МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220)
Текст из файла
Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский Физико-Технический Институт(государственный университет)ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВАИ ОТОБРАЖЕНИЯУчебно-методическое пособиеСоставитель А.В. ЕршовДолгопрудный2016Содержание1 Преобразования1.1 Определение и примеры преобразований . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Группы преобразований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Линейные пространства2.1 Определение и примеры линейных пространств .2.2 Базисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Структуры на линейных пространствах . . . . .2.4 Ортогональные матрицы . .
. . . . . . . . . . . .2.5 Линейные отображения и преобразования . . . .2.6 Матрица линейного преобразования . . . . . . .2.7 Ортогональные преобразования . . . . . . . . . .......................................................................3 Аффинные пространства3.1 Определение и примеры аффинных пространств . . .
. . . . . . .3.2 Декартовы системы координат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Аффинные преобразования и их свойства . . . . . . . . . . . . . .3.4 Движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.5 Задание аффинных преобразований в координатах . . . . . . . . .3.6 Геометрические свойства аффинных преобразований . . . .
. . .3.7 Добавление 1: Основная теорема аффинной геометрии . . . . . .3.8 Добавление 2: Барицентрические координаты . . . . . . . . . . . .3.9 Добавление 3: Группа аффинных преобразований и ее подгруппы3.10 Добавление 4: О геометрии в смысле Ф. Клейна . . . . . . . . . .1...........................................................................................................................................................................................336.......1010131721232732..........3838404246485153555963Мир — четырехмерное аффинное пространство [...]В.И. Арнольд1ВведениеАффинные пространства и группы, а также их подгруппы (такие как группа Пуанкаре) играютбольшую роль в физике (см. эпиграф), в первую очередь в квантовой теории поля. Поэтому изучениеих теории в случае малого (2 и 3) числа измерений — важная для подготовки физиков часть курсааналитической геометрии.Данный текст представляет собой сильно расширенный кусок лекций по аналитической геометрии, посвященный аффинным пространствам и аффинным отображениям.
Отличия от традиционного изложения:• понятие аффинного пространства вводится аксиоматически через понятие векторного (= линейного) пространства;• аффинные отображения (преобразования) также определяются через линейные отображения(преобразования);• есть отличия от традиционной терминологии, принятой в курсах аналитической геометрии(см. ниже).Принятый здесь подход позволяет математически корректно обращаться с геометрическими понятиями, что в дальнейшем должно окупиться возможностью более глубокого понимания предмета.Кроме того, терминология, которой мы придерживаемся здесь, лучше согласована с материаломвторого семестра — курсом линейной алгебры (это, в частности, касается понятия линейного отображения (преобразования)).О терминологиив учебнике Д.В.
Беклемишевав данном текстелинейное преобразованиеаффинное преобразование (вообще говоря, не биективное)аффинное преобразованиебиективное аффинное преобразованиелинейное преобразование (в контексте линейных пространств, т.е.начиная с главы VI)линейное преобразование — отображение ϕ : V → Vвекторного (= линейного) пространства V такое, чтоϕ(u + v) = ϕ(u) + ϕ(v), ϕ(λ v) = λ ϕ(v) ∀ u, v ∈ V, λ ∈ RОб обозначенияхСвободные векторы обозначаются либо жирными буквами (u, v, etc.), либо (в главе про аффинные−−пространства) в виде →pq, где p, q — начало и конец представителя свободного вектора →pq.
Множество(линейное пространство) матриц размера m × n с элементами из поля K обозначается Matm×n (K), амножество (линейное пространство, алгебра) квадратных матриц порядка n с элементами из поля K1“Математические методы классической механики” [2].2— Matn (K).
Остальные обозначения либо являются общепринятыми (такие как R для вещественныхчисел), либо вводятся в тексте.Требования к подготовке читателяДля чтения основного текста (без Добавлений) должно быть достаточно знания векторной алгебрыв объеме стандартного курса аналитической геометрии (см. например Главу 1 в [3]). В частности,предполагается известным понятие базиса и описание базисов на плоскости и в пространстве.
Вряде мест используются свойства определителей малых порядков. Также необходимо знакомство спонятием отношения эквивалентности. В одном месте используется теорема о промежуточном значении непрерывной функции на отрезке. В то же время автор не исключает, что в отдельных местахчитателю потребуется обращение к рекомендованной литературе (в первую очередь, к учебникам[3] и [6]).БлагодарностиАвтор выражает глубокую благодарность Вадиму Витальевичу Редкозубову, сообщившему авторупростое доказательство Леммы 2.67 и сделавшему ряд других ценных замечаний и предложений потексту.DisclaimerДанный текст содержит много материала, выходящего за рамки части (касающейся аффинных пространств и преобразований) обязательной программы по аналитической геометрии (в частности, ктакому материалу относятся все добавления).
С другой стороны, отдельные результаты (например,о действии аффинных преобразований на кривые второго порядка) в него не вошли. Поэтому онможет служить лишь дополнением к лекциям и учебнику, причем при отборе минимального материала из него нужно ориентироваться на программу курса.
О замеченных опечатках и замечанияхпо тексту просьба сообщать на e-mail ershov.andrei@gmail.com1Преобразования1.1Определение и примеры преобразованийПредполагается, что читатель знаком с общематематическим понятием отображения (= функции).Отображение f с областью определения X и областью значений2 Y мы часто записываем как f : X →Y.Преобразованием f множества X мы называем его отображение f : X → X в себя.3 То естьпреобразования — частный случай отображений, когда область определения и область значенийсовпадают. Среди всех преобразований множества X есть выделенный элемент — тождественноепреобразование idX , idX (x) = x ∀ x ∈ X.Если S — евклидова плоскость, то ее преобразования — это, например, параллельный переносна вектор a (см. Пример 3.11), поворот против часовой стрелки на угол α вокруг точки p ∈ S (см.2заметим, что область значений, вообще говоря, не совпадает с множеством значений f (X) := {y ∈ Y | y =f (x), x ∈ X}, в общем случае только f (X) ⊂ Y .3В ряде источников (например в [11]) преобразованиями называются только биективные отображения в себя, номы не будем придерживаться этого.3LPf (P )Рис.
1: Ортогональная проекция на прямую LRα (P )PRα (SL (P ))αLαOSL (P )SL (Rα (P ))Рис. 2: Пример, когда f ◦ g 6= g ◦ fПример 2.42), симметрия относительно прямой L ⊂ S (см. Пример 2.43), гомотетия с центром вточке p ∈ S и коэффициентом λ ∈ R (см. Пример 3.20), ортогональная проекция f плоскости S напрямую L, которая произвольной точке P ∈ S ставит в соответствие ее ортогональную проекциюf (P ) ∈ L на прямую L, см. Рис. 1 .Для отображений f : Y → Z и g : X → Y определена композиция (иногда называемая такжепроизведением отображений), обозначаемая f ◦ g. Это — отображение X → Z, определенное по правилу (f ◦ g)(x) = f (g(x)) ∀ x ∈ X. В математическом анализе композиция отображений называетсясложной функцией.
Композицию можно изобразить диаграммойXg/Yf/ Z.В частности, композиция определена для всякой упорядоченной пары f, g преобразований множества X. Заметим, что, вообще говоря, f ◦ g 6= g ◦ f, то есть операция композиции преобразованийне обладает свойством коммутативности, см. Рис. 2, где f = Rα — поворот на угол α против часовойстрелки вокруг точки O, а g = SL — симметрия относительно прямой L.Однако операция композиции преобразований ассоциативна: вообще, для любых отображенийf : Z → W, g : Y → Z и h : X → Y имеет место равенство(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) : X → W.4Тождественное преобразование idX обладает (и однозначно характеризуется — см.
ниже) следующим свойством: для любых отображений f : X → Y и g : Z → X имеют место равенстваf = f ◦ idX ,g = idX ◦ g.(1)Покажем, что idX однозначно определяется свойством (1). Действительно, если id0X — еще однопреобразование, обладающее этим свойством, тоidX = idX ◦ id0X = id0X .Отображение f : X → Y называется инъективным (или вложением), если для любых x, x0 ∈ Xиз f (x) = f (x0 ) следует x = x0 . Другими словами, отображение инъективно, если разные точки имеют разные образы. Отображение f : X → Y называется сюръективным, если ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X такой,что f (x) = y (то есть если образ отображения f совпадает со всем множеством Y ). Инъективное исюръективное отображение называется взаимно однозначным или биекцией.Обратным для отображения f : X → Y называется такое отображение g : Y → X, что g ◦ f =idX , f ◦ g = idY .Во-первых, заметим, что если обратное отображение существует, то оно единственно.
Действительно, пусть g 0 — еще одно обратное для f . Тогдаg 0 = g 0 ◦ idY = g 0 ◦ (f ◦ g) = (g 0 ◦ f ) ◦ g = idX ◦ g = g.Во-вторых, заметим, что для существования обратного к f необходимо, чтобы f было биективным. Действительно, из импликацииf (x) = f (x0 ) ⇒ (g ◦ f )(x) = (g ◦ f )(x0 ) ⇒ x = idX (x) = idX (x0 ) = x0следует инъективность f . Сюръективность f следует из того, что ∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X (а именно g(y))такой, что f (x) = y.В-третьих, если f : X → Y — биекция, то обратное отображение g : Y → X действительно существует. В самом деле, для произвольного y = f (x) положим g(y) = x.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
