МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 13
Текст из файла (страница 13)
v1 v2 Пусть ϕ := df. Заметим, что ориентированная площадь образа f (P ) параллелограммаP (который, очевидно, есть параллелограмм, определяемый точками {f (p0 ), f (p1 ), f (p2 )}) естьS{ϕ(u), ϕ(v)}.Заметим, что ϕ(u) = u1 ϕ(e1 ) + u2 ϕ(e2 ), ϕ(v) = v1 ϕ(e1 ) + v2 ϕ(e2 ). Отсюдаu u 12S{ϕ(u), ϕ(v)} = S{ϕ(e1 ), ϕ(e2 )}. v1 v2 Пусть линейное преобразование ϕ : V → V в базисе {e1 , e2 } имеет матрицу A = (aij ). Тогдаa 11 a12 S{ϕ(e1 ), ϕ(e2 )} = S{e1 , e2 }.a21 a22 ПоэтомуS{ϕ(u), ϕ(v)} a11 a12 = = det A.a21 a22 S{u, v}Таким образом, нами доказан следующий результат: Отношение ориентированных площадейпараллелограммов f (P ) и P равно det A, где A — матрица преобразования df в базисе {e1 , e2 }.Заметим, что отношение площадей не зависит от выбора базиса, значит, и определитель det A,матрицы линейного преобразования ϕ, не зависит от базиса, и, значит, корректно определено числоdet ϕ := det A, где A — матрица преобразования ϕ в некотором базисе. Сформулируем полученныйрезультат.Предложение 3.37.
Отношение ориентированных площадей параллелограммов f (P ) и P равноdet (df ).Таким образом, модуль det (df ) показывает, во сколько раз увеличивается (уменьшается) площадь параллелограммов при аффинном преобразовании f , в то время как знак этого определителяговорит о том, меняется или нет их ориентация.Например, если f — движение аффинной евклидовой плоскости, то, как мы знаем, det (df ) = ±1,поэтому оно сохраняет неориентированные площади фигур (что, впрочем, и так очевидно).Заметим, что, поскольку (неориентированная) площадь параллелограмма, определяемого точками {p0 , p1 , p2 } равна удвоенной площади треугольника с вершинами в p0 , p1 , p2 , то отношение (неориентированной) площади образа треугольника к площади исходного треугольника равно23это — то же, что форма площади (двумерного объема), согласованная с евклидовой структурой и ориентацией,рассмотренная нами выше; так как обозначение (u, v) зарезервировано для скалярного произведения векторов u, v,здесь мы ее обозначим S{u, v}.24из векторной алгебры известно, что это — число, равное |u||v| sin α, где α — угол вращения от u к v, измеряемыйпротив часовой стрелки.52|det (df )|.
Так как любой многоугольник можно разбить в объединение конечного числа треугольников, пересекающихся только по границе, то аналогичный факт верен и для них. Рассмотрим классфигур на плоскости, для которых площади вписанных и описанных многоугольников стремятся кобщему пределу (такие фигуры называются измеримыми по Жордану, причем класс таких фигурдостаточно широк для практических целей).
Для них тоже верен аналогичный факт.Перейдем теперь к доказательству важного результата о том, что любое аффинное преобразование плоскости является композицией движения и сжатий (растяжений) к двум взаимно перпендикулярным прямым. Он является аналогом Теоремы 2.66.Теорема 3.38. Пусть f : S → S — биективное аффинное преобразование аффинной евклидовойплоскости, тогда его можно представить в виде композиции f = h2 ◦ h1 ◦ g, где g — движение, аh1 , h2 — сжатия к двум взаимно перпендикулярным прямым.Доказательство. Пусть ϕ := df : V → V — дифференциал f .
Из Леммы 2.67 мы знаем, что существует пара единичных взаимно перпендикулярных векторов e1 , e2 ∈ V таких, что ϕ(e1 )⊥ϕ(e2 ).ϕ(e1 )ϕ(e1 ), e02 := |ϕ(e. Тогда q, {e01 , e02 } — пдск в S. Заметим, что сущеПусть q := f (p), e01 := |ϕ(e1 )|1 )|ствует причем единственное аффинное преобразование g : S → S, переводящее пдск p, {e1 , e2 } впдск q, {e01 , e02 } (ср. Предложение 3.22). Это преобразование является движением, поскольку егодифференциал ортонормированный базис переводит в ортонормированный.Пусть теперь h1 , h2 — аффинные преобразования S → S, (однозначно) определяемые условиями:h1 (q) = q, h1 (e01 ) = ϕ(e1 ), h1 (e02 ) = e02 ; h2 (q) = q, h2 (e01 ) = e01 , h2 (e02 ) = ϕ(e2 ).Тогда легко проверить, что h1 является сжатием с коэффициентом |ϕ(e1 )| к прямой L1 , проходящейчерез точку q и направляющим вектором e02 , а h2 — сжатием с коэффициентом |ϕ(e2 )| к прямой L2 ,проходящей через точку q и направляющим вектором e01 и, кроме того, f = h2 ◦ h1 ◦ g = h1 ◦ h2 ◦ g,поскольку и левая и правая части дск p, {e1 , e2 } переводят в дск q, {ϕ(e1 ), ϕ(e2 )}.3.7Добавление 1: Основная теорема аффинной геометрииВ этом параграфе мы докажем важную теорему о том, что всякое непрерывное биективное преобразование аффинной плоскости, переводящее прямые в прямые, является аффинным.
Заметим, чтоэто утверждение верно и без предположения о непрерывности, хотя доказательство в этом случаесложнее (см. [14]).Ниже мы используем понятие непрерывности применительно к преобразованию f : S → S, гдеS = (S, V, +) — аффинная плоскость. Для читателей, знакомых пока только с понятием непрерывности “обычных” функций нескольких переменных, поясним, как понимать непрерывность врассматриваемом случае.Как объяснялось в параграфе 3.2, выбор в S произвольной декартовой системы координатo, {e1 , e2 } задает отождествление S с R2 , после этого преобразование f превращается в преобразование R2 → R2 , задание которого равносильно заданию двух функций R2 → R.
Непрерывностьf равносильна непрерывности каждой из этих функций. В частности, так определенное понятиенепрерывности f не зависит от выбора дск, с помощью которой мы отождествили S с R2 .53Теорема 3.39. Пусть f : S → S — взаимно однозначное непрерывное преобразование аффиннойплоскости S = (S, V, +), обладающее следующим свойством: если p1 , p2 , p3 — произвольные триточки, лежащие на одной прямой в S, то и их образы qi := f (pi ), i = 1, 2, 3 тоже лежат на однойпрямой.
Тогда f : S → S — аффинное преобразование.Доказательство. Разобьем доказательство на несколько шагов.1) Из условия следует, что если L ⊂ S — некоторая прямая, то f (L) ⊂ L0 , где L0 ⊂ S — некотораяпрямая. Покажем, что тогда f (L) = L0 .Если p, q ∈ S, p 6= q, то единственную прямую L ⊂ S, проходящую через эти точки, будемобозначать Lpq .Пусть p1 , p2 ∈ S, p1 6= p2 , qi := f (pi ), i = 1, 2 ⇒ f (Lp1 p2 ) ⊂ Lq1 q2 . Пусть q3 ∈ Lq1 q2 — произ/ Lp1 p2 .вольная точка; покажем, что p3 := f −1 (q3 ) ∈ Lp1 p2 . Предположим противное, то есть что p3 ∈Тогда Lp1 p3 и Lp2 p3 — две различные прямые, отличные от Lp1 p2 . Пусть r ∈ S — произвольная точка, отличная от p3 .
Тогда через r можно провести прямую L, пересекающую прямые Lp1 p3 и Lp2 p3в двух различных точках, скажем, p01 и p02 соответственно. Так как f (pi ) ∈ Lq1 q2 , i = 1, 2, 3, тоf (Lp1 p3 ) ⊂ Lq1 q2 , f (Lp2 p3 ) ⊂ Lq1 q2 . Поскольку p0i ∈ Lpi p3 , i = 1, 2, то f (p0i ) ∈ Lq1 q2 , i = 1, 2. Наконец,p01 , p02 , r ∈ L ⇒ f (r) ∈ Lq1 q2 .
Поскольку r ∈ S — произвольная точка плоскости, отличная от p3 ,то f (S) ⊂ Lq1 q2 , вопреки предположению о биективности f . Тем самым мы доказали, что преобразование f произвольную прямую L ⊂ S взаимно-однозначно отображает на некоторую прямуюL0 ⊂ S.2) Далее, если прямые L и L1 , параллельны, то и f (L) и f (L1 ) параллельны. Действительно,в противном случае существует точка q ∈ f (L) ∩ f (L1 ), тогда f −1 (q) ∈ L ∩ L1 , что противоречитпараллельности прямых L и L1 .3) Пусть [pq] обозначает направленный отрезок (= упорядоченную пару точек) в S с началом в p и концом в q. Определим преобразование fe из множества направленных отрезков в Sв себя по формуле fe([pq]) = [f (p)f (q)].
Докажем теперь, что fe корректно определяет некоторое преобразование ϕ = ϕ(f ) : V → V пространства свободных векторов V . Пусть [pq] ∼ [p0 q 0 ]−→−(то есть →pq = p0 q 0 как элементы пространства V ), предположим дополнительно что p0 ∈/ Lpq и00p 6= q. Тогда pqq p — параллелограмм в S. Так как прямые Lpq и Lp0 q0 (соотв. Lpp0 и Lqq0 ) параллельны, то и прямые Lf (p)f (q) и Lf (p0 )f (q0 ) (соотв. Lf (p)f (p0 ) и Lf (q)f (q0 ) ) параллельны, откудаfe([pq]) = [f (p)f (q)] ∼ [f (p0 )f (q 0 )] = fe([p0 q 0 ]). Несложный разбор других случаев оставляем чита−−−−−→−телю. Таким образом, полагая ϕ(→pq) равным классу эквивалентности f (p)f (q) ∈ V направленногоотрезка fe([pq]), получаем корректно определенное преобразование ϕ : V → V.4) Покажем теперь, что ϕ : V → V линейно.
Пусть v, w ∈ V . Фиксируя точку p ∈ S получаем−−единственные точки q, r ∈ S такие, что v = →pq, w = →qr. Тогда имеем:−−−−−→−−−ϕ(v + w) = ϕ(→pq + →qr) = ϕ(→pr) = f (p)f (r)−−−−−→ −−−−−→−−f (p)f (q) + f (q)f (r) = ϕ(→pq) + ϕ(→qr) = ϕ(v) + ϕ(w).В частности, полагая w = 0, получаем ϕ(0) = 0.Теперь покажем, что ϕ(αv) = αϕ(v) ∀ α ∈ R. Ясно, что ϕ(nv) = nϕ(v), если n — натуральное.Кроме того, ϕ(v) + ϕ(−v) = ϕ(v − v) = ϕ(0) = 0, откуда ϕ(−v) = −ϕ(v).
Значит, ϕ(nv) = nϕ(v),54если n — целое. Кроме того, для натурального n имеем: 111nϕv =ϕv + ... + ϕv = ϕ (v) ,nnnто есть ϕ( n1 v) = n1 ϕ(v). Таким образом, нами доказано равенство ϕ(αv) = αϕ(v) для произвольногоα ∈ Q.Задача 3.40.1) Используя непрерывность преобразования f : S → S докажите непрерывностьпреобразования ϕ : V → V.2) Докажите, что для любого v ∈ V функцияg : R → V,g(α) := ϕ(αv) − αϕ(v)(30)непрерывна.Из непрерывности функции (30) и того, что она равна нулю для любого α ∈ Q следует, что онатождественно равна нулю для любого α ∈ R.Итак, мы доказали, что преобразование ϕ : V → V линейно.5) Из доказанного получаем, что для произвольных p, q ∈ S−−−−−→−−f (q) = f (p + →pq) = f (p) + f (p)f (q) = f (p) + ϕ(→pq),где ϕ : V → V линейно, откуда следует, что f — аффинно и ϕ = df.3.8Добавление 2: Барицентрические координатыТочки аффинного пространства складывать нельзя, но можно придать смысл некоторым их линейным комбинациям.Определение 3.41.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
