МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Заметим, что, в отличие от евклидового случая, квадрат интервала между разными точками может быть как положительным, так и отрицательным илинулевым. Соответственно, геометрическое место точек, равноудаленных от фиксированной точки,в случае ненулевого интервала является равнобочной гиперболой, причем одно семейство гиперболотвечает положительным квадратам (зеленая гипербола на первой картинке Рис. 14), другое — отрицательным (синяя гипербола), а нулевому интервалу отвечает пара асимптот (“световой конус”).Преобразования группы Пуанкаре являются соответствующими движениями, сохраняющими квадрат интервала.
При поворотах евклидовой плоскости вокруг точки o точки плоскости движутсяпо окружностям с центром в o. В случае гиперболических поворотов плоскости Минковского рольокружностей играют равнобочные гиперболы (см. Рис. 14).Заметим, что если H — подгруппа группы G, то фигуры, эквивалентные относительно H, эквивалентны и относительно G, но, вообще говоря, не наоборот.
То есть чем больше группа, тембольше элементов попадает в один класс эквивалентности и тем, соответственно, “грубее” разбиениемножества фигур на классы эквивалентности, см. например Задачу 3.67 и частичный ответ к нейниже.Оказывается, с каждой группой преобразований плоскости связана своя геометрия. Что этотакое, будет объяснено чуть ниже. Мы ограничимся подгруппами G ⊂ GA(S).Чтобы геометрия, связанная с группой G (кратко: G-геометрия), была интересной, необходимопотребовать, чтобы все точки плоскости S были бы эквивалентны относительно группы G. Такаягруппа преобразований G называется транзитивной. Все упомянутые выше группы, а также содержащаяся в них группа параллельных переносов Trans(S), являются транзитивными (хотя геометрия,связанная с последней, не является особенно интересной).Определение 3.58.
Будем говорить, что класс фигур принадлежит геометрии, связанной с группой G, если любая фигура, эквивалентная (относительно группы G) фигуре из данного класса,64также принадлежит данному классу.Заметим, что если H — подгруппа группы G, то класс фигур, принадлежащих G-геометрии,принадлежит также и H-геометрии, но, вообще говоря, не наоборот.Например, квадраты, окружности, равносторонние треугольники принадлежат “геометрии подобий” — геометрии, связанной с группой Sim(S) (и тем более с ее подгруппой Iso(S) — “евклидовойгеометрии”), в то же время они не принадлежат аффинной геометрии, связанной с GA(S), посколькупри аффинном преобразовании квадрат может перейти в произвольный параллелограмм, окружность — в произвольный эллипс, а равносторонний треугольник — в произвольный треугольник.Задача 3.59.
К каким из упоминавшихся выше геометрий принадлежат следующие классы фигур:треугольники, прямоугольники, трапеции, ромбы, параллелограммы, прямые, пары параллельныхпрямых, пары пересекающихся прямых, эллипсы, параболы, гиперболы?Заметим, что эллипсы, параболы и гиперболы принадлежат аффинной геометрии (так как приаффинном преобразовании они переходят в кривые того же класса), но обычное их определениечерез фокусы и расстояния при этом не подходит.
Аффинное определение этих кривых дано, например, в [12].Определение 3.60. Пусть λ — числовая функция, определенная на фигурах некоторого класса,принадлежащего G-геометрии. Тогда λ называется числовым инвариантом группы G, если онапостоянна на классе G-эквивалентных фигур. Другими словами, если F — фигура из данного класса,тоλ(F ) = λ(g(F )) ∀ g ∈ G.Например, числовыми инвариантами группы движений являются расстояния между точками,углы (в частности, имеет смысл понятие перпендикулярности), площади, длины большой и малойполуосей эллипса и т.д., в то время как инвариантами группы подобий также являются углы, нотолько отношение расстояний, отношение площадей, эксцентриситет эллипса (параболы, гиперболы) но не сами длины полуосей; для аффинной группы углы уже́ не являются инвариантами,но инвариантами будут отношения направленных отрезков, лежащих на параллельных прямых, отношения площадей и т.д.
Для геометрии Минковского инвариантом является квадрат интерваламежду точками.Помимо числовых можно определить также геометрические инварианты фигур из данного класса, принадлежащего G-геометрии. А именно, некоторое геометрическое понятие, связанное с фигурами данного класса, является их геометрическим G-инвариантом, если оно сохраняется преобразованиями из группы G.
Например, медианы или центр тяжести треугольника а также центрэллипса (или гиперболы) — аффинные инварианты, в то время как высоты, биссектрисы треугольника а также фокусы и директрисы эллипса (параболы, гиперболы) — инварианты группы подобий,но не аффинные (действительно, как нетрудно убедиться, при аффинных преобразованиях эллипспереходит в эллипс, но его фокусы, вообще говоря, не в фокусы).Заметим, что если H ⊂ G, то любой G-инвариант является также H-инвариантом, но, вообщеговоря, не наоборот.65Задача 3.61. Инвариантами каких групп являются следующие понятия: высоты, медианы, биссектрисы треугольника; чевианы, пересекающиеся в одной точке; центр тяжести треугольника;фокусы, главные диаметры, сопряженные диаметры и центр эллипса; длины полуосей, эксцентриситет эллипсов и гипербол?Задача 3.62. Докажите, что площади четырех секторов, на которые внутренность эллипсаразбивается парой сопряженных диаметров, равны.Задача 3.63.
Пусть C — некоторый эллипс на плоскости S. Выберем дск o, {e1 , e2 } в S следующим образом: o является центром C, а векторы e1 , e2 имеют представители с началом в o иконцом в вершинах эллипса. Доказать, что в выбранной дск эллипс задается уравнением x2 +y 2 = 1.(Указание: для любого эллипса существует аффинное преобразование, отображающее его в окружность).Теперь мы можем объяснить, что такое геометрия, связанная с группой G. Такая геометрияизучает связь между G-инвариантами фигур из классов, принадлежащих G-геометрии.
Теоремы Gгеометрии — соотношения между G-инвариантами таких фигур. Заметим, что если H — подгруппагруппы G, то всякая теорема G-геометрии является также теоремой H-геометрии (но, вообще говоря,не наоборот).Примером известной теоремы аффинной (а, значит, и любой другой из рассматриваемых нами)геометрии является теорема о медианах треугольника (что они пересекаются в одной точке и точкойпересечения делятся в отношении 2 : 1). Другие примеры аффинных теорем — теоремы Чевы иМенелая.Задача 3.64. Пусть треугольник 4ABC образован тремя касательными к эллипсу.
Доказать,что тогда прямые AP, BQ, CR, соединяющие его вершины A, B, C с точками P, Q, R касанияпротивоположных сторон, пересекаются в одной точке O.Пример теоремы геометрии подобий — теорема о том, что отношение, в котором биссектриса треугольника делит противоположную сторону, равно отношению прилежащих сторон. Понятиебиссектрисы не определено в аффинной геометрии (аффинные преобразования не сохраняют биссектрисы), но остается инвариантным понятие отношения, в котором точка делит отрезок. В частности, произведение отношений, в которых биссектрисы треугольника делят его стороны, равно 1(ср. теорему Чевы).
То есть при расширении группы до аффинной остается свойство биссектристреугольника пересекаться в одной точке. Аналогичный результат имеет место и для высот.Задача 3.65. При аффинном преобразовании треугольник 4ABC переходит в треугольник4A0 B 0 C 0 , причем точка пересечения медиан треугольника 4ABC переходит в точку пересечения высот треугольника 4A0 B 0 C 0 . Что можно сказать про треугольник 4A0 B 0 C 0 ?Задача 3.66. Объяснить, почему теорема Пифагора — теорема геометрии подобий (но не аффинной геометрии), в то время как теоремы из Задач 3.62 и 3.64 — теоремы аффинной геометрии(а, значит, и остальных рассматриваемых геометрий).Аффинные свойства фигур (теоремы аффинной геометрии) можно рассматривать как наиболее фундаментальные, поскольку они выполняются и во всех других рассматриваемых геометриях66(например, в евклидовой, связанной с группой движений Iso(S), или в геометрии Минковского,связанной с группой Пуанкаре Iso(1, 1)).Таким образом, вложения групп преобразований плоскости определяют иерархию свойств геометрических фигур.
Возникает вопрос, нет ли еще более “фундаментальной” геометрии, чем аффинная?26 Ответ на этот вопрос — “да” и это — проективная геометрия. Правда, нужно уточнить, чтопри ее определении к аффинной плоскости S следует добавить некоторые точки, образующие “бесконечно удаленную прямую”, и тогда аффинные преобразования среди проективных характеризуютсятем, что для них эта бесконечно удаленная прямая инвариантна.27 Мы не будем здесь останавливаться на этих вопросах подробнее, отметим лишь, что проективных преобразований достаточно,чтобы все невырожденные кривые второго порядка (то есть эллипсы, параболы и гиперболы) образовывали бы один класс эквивалентности.28 Классическим примером проективной теоремы о кривыхвторого порядка является теорема Паскаля.
Элементарное изложение основ проективной геометрииможно найти в [13], см. также [5], [12], [14], [15].Классифицировать фигуры данного класса в геометрии, связанной с данной группой преобразований G — значит описать их классы G-эквивалентности. Из определения следует, что числовыеG-инварианты принимают одинаковые значения на G-эквивалентных фигурах. Таким образом, еслидля двух фигур данного класса мы нашли G-инвариант, принимающий на них разные значения, тоэти фигуры не являются G-эквивалентными.Для полного решения задачи классификации достаточно найти полную систему G-инвариантов,то есть такой набор инвариантов, равенство которых для двух фигур из данного класса (не только) необходимо (но) и достаточно для эквивалентности этих фигур. Например, в школе проходятсякритерии (“признаки”) равенства (= эквивалентности в евклидовой геометрии) и подобия (= эквивалентности в геометрии подобий) треугольников.Другой пример: для эллипсов в евклидовой геометрии полную систему инвариантов образуютдлины их полуосей (большой и малой).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
