Главная » Просмотр файлов » МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов

МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 5

Файл №1188220 МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов) 5 страницаМУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220) страница 52020-09-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Матрицей Грама системы векторов {v1 , . . . , vk } евклидова пространства V называется матрица G = (gij ), составленная из попарных скалярных произведений векторов системы,gij := (vi , vj ). Подробнее:(v1 , v1 ) (v1 , v2 ) . . . (v1 , vk )(v2 , v1 ) (v2 , v2 ) . . . (v2 , vk ).G = G(v1 , . . . , vk ) = ............(vk , v1 ) (vk , v2 ) . . .

(vk , vk )Определитель матрицы Грама называется грамианом.Матрица Грама G произвольного базиса {e1 , e2 , e3 } евклидова пространства V полностью определяет его скалярное произведение. Действительно, легко проверяется, что (u, v) = v1 (u1 , u2 , u3 )G v2  , где (u1 , u2 , u3 )T и (v1 , v2 , v3 )T — столбцы координат векторов u и v в том жеv3самом базисе {e1 , e2 , e3 }.18Замечание 2.25.

Из определения матрицы Грама и симметричности скалярного произведения следует симметричность матрицы Грама. Возникает вопрос: какие симметричные матрицы являютсяматрицами Грама линейно независимых систем векторов евклидова пространства? Оказывается,необходимо и достаточно потребовать условие их положительной! определенности, которое, наприa11 a12эквивалентно системе неравенствмер, для k = 2 и симметричной матрицы A видаa12 a22a11 > 0, det A > 0 (ср. Следствие 2.22).Задача 2.26.

Докажите (при k = 2, 3), что если система векторов {v1 , . . . , vk } линейно зависима,то ее грамиан равен нулю. Попробуйте также доказать обратное утверждение.Задача 2.27. Докажите (при k = 2, 3), что грамиан системы векторов {v1 , . . . , vk } не зависитот порядка векторов в системе.Заметим, что задание скалярного произведения на V среди всех базисов в V выделяет “привилегированный” класс — класс ортонормированных базисов, для которых матрица Грама являетсяединичной.Замечание 2.28.

Заметим, что функций (·, ·) : V × V → R, удовлетворяющих условиям 1) — 3)скалярного произведения, много8 (за исключением тривиального случая нульмерного пространства), но все они приводят к изоморфным структурам евклидова пространства, которые обладают одинаковыми геометрическими свойствами. Точнее, пусть (·, ·)1 и (·, ·)2 — две такие функции на V . Тогда существует такое взаимно однозначное линейное преобразование ϕ : V → V, что(u, v)2 = (ϕ(u), ϕ(v))1 ∀ u, v ∈ V. То есть такое преобразование ϕ дли́ны и углы в смысле скалярного произведения (·, ·)2 переводит в дли́ны и углы в смысле произведения (·, ·)1 .Структура евклидова пространства — не единственная интересная структура на вещественномвекторном пространстве V . Другая такая структура (весьма мало, впрочем, похожая на евклидову)— ориентация, то есть выбор одного из двух классов ориентации базисов в V (см.

Определение2.18). Векторное пространство, в котором выбрана ориентация, называется ориентированным.Еще одна интересная структура — форма объема, позволяющая измерять ориентированные объемы параллелепипедов, построенных на векторах. Дадим ее определение для случая dim V = 3 (вслучае dim V = n нужно рассматривать n-линейные функции, в частности, при n = 2 — билинейные,а в остальном определение аналогично).Определение 2.29. Форма объема на V — ненулевая функция (·, ·, ·) : V × V × V → R, удовлетворяющая следующим условиям:1) она трилинейна, то есть(u1 + u2 , v, w) = (u1 , v, w) + (u2 , v, w) ∀ u1 , u2 , v, w ∈ V,(λ u, v, w) = λ (u, v, w) ∀ u, v, w ∈ V, λ ∈ R,и аналогично для второго и третьего аргументов и8мы предлагаем заинтересованному читателю их описать, используя понятие матрицы Грама.192) кососимметрична, то есть при перестановке любых двух аргументов меняет знак.Читатель, конечно, заметил, что форма объема (при n = 3) обладает двумя основными свойствами смешанного произведения; единственное отличие — смешанное произведение определяется вслучае евклидова пространства, и нормируется дополнительным условием (e1 , e2 , e3 ) = 1, если базис {e1 , e2 , e3 } правый ортонормированный.

При определении формы объема никакой евклидовойструктуры на V , вообще говоря, не предполагается.Если {e1 , e2 , e3 } — произвольный базис, то из определения формы объема (ее полилинейности икососимметричности) легко получить, чтоu1 v1 w1 (7)(u, v, w) = u2 v2 w2 (e1 , e2 , e3 ),u3 v3 w3 где (u1 , u2 , u3 )T , (v1 , v2 , v3 )T , (w1 , w2 , w3 )T — координатные столбцы векторов u, v, w в базисе{e1 , e2 , e3 }. Из этого легко видеть, что две формы объема на V отличаются ненулевым множителем.

Заметим, что задание формы объема среди всех базисов в V выделяет “привилегированный”класс, состоящий из тех базисов, для которых ориентированный объем построенного на них параллелепипеда равен 1.Заметим, что в евклидовом пространстве можно измерять неориентированные объемы параллелепипедов. Например, если V (u, v) — объем9 параллелограмма, построенного на векторах u, v наевклидовой плоскости, то!|u|2 (u, v)= |u|2 |v|2 − (u, v)2 = |u|2 |v|2 sin2 α = V (u, v)2 ,det2(u, v) |v|то есть объем выражается через скалярные произведения. Аналогичный результат (что квадратобъема параллелепипеда, построенного на системе векторов, равен грамиану этой системы) верендля евклидова пространства произвольной размерности.

Докажем это для n = 3.10Предложение 2.30. Верно равенство|u|2(u, v) (u, w)V (u, v, w)2 = det  (u, v)|v|2(v, w) .(u, w) (v, w) |w|2Доказательство. Воспользуемся тем, что в любом евклидовом пространстве есть ортонормированu1 u2 u3ный базис {e1 , e2 , e3 }. Пусть A :=  v1 v2 v3  — матрица, составленная из координат векторовw1 w2 w3u, v, w в этом базисе. Из векторной алгебры мы знаем, что V (u, v, w) = |det A|.

Кроме того, легкоубедиться, что AAT = G(u, v, w). Требуемая формула теперь следует из двух свойств определителя:det (AB) = (det A) (det B) и det AT = det A.9при n = 1 объемом называется длина, при n = 2 — площадь.для n = 1 он очевиден — длина вектора (одномерный объем) есть корень квадратный из матрицы Грама системы,состоящей из одного этого вектора.1020Задача 2.31. Пусть α, β, γ — углы между векторами v, w; u, w и u, v соответственно. Доказать, чтоpV (u, v, w) = |u||v||w| 1 + 2 cos α cos β cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ.Если в V помимо евклидовой структуры определена ориентация, то объему можно приписатьзнак, получив при этом форму объема, согласованную с евклидовой структурой и ориентацией.11Однако наличие евклидовой структуры и ориентации не необходимо для того, чтобы определить ориентированные объемы — форма объема “беднее” чем совокупность скалярного произведения и ориентации.

Некоторое объяснение этого факта дает то, что к одной и той же форме объема приводят разные евклидовы структуры, о чем свидетельствует формула (7). Действительно,(e1 , e2 , e3 ) = 1 не только для правых ортонормированных базисов {e1 , e2 , e3 }, но и вообще для всехправых базисов, для которых объем построенного на них параллелепипеда равен 1.Замечание 2.32. Последнему факту можно также дать более глубокое объяснение в духе Эрлангенской программы Ф.

Клейна (см. Добавление 4 в конце). А именно, форма объема являетсяинвариантом бо́льшей группы преобразований, а именно группы SL(V ) ⊂ GL(V ) линейных преобразований с определителем 1, в то время как евклидова структура с ориентацией — только ееподгруппы SO(V ) ⊂ SL(V ), состоящей из ортогональных преобразований (сохраняющих даннуюевклидову структуру) с определителем 1. То есть всякое линейное преобразование, сохраняющеескалярное произведение и ориентацию, автоматически сохраняет и форму объема, но не наоборот.2.4Ортогональные матрицыПусть V — евклидово пространство. Для упрощения обозначений предположим, что dim V = 2.Мы уже знаем, что матрица перехода между двумя произвольными базисами обратима. Ортонормированность — дополнительное условие на базис.

Посмотрим, что можно сказать про матрицу Cперехода между двумя ортонормированными базисами в V в дополнение к тому что она обратима.Итак, пусть {e1 , e2 } и {e01 , e02 } — ортонормированные базисы в V и C — матрица перехода междуними. Записывая условия того, что базис {e01 = c11 e1 + c21 e2 , e02 = c12 e1 + c22 e2 } ортонормированныйи используя свойства скалярного произведения, получаем:(e01 , e01 ) = c211 + c221 = 1;(8)(e01 , e02 ) = c11 c12 + c21 c22 = 0;(e0 , e0 ) = c2 + c2 = 1.221222Если мы рассмотрим столбцы c1 := (c11 , c21 )T , c2 := (c12 , c22 )T матрицы C, то последние условияозначают, что они образуют ортонормированный базис в R2 относительно “стандартного” скалярного произведения в пространстве столбцов.

Это условие можно также записать в виде матричноготождества C T C = E.Определение 2.33. Матрица C порядка n называется ортогональной, если C T C = E.11сама евклидова структура никакую ориентацию не задает, см. Задачу 2.27.21Примеры ортогональных матриц порядка 2:!!!!1 01 00 10 −1,,,,0 10 −11 01 0√2√222√2√222−!,1√232√32− 12!.Предложение 2.34. Если матрица C ортогональна, то det C = ±1.Доказательство. Действительно,det (C T C) = det (C T ) det C = (det C)2 = det E = 1.Заметим, что при n = dim V > 1 условие det Cнальности C (например, матрица10= ±1 не является достаточным условием ортого11!имеет единичный определитель, но не ортогональна).Обратно, если условия (8) выполнены и базис {e1 , e2 } ортонормированный, то базис {e01 , e02 }тоже ортонормированный.Вообще, имеет место следующее Предложение.Предложение 2.35.

Из любых двух из следующих условий следует третье:1) базис {e1 , e2 } ортонормированный;2) базис {e01 , e02 } ортонормированный;3) матрица C перехода между ними ортогональна.Задача 2.36. Доказать сформулированное Предложение.Замечание 2.37. Следующие отображения между ортонормированными базисами в V и ортогональными матрицами порядка 2 являются взаимно-обратными биекциями. Фиксируем некоторыйортонормированный базис {e1 , e2 } в V . Тогда еще одному ортонормированному базису {e01 , e02 }сопоставим матрицу C перехода к нему от зафиксированного базиса.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
769,37 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее