МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Записывая обратимые линейные преобразования матрицами в фиксированном базисе,получаем изоморфизм групп GL(V ) ∼= GLn (R). Аналогично, записывая ортогональные преобразования в ортонормированном базисе, получаем изоморфизм O(V ) ∼= O(n).6вообще, пересечение любого семейства подгрупп группы G — подгруппа в G.9Пример 1.28. Сопоставление перестановке на n элементах ее знака определяет гомоморфизм группsgn : Sn → {±1}. Это следует из того, что sgn(σ ◦ τ ) = sgn(σ) sgn(τ ) ∀ σ, τ ∈ Sn .Пример 1.29. Сопоставление обратимой матрице порядка n ее определителя задает гомоморфизмdet : GLn (R) → R∗ .
Это следует из того, что det(AB) = detA detB для любых матриц A, B порядкаn.Пример 1.30. Сопоставление f 7→ df биективному аффинному преобразованию f аффинного пространства (S, V, +) его дифференциала df определяет гомоморфизм групп d : GA(S) → GL(V ). Этодоказано ниже в Предложении 3.14.Пример 1.31.
Сопоставление движению аффинного евклидова пространства (S, V, +) его дифференциала определяет гомоморфизм групп Iso(S) → O(V ).Пример 1.32. Пусть U(1) := {z ∈ C | |z| = 1} ⊂ C∗ . Легко проверить, что U(1) — подгруппа в C∗ .Формула ϕ(x) = e2πix определяет гомоморфизм групп ϕ : R → U(1).
Наглядно этот гомоморфизмможно представлять как наматывание прямой на окружность, при котором целые точки Z ⊂ Rпереходят в 1 ∈ U(1).Определение 1.33. Пусть ϕ : G → H — гомоморфизм групп. Ядром гомоморфизма ϕ называетсяподмножество ker ϕ := {g ∈ G | ϕ(g) = eH } ⊂ G, состоящее из тех элементов g ∈ G, которые пригомоморфизме ϕ отображаются в нейтральный элемент eH группы H. Образом гомоморфизма ϕназывается подмножество im ϕ := {ϕ(g) | g ∈ G} ⊂ H, состоящее из элементов вида ϕ(g), где gпробегает все элементы группы G.Ясно, что если ϕ : G → H — изоморфизм, то ker ϕ = {eG }, im ϕ = H.Задача 1.34. Доказать, что ker ϕ и im ϕ — подгруппы групп G и H соответственно.Пример 1.35.
Гомоморфизмы примеров 1.28, 1.29, 1.30, 1.31 и 1.32 сюръективны, а их ядра сутьподгруппы An ⊂ Sn , SLn (R) ⊂ GLn (R), Trans(S) ⊂ GA(S), Trans(S) ⊂ Iso(S) и Z ⊂ R соответственно.2Линейные пространстваТеорию линейных пространств и линейных отображений обычно изучают в рамках учебной дисциплины “Линейная алгебра”, из учебников по которой можно рекомендовать [3], [6], [10]. Нашеизложение в этой главе можно рассматривать как краткое введение в этот предмет, необходимоедля определения и изучения аффинных пространств и отображений в следующей главе.2.1Определение и примеры линейных пространствНапомним еще раз определение коммутативной группы, переписав его с использованием аддитивныхобозначений (ср. Определение 1.16).Определение 2.1.
Пара (A, +), состоящая из множества A и заданной на нем операции+A × A −→ A, (a, b) 7→ a + b10(называемой “сложением”) называется коммутативной, или абелевой группой, если выполнены следующие условия (“аксиомы абелевой группы”):1) сложение коммутативно, то есть a + b = b + a для любых a, b ∈ A;2) сложение ассоциативно, то есть ∀ a, b, c ∈ A (a + b) + c = a + (b + c);3) существует нуль (называемый также нейтральным элементом), обозначаемый 0 и характеризующийся свойством a + 0 = a ∀ a ∈ A;4) для каждого a ∈ A существует противоположный элемент, обозначаемый (−a) и характеризующийся свойством a + (−a) = 0.В качестве следствий из аксиом абелевой группы отметим единственность нуля и обратногоэлемента, а также однозначную разрешимость в (A, +) уравнения x + a = b, где a, b ∈ A. Ясно, чторешение этого уравнения есть b + (−a), оно называется разностью элементов b и a и обозначаетсяb − a.
Кроме того, из ассоциативности сложения следует, что сумма произвольного конечного числа(а не только трех) элементов абелевой группы не зависит от расстановки скобок.Ниже вместо (A, +) мы часто будем писать A, явно указывая только множество элементов группы, если из контекста ясно, какая операция подразумевается.Примерами абелевых групп являются числовые системы (см. Пример 1.19). Другие примерыабелевых групп: множества свободных векторов на плоскости или в пространстве с операцией сложения, множество Matm×n (R) матриц данного размера m × n с элементами из R (аналогично можнорассматривать матрицы с элементами из C, Q, Z) с операцией сложения и т.д.Определение 2.2. Пусть B ⊂ A — подмножество множества элементов абелевой группы (A, +),причем1) B содержит ноль, то есть 0 ∈ B;2) B замкнуто относительно операции +, то есть b1 , b2 ∈ B ⇒ b1 + b2 ∈ B;3) B замкнуто относительно операции взятия противоположного элемента, то есть ∀ b ∈ B ⇒(−b) ∈ B.Тогда пара (B, +) называется подгруппой группы (A, +).Заметим, что вместо условия 1) в предыдущем определении можно было бы потребовать непустоты множества B.
Очевидно, что подгруппа абелевой группы сама является абелевой группой(относительно той же операции).Рассмотрим примеры абелевых групп и их подгрупп.Пример 2.3. Самая “маленькая” (по включению) подгруппа группы (A, +) — подгруппа, состоящаятолько из нуля, самая “большая” — совпадает со всей группой.Пример 2.4. Имеет место цепочка вложений подгрупп (Z, +) ⊂ (Q, +) ⊂ (R, +) ⊂ (C, +).Пример 2.5. Другие, особенно важные для нас примеры подгрупп, дают подмножества группы (посложению) свободных векторов плоскости, параллельных данной прямой, или подмножества группысвободных векторов пространства, параллельных данной прямой или плоскости.11Пример 2.6. Примерами подгрупп в Matn (R) (с операцией сложения) являются подмножества симметричных (то есть таких, что AT = A) и кососимметричных (AT = −A) матриц, а также диагональных и верхнетреугольных (нули ниже главной диагонали) матриц.Определение 2.7.
Векторным (или линейным) пространством над полем R называется тройка(V, +, ·), состоящая из множества V , на котором заданы две операции:сложение:+V × V −→ V,(u, v) 7→ u + vумножение на числа (“скаляры”) λ ∈ R:и·R × V −→ V,(λ, v) 7→ λ · v,удовлетворяющие следующим условиям (“аксиомам векторного пространства”):1) (V, +) — абелева группа (называемая аддитивной группой векторного пространства V );2) умножение на скаляры обладает свойствами: a) 1 · v = v (1 ∈ R) ∀ v ∈ V , b) (λ µ) · v =λ · (µ · v) ∀ λ, µ ∈ R, ∀ v ∈ V ;3) сложение и умножение связаны законами дистрибутивности: a) (λ + µ) · v = λ · v + µ · v ∀ λ, µ ∈R, ∀ v ∈ V , b) λ · (u + v) = λ · u + λ · v ∀ λ ∈ R, ∀ u, v ∈ V.Элементы произвольного векторного пространства называются векторами. Заметим, что в определении векторного пространства вместо поля R можно взять произвольное поле K, получив определение векторного пространства над полем K.
Общий случай мы пока рассматривать не будем ипод векторным пространством будем подразумевать векторное пространство над полем R.В дальнейшем мы будем опускать обозначение · умножения числа на вектор, записывая λ · vпросто как λ v. Кроме того, вместо тройки (V, +, ·) мы будем писать просто V , подразумевая, чтооперации в векторном пространстве ясны из контекста.Укажем некоторые следствия аксиом векторного пространства, не являющиеся следствиями аксиом абелевой группы. Читателю предлагается доказать их в качестве задачи.Задача 2.8.
Докажите, что в произвольном векторном пространстве (V, +, ·) имеют местотождества:1) λ 0 = 0 ∀ λ ∈ R;2) λ (−v) = −λ v ∀ λ ∈ R, v ∈ V ;3) 0v = 0 ∀ v ∈ V ;4) (−1)v = −v ∀ v ∈ V.Рассмотрим примеры векторных пространств.Пример 2.9. Множество Matm×n (R) матриц данного размера m × n с операциями сложения и умножения на числа (в частности, множество столбцов высоты n, часто вместо Matn×1 (R) обозначаемоеRn ) является векторным пространством над R.12Пример 2.10.
Множество комплексных чисел C можно рассматривать как двумерное векторноепространство над R с базисом {1, i}. Действительно, относительно сложения комплексные числаобразуют абелеву группу; кроме того, операция умножения на действительные числа обладает требуемыми свойствами п.2 Определения 2.7 и, наконец, выполнены законы дистрибутивности из п.3Определения 2.7. Кроме того, всякое комплексное число z ∈ C однозначно записывается в видеλ · 1 + µ · i, где λ, µ ∈ R, следовательно, {1, i} — базис в векторном пространстве C над полем R. Этоприводит к тому, что комплексные числа можно изображать как векторы на плоскости.
Про связьгеометрии евклидовой плоскости с комплексными числами можно почитать, например, в [1], [14].Пример 2.11. Основные для нас примеры векторных пространств — пространства свободных векторов на плоскости и в пространстве относительно обычных операций сложения векторов и умноженияих на числа (определение свободного вектора и линейных операций над свободными векторами см.например в [5]).Определение 2.12. Пусть U ⊂ V — подмножество множества векторов векторного пространства(V, +, ·) такое, что1) (U, +) — подгруппа аддитивной группы (V, +);2) u ∈ U ⇒ λ u ∈ U ∀ λ ∈ R.Тогда (U, +, ·) называется векторным (= линейным) подпространством пространства (V, +, ·).Заметим, что подпространство само является векторным пространством.Приведем некоторые примеры векторных подпространств.Самое “маленькое” подпространство в (V, +, ·) состоит только из нулевого вектора, самое “большое” — совпадает со всем пространством (V, +, ·).
Подпространствами являются подгруппы группсвободных векторов плоскости или пространства из примера 2.5, а также подмножества в Matn (R)из примера 2.6. Множество действительных чисел R является подпространством пространства C изПримера 2.10.2.2БазисыПусть V — векторное пространство.Определение 2.13. Системой n (n ∈ N ∪ {0}) векторов пространства V называется произвольноеотображение f : {1, 2, . . . , n} → V.Систему n векторов мы будем записывать в виде {v1 , . .
. , vn }, где f (k) = vk , k = 1, . . . , n.Заметим, что система векторов отличается от подмножества двумя свойствами: во-первых, векторысистемы имеют естественный порядок (занумерованы числами 1, 2, . . . , n), и, во-вторых, в системуэлемент может входить более одного раза (то есть возможны повторения).Определение 2.14.
Базисом в векторном пространстве V называется такая система векторов{e1 , . . . , en } пространства V , что произвольный вектор v ∈ V однозначно представляется в видеих линейной комбинацииv = v1 e1 + . . . + vn en .(2)13Однозначность разложения (2) (при условии существования) равносильна линейной независимости системы {e1 , . . . , en }, в то время как существование разложения произвольного вектора связанос максимальностью такой системы среди всех линейно независимых систем.Не во всяком векторном пространстве есть базис в смысле приведенного выше определения,состоящий из конечного числа векторов. Если в V есть такой базис, то пространство V называетсяконечномерным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
