. Эта группа обозначается Dn .(Вариант: группа симметрий правильного многогранника, состоящая из всех движений аффинногоевклидова пространства, переводящих данный правильный многогранник в себя).Определение 1.11. Подгруппой группы преобразований G множества X называется такое непустоеподмножество H ⊂ G, которое вместе с любой парой преобразований содержит их композицию ивместе с любым преобразованием содержит его обратное.Легко видеть, что подгруппа H группы преобразований G множества X сама является некоторойгруппой преобразований множества X.Пример 1.12.
Знакопеременная группа An ⊂ Sn (= подгруппа четных перестановок, ее определениеможно найти в [6], [9]).Пример 1.13. Группа параллельных переносов является подгруппой группы движений евклидовойплоскости (евклидова пространства). То есть Trans(S) ⊂ Iso(S).Пример 1.14. Группа Dn является подгруппой группы движений плоскости, которая, в свою очередь,является подгруппой группы преобразований подобия, являющейся подгруппой группы аффинныхпреобразований плоскости. То есть имеем цепочку подгрупп Dn ⊂ Iso(S) ⊂ Sim(S) ⊂ GA(S).Группы преобразований являются реализациями аксиом абстрактной группы.
Перед тем какдать определение группы, определим понятие бинарной операции на множестве. Напомним, чтоX × X := {(x1 , x2 ) | x1 , x2 ∈ X} есть множество упорядоченных пар элементов множества X.Определение 1.15. Бинарной операцией ϕ на множестве X называется произвольное отображениеϕ : X × X → X.Если ϕ — бинарная операция на X, то ϕ(x1 , x2 ) ∈ X обычно записывают как x1 · x2 (мультипликативная запись)4 или как x1 + x2 .Примерами бинарных операций являются сложение и умножение чисел, композиция преобразований или, например, векторное произведение на трехмерном ориентированном евклидовом пространстве (в то время как скалярное произведение бинарной операцией в смысле данного вышеопределения не является).Определение 1.16.
(Абстрактной) группой называется пара (G, ·), состоящая из множества G изаданной на нем бинарной операции·G × G → G, (g1 , g2 ) 7→ g1 · g2 ,при этом предполагаются выполненными следующие свойства (аксиомы группы):1) операция · ассоциативна: (g1 · g2 ) · g3 = g1 · (g2 · g3 ) ∀ g1 , g2 , g3 ∈ G;2) G содержит нейтральный элемент e такой, что g · e = g = e · g ∀ g ∈ G;4причем мультипликативную запись часто редуцируют к x1 x2 , чего и мы будем часто придерживаться.73) для любого элемента g ∈ G его обратный элемент g −1 также лежит в G: ∀ g ∈ G ∃ g −1 такой,что g · g −1 = e = g −1 · g.Группа G называется коммутативной или абелевой, если в дополнение к условиям 1) — 3)выполнено также следующее условие, называемое коммутативностью операции ·:4) g1 · g2 = g2 · g1 ∀ g1 , g2 ∈ G.Задача 1.17. Докажите, что1) нейтральный элемент в группе (G, ·) единствен, то есть если e0 ∈ G — еще один элементтакой, что g · e0 = g = e0 · g ∀ g ∈ G, то e = e0 ;2) для каждого g ∈ G обратный элемент g −1 единствен;3) ∀ g, h ∈ G уравнения x · g = h, g · y = h имеют единственные решения (именно, x = h · g −1 иy = g −1 · h соответственно).Кроме того, из ассоциативности операции в группе следует, что произведение произвольногоконечного числа элементов группы не зависит от расстановки скобок.
Читатель может попытатьсядоказать это, используя индукцию по числу элементов в произведении.Группа преобразований является абстрактной группой. Действительно, композиция преобразований ассоциативна, тождественное преобразование играет роль нейтрального элемента и обратноепреобразование является обратным элементом относительно операции композиции.Определение 1.18. Непустое подмножество H ⊂ G называется подгруппой группы (G, ·), если∀ (h1 , h2 ) ∈ H × H ⇒ h2 · h1 ∈ H, ∀ h ∈ H ⇒ h−1 ∈ H.Заметим, что тогда пара (H, ·)5 сама является группой.Ниже мы будем для группы (G, ·) использовать упрощенное обозначение G если ясно, какаяоперация подразумевается.Пример 1.19.
Пусть K — произвольное поле (например, рациональных, действительных или комплексных чисел). Тогда с ним связаны две коммутативные группы: (K, +) (всех элементов поля соперацией сложения, роль нейтрального элемента играет 0 ∈ K, а обратного к a ∈ K — элемент−a ∈ K) и (K∗ , ·), где K∗ — множество всех ненулевых элементов поля K, с операцией умножения·, причем роль нейтрального элемента играет 1 ∈ K, а обратного к a ∈ K∗ — элемент a−1 ∈ K∗ .Важным примером коммутативной группы является группа целых чисел с операцией сложения (Z, +). В то же время множества с бинарными операциями (Z, ·), (N, +) и (N, ·) группами неявляются (объясните, почему).Пример 1.20.
Пусть V — векторное пространство. Тогда (V, +) — коммутативная группа. Заметим,что если (S, V, +) — аффинное пространство (см. Определение 3.1), то (V, +) ∼= Trans(S) (см.Пример 3.19).5чтобы не усложнять обозначения, операцию · на G и ее ограничение на подмножество H ⊂ G мы обозначаемодним и тем же символом.8Пример 1.21.
Пусть GLn (R) ⊂ Matn (R) — множество обратимых (невырожденных) вещественныхматриц порядка n с операцией умножения. Тогда GLn (R) — группа. Легко проверить, что подмножество SLn (R) ⊂ GLn (R) матриц с определителем 1 является ее подгруппой. Аналогично, группуобразуют ортогональные матрицы (см. Определение 2.33) данного порядка n. Последняя группа обозначается O(n). Заметим, что O(n) ⊂ GLn (R). Пересечение SLn (R) ∩ O(n) подгрупп группы GLn (R)— подгруппа6 ортогональных матриц с единичным определителем, обозначаемая SO(n).Между группами обычно рассматривают не произвольные отображения, а отображения, согласованные с операциями в группах, называемые гомоморфизмами.Определение 1.22.
Гомоморфизмом групп ϕ : (G, ·) → (H, ?) называется такое отображениеϕ : G → H, что ϕ(g1 · g2 ) = ϕ(g1 ) ? ϕ(g2 ) ∀ g1 , g2 ∈ G. Изоморфизмом называется биективныйгомоморфизм.Задача 1.23. Пусть ϕ : G → H — гомоморфизм групп. Доказать, что1) ϕ(eG ) = eH (где eG , eH — нейтральные элементы в группах G и H соответственно);2) ϕ(g −1 ) = ϕ(g)−1 ∀ g ∈ G.Задача 1.24. Пусть ϕ : (G, ·) → (H, ?) — изоморфизм групп. Доказать, что тогдаϕ−1 : (H, ?) → (G, ·)— тоже изоморфизм, то естьϕ−1 (h1 ? h2 ) = ϕ−1 (h1 ) · ϕ−1 (h2 ) ∀ h1 , h2 ∈ H.Две группы называются изоморфными, если между ними существует (хотя бы один) изоморфизм.Факт изоморфизма групп G и H обозначают G ∼= H (читается “(группа) G изоморфна (группе)H”). С точки зрения теории групп, изоморфные группы устроены одинаково.
Другими словами,изоморфизм сохраняет все существенные свойства групп как множеств с операцией. Например,если одна из изоморфных групп коммутативна, то и другая коммутативна и т.п.Следующая задача показывает, что с точки зрения теории групп неважно как обозначать бинарную операцию.Задача 1.25. Построить изоморфизм между группой (R, +) всех действительных чисел по сложению и группой (R+ , ·) положительных действительных чисел по умножению. (Подсказка: какие функции переводят сумму чисел в произведение?).Пример 1.26. Сопоставляя движению плоскости, переводящему правильный треугольник в себя,перестановку на множестве его вершин (предварительно их занумеровав), получаем изоморфизмгрупп D3 → S3 .Пример 1.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
