МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Матрицей Грама системы векторов {v1 , . . . , vk } евклидова пространства V называется матрица G = (gij ), составленная из попарных скалярных произведений векторов системы,gij := (vi , vj ). Подробнее:(v1 , v1 ) (v1 , v2 ) . . . (v1 , vk )(v2 , v1 ) (v2 , v2 ) . . . (v2 , vk ).G = G(v1 , . . . , vk ) = ............(vk , v1 ) (vk , v2 ) . . .
(vk , vk )Определитель матрицы Грама называется грамианом.Матрица Грама G произвольного базиса {e1 , e2 , e3 } евклидова пространства V полностью определяет его скалярное произведение. Действительно, легко проверяется, что (u, v) = v1 (u1 , u2 , u3 )G v2 , где (u1 , u2 , u3 )T и (v1 , v2 , v3 )T — столбцы координат векторов u и v в том жеv3самом базисе {e1 , e2 , e3 }.18Замечание 2.25.
Из определения матрицы Грама и симметричности скалярного произведения следует симметричность матрицы Грама. Возникает вопрос: какие симметричные матрицы являютсяматрицами Грама линейно независимых систем векторов евклидова пространства? Оказывается,необходимо и достаточно потребовать условие их положительной! определенности, которое, наприa11 a12эквивалентно системе неравенствмер, для k = 2 и симметричной матрицы A видаa12 a22a11 > 0, det A > 0 (ср. Следствие 2.22).Задача 2.26.
Докажите (при k = 2, 3), что если система векторов {v1 , . . . , vk } линейно зависима,то ее грамиан равен нулю. Попробуйте также доказать обратное утверждение.Задача 2.27. Докажите (при k = 2, 3), что грамиан системы векторов {v1 , . . . , vk } не зависитот порядка векторов в системе.Заметим, что задание скалярного произведения на V среди всех базисов в V выделяет “привилегированный” класс — класс ортонормированных базисов, для которых матрица Грама являетсяединичной.Замечание 2.28.
Заметим, что функций (·, ·) : V × V → R, удовлетворяющих условиям 1) — 3)скалярного произведения, много8 (за исключением тривиального случая нульмерного пространства), но все они приводят к изоморфным структурам евклидова пространства, которые обладают одинаковыми геометрическими свойствами. Точнее, пусть (·, ·)1 и (·, ·)2 — две такие функции на V . Тогда существует такое взаимно однозначное линейное преобразование ϕ : V → V, что(u, v)2 = (ϕ(u), ϕ(v))1 ∀ u, v ∈ V. То есть такое преобразование ϕ дли́ны и углы в смысле скалярного произведения (·, ·)2 переводит в дли́ны и углы в смысле произведения (·, ·)1 .Структура евклидова пространства — не единственная интересная структура на вещественномвекторном пространстве V . Другая такая структура (весьма мало, впрочем, похожая на евклидову)— ориентация, то есть выбор одного из двух классов ориентации базисов в V (см.
Определение2.18). Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным.Еще одна интересная структура — форма объема, позволяющая измерять ориентированные объемы параллелепипедов, построенных на векторах. Дадим ее определение для случая dim V = 3 (вслучае dim V = n нужно рассматривать n-линейные функции, в частности, при n = 2 — билинейные,а в остальном определение аналогично).Определение 2.29. Форма объема на V — ненулевая функция (·, ·, ·) : V × V × V → R, удовлетворяющая следующим условиям:1) она трилинейна, то есть(u1 + u2 , v, w) = (u1 , v, w) + (u2 , v, w) ∀ u1 , u2 , v, w ∈ V,(λ u, v, w) = λ (u, v, w) ∀ u, v, w ∈ V, λ ∈ R,и аналогично для второго и третьего аргументов и8мы предлагаем заинтересованному читателю их описать, используя понятие матрицы Грама.192) кососимметрична, то есть при перестановке любых двух аргументов меняет знак.Читатель, конечно, заметил, что форма объема (при n = 3) обладает двумя основными свойствами смешанного произведения; единственное отличие — смешанное произведение определяется вслучае евклидова пространства, и нормируется дополнительным условием (e1 , e2 , e3 ) = 1, если базис {e1 , e2 , e3 } правый ортонормированный.
При определении формы объема никакой евклидовойструктуры на V , вообще говоря, не предполагается.Если {e1 , e2 , e3 } — произвольный базис, то из определения формы объема (ее полилинейности икососимметричности) легко получить, чтоu1 v1 w1 (7)(u, v, w) = u2 v2 w2 (e1 , e2 , e3 ),u3 v3 w3 где (u1 , u2 , u3 )T , (v1 , v2 , v3 )T , (w1 , w2 , w3 )T — координатные столбцы векторов u, v, w в базисе{e1 , e2 , e3 }. Из этого легко видеть, что две формы объема на V отличаются ненулевым множителем.
Заметим, что задание формы объема среди всех базисов в V выделяет “привилегированный”класс, состоящий из тех базисов, для которых ориентированный объем построенного на них параллелепипеда равен 1.Заметим, что в евклидовом пространстве можно измерять неориентированные объемы параллелепипедов. Например, если V (u, v) — объем9 параллелограмма, построенного на векторах u, v наевклидовой плоскости, то!|u|2 (u, v)= |u|2 |v|2 − (u, v)2 = |u|2 |v|2 sin2 α = V (u, v)2 ,det2(u, v) |v|то есть объем выражается через скалярные произведения. Аналогичный результат (что квадратобъема параллелепипеда, построенного на системе векторов, равен грамиану этой системы) верендля евклидова пространства произвольной размерности.
Докажем это для n = 3.10Предложение 2.30. Верно равенство|u|2(u, v) (u, w)V (u, v, w)2 = det (u, v)|v|2(v, w) .(u, w) (v, w) |w|2Доказательство. Воспользуемся тем, что в любом евклидовом пространстве есть ортонормированu1 u2 u3ный базис {e1 , e2 , e3 }. Пусть A := v1 v2 v3 — матрица, составленная из координат векторовw1 w2 w3u, v, w в этом базисе. Из векторной алгебры мы знаем, что V (u, v, w) = |det A|.
Кроме того, легкоубедиться, что AAT = G(u, v, w). Требуемая формула теперь следует из двух свойств определителя:det (AB) = (det A) (det B) и det AT = det A.9при n = 1 объемом называется длина, при n = 2 — площадь.для n = 1 он очевиден — длина вектора (одномерный объем) есть корень квадратный из матрицы Грама системы,состоящей из одного этого вектора.1020Задача 2.31. Пусть α, β, γ — углы между векторами v, w; u, w и u, v соответственно. Доказать, чтоpV (u, v, w) = |u||v||w| 1 + 2 cos α cos β cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ.Если в V помимо евклидовой структуры определена ориентация, то объему можно приписатьзнак, получив при этом форму объема, согласованную с евклидовой структурой и ориентацией.11Однако наличие евклидовой структуры и ориентации не необходимо для того, чтобы определить ориентированные объемы — форма объема “беднее” чем совокупность скалярного произведения и ориентации.
Некоторое объяснение этого факта дает то, что к одной и той же форме объема приводят разные евклидовы структуры, о чем свидетельствует формула (7). Действительно,(e1 , e2 , e3 ) = 1 не только для правых ортонормированных базисов {e1 , e2 , e3 }, но и вообще для всехправых базисов, для которых объем построенного на них параллелепипеда равен 1.Замечание 2.32. Последнему факту можно также дать более глубокое объяснение в духе Эрлангенской программы Ф.
Клейна (см. Добавление 4 в конце). А именно, форма объема являетсяинвариантом бо́льшей группы преобразований, а именно группы SL(V ) ⊂ GL(V ) линейных преобразований с определителем 1, в то время как евклидова структура с ориентацией — только ееподгруппы SO(V ) ⊂ SL(V ), состоящей из ортогональных преобразований (сохраняющих даннуюевклидову структуру) с определителем 1. То есть всякое линейное преобразование, сохраняющеескалярное произведение и ориентацию, автоматически сохраняет и форму объема, но не наоборот.2.4Ортогональные матрицыПусть V — евклидово пространство. Для упрощения обозначений предположим, что dim V = 2.Мы уже знаем, что матрица перехода между двумя произвольными базисами обратима. Ортонормированность — дополнительное условие на базис.
Посмотрим, что можно сказать про матрицу Cперехода между двумя ортонормированными базисами в V в дополнение к тому что она обратима.Итак, пусть {e1 , e2 } и {e01 , e02 } — ортонормированные базисы в V и C — матрица перехода междуними. Записывая условия того, что базис {e01 = c11 e1 + c21 e2 , e02 = c12 e1 + c22 e2 } ортонормированныйи используя свойства скалярного произведения, получаем:(e01 , e01 ) = c211 + c221 = 1;(8)(e01 , e02 ) = c11 c12 + c21 c22 = 0;(e0 , e0 ) = c2 + c2 = 1.221222Если мы рассмотрим столбцы c1 := (c11 , c21 )T , c2 := (c12 , c22 )T матрицы C, то последние условияозначают, что они образуют ортонормированный базис в R2 относительно “стандартного” скалярного произведения в пространстве столбцов.
Это условие можно также записать в виде матричноготождества C T C = E.Определение 2.33. Матрица C порядка n называется ортогональной, если C T C = E.11сама евклидова структура никакую ориентацию не задает, см. Задачу 2.27.21Примеры ортогональных матриц порядка 2:!!!!1 01 00 10 −1,,,,0 10 −11 01 0√2√222√2√222−!,1√232√32− 12!.Предложение 2.34. Если матрица C ортогональна, то det C = ±1.Доказательство. Действительно,det (C T C) = det (C T ) det C = (det C)2 = det E = 1.Заметим, что при n = dim V > 1 условие det Cнальности C (например, матрица10= ±1 не является достаточным условием ортого11!имеет единичный определитель, но не ортогональна).Обратно, если условия (8) выполнены и базис {e1 , e2 } ортонормированный, то базис {e01 , e02 }тоже ортонормированный.Вообще, имеет место следующее Предложение.Предложение 2.35.
Из любых двух из следующих условий следует третье:1) базис {e1 , e2 } ортонормированный;2) базис {e01 , e02 } ортонормированный;3) матрица C перехода между ними ортогональна.Задача 2.36. Доказать сформулированное Предложение.Замечание 2.37. Следующие отображения между ортонормированными базисами в V и ортогональными матрицами порядка 2 являются взаимно-обратными биекциями. Фиксируем некоторыйортонормированный базис {e1 , e2 } в V . Тогда еще одному ортонормированному базису {e01 , e02 }сопоставим матрицу C перехода к нему от зафиксированного базиса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
