МУ Линейные и афинные пространства и отображения Ершов (1188220), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ТогдаR2γ (r)R2β (q)R2α (p) = idS .Доказательство. Обозначим через L, M, N прямые, содержащие стороны qr, rp, pq треугольника4pqr. Пусть SL , SM , SN — симметрии относительно этих прямых. Тогда (см. Задачу 2.65)R2α (p) = SN SM ,R2β (q) = SL SN ,R2γ (r) = SM SL .2 произвольной симметрии SПеремножая полученные выражения и используя то, что квадрат SKKесть тождественное преобразование idS , получаем требуемое соотношение.Задача 3.30. Пользуясь доказанным Предложением, указать способ построения центра поворотаRβ (q)Rα (p) из Примера 3.28.3.5Задание аффинных преобразований в координатахПусть o, {e1 , e2 , e3 } — декартова система координат в аффинном пространстве (S, V, +). Напомним,что то, что точка p ∈ S имеет в данной системе координат координатный столбец (x1 , x2 , x3 )T−означает, что →op = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 .−Пусть f : S → S — некоторое аффинное преобразование.
Тогда f (p) = f (o) + df (→op), что, рассматривая векторизацию относительно точки o, также можно записать в виде−−−→ −−−→−of (p) = of (o) + df (→op).(25)Пусть ϕ := df в базисе {e1 , e2 , e3 } имеет матрицу A = (aij ). Пусть, кроме того, f (o) в выбраннойдск имеет координаты (b1 , b2 , b3 )T , а f (p) — координаты (x01 , x02 , x03 )T . Тогда (25) в координатахпереписывается в виде x01b1x1x1b1 0 (e1 , e2 , e3 ) x2 = (e1 , e2 , e3 ) b2 + (e1 , e2 , e3 )A x2 = (e1 , e2 , e3 ) A x2 + b2 ,x03b3x3x3b3откуда, используя единственность разложения по базису, получаем следующее выражение координат (x01 , x02 , x03 )T образа f (p) точки p через координаты (x1 , x2 , x3 )T самой точки p: x01x1b1 0(26)x2 = A x2 + b2 ,x03x3b3что в развернутом виде записывается какx0 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + b1 1x02 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + b2x0 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + b3 .3Итак, нами доказано следующее48Предложение 3.31.
Любое аффинное преобразование f пространства (S, V, +) в дск o, {e1 , e2 , e3 }задается выражением вида (26), где A — матрица линейного преобразования df : V → V в базисе{e1 , e2 , e3 }, а (b1 , b2 , b3 )T — координаты точки f (o).Заметим, что ввиду того, что декартовы координаты однозначно определяют точку, выражениевида (26) задает некоторое преобразование пространства S, ставящее в соответствие точке с координатами (x1 , x2 , x3 )T в выбранной дск точку с координатами (x01 , x02 , x03 )T в той же дск. Докажем,что верно утверждение, обратное предыдущему предложению.Предложение 3.32. Выражение вида (26) в произвольной дск o, {e1 , e2 , e3 } определяет некотороеаффинное преобразование f пространства (S, V, +), причем A — матрица df в базисе {e1 , e2 , e3 }.Доказательство. Заметим, что для любого линейного преобразования ϕ : V → V и любой парыточек o, q ∈ S существует единственное аффинное преобразование f : S → S такое, что df = ϕ иf (o) = q.
Действительно, если такое f существует, то оно однозначно определяется формулой−−−f (p) = f (o + →op) = f (o) + df (→op) = q + ϕ(→op)∀ p ∈ S.Аффинность так определенного преобразования f вытекает из Замечания 3.9.Далее, существует единственное линейное преобразование ϕ : V → V , которое имеет матрицуA в базисе {e1 , e2 , e3 }. Аналогично, существует единственная точка q ∈ S такая, что (b1 , b2 , b3 )T— ее столбец координат в дск o, {e1 , e2 , e3 }. Тогда (26) — координатная запись в данной дск тогоединственного аффинного преобразования f : S → S, для которого df = ϕ и f (o) = q. Чтобы в этомубедиться, нужно повторить вывод формулы (26).Замечание 3.33. Для доказательства того, что матрица A в координатной записи (26) является матрицей дифференциала df можно было также воспользоваться Замечанием 3.8 и тем, что координаты−вектора →pq равны разностям соответствующих координат точек q и p.
Используем краткую формузаписи x0 = Ax + b для (26). Пусть x — координатный столбец точки p, тогда x0 = Ax + b — координатный столбец точки f (p), аналогично, y — координатный столбец точки q, тогда y0 = Ay + b−— координатный столбец точки f (q). Кроме того, y − x — координатный столбец вектора →pq, а−−−−−→→−00y − x = Ay + b − (Ax + b) = A(y − x) — координатный столбец вектора f (p)f (q) = df (pq), откудаполучаем, что действие линейного преобразования df на координатный столбец y − x сводится кумножению слева на матрицу A.В качестве следствия из доказанного предложения и Предложения 3.15 получаем, что f — обратимо ⇔ det A 6= 0.Если det A 6= 0, то гомоморфизм d : GA(S) → GL(V ) в координатах задается сопоставлениемаффинному преобразованию (26) матрицы A.
Убедимся в гомоморфности данного отображения,используя координаты. Снова используем краткую запись (26) в виде x0 = Ax + b. Пусть g : S → S— еще одно аффинное преобразование, задаваемое в той же дск выражением x0 = Bx + c. Тогдакомпозиция g ◦ f в координатах записывается как x00 = B(Ax + b) + c = (BA)x + (Bb + c) (ср.Предложение 3.14).Пусть det A 6= 0, найдем выражение в координатах для f −1 . Если f −1 задается выражениемx0 = Bx + c, тоx = BAx + Bb + c ∀ x ⇔ (BA − E)x + Bb + c = 0 ∀ x ⇔49BA = E, c = −Bb ⇔ B = A−1 , c = −A−1 b(ср. Предложение 3.16).Заметим, что всякое собственное движение аффинной евклидовой плоскости в декартовой прямоугольной системе координат записывается в виде!!!!x0cos α − sin αxb1,(27)=+b2y0sin α cos αyа всякое несобственное движение — в виде!!!x0cos α sin αx=+y0sin α − cos αyb1b2!,(28)ср.
Пример 2.63.Приведем, наконец, обещанное в необязательной части предыдущего параграфа доказательствоТеоремы 3.27. Итак, пусть (S, V, +) — аффинная евклидова плоскость. Пусть сначала f — собственное движение S. Если df = idV , то есть A = E, то из Примера 3.11 мы знаем, что f — параллельныйперенос. Если df 6= idV , то в пдск f имеет вид (27) с α 6= 2πn. Покажем, что у f тогда есть неподвижная точка.
Ее координатный столбец x должен удовлетворять уравнениюAx + b = x, то есть (E − A)x = b,(29)где A — матрица из (27). Заметим, что1 − cos αsinαdet (E − A) = = 2 − 2 cos α 6= 0, − sin α 1 − cos αоткуда следует, что (29) имеет единственное решение, которое мы обозначим x0 . Это — координатный столбец неподвижной точки p преобразования f . Пусть q — произвольная точка с координатным−столбцом x.
Используя координатную форму равенства q = p+ →pq, то есть x = x0 +(x−x0 ), получаем0для координатного столбца x точки f (q)x0 = Ax + b = A(x0 + (x − x0 )) + b = Ax0 + b + A(x − x0 ) = x0 + A(x − x0 ),откуда ясно, что в этом случае f является поворотом вокруг p на угол α, ср. Пример 3.13.Пусть теперь f — несобственное движение евклидовой плоскости, тогда в произвольной пдсконо имеет вид (28). Используя результат Примера 2.63, можно выбрать такой ортонормированный!1 0базис {e1 , e2 } в V , что матрица A дифференциала df в нем будет иметь вид. То есть в0 −1соответствующей пдск f запишется в виде!!!!!!x01 0xb1x0x + b1=+, то есть=.y00 −1yb2y0−y + b2Производя замену пдск по формулеxe = x,ye = y −50b22,в новой пдск получимxe0 = xe + b1 ,0ye = −ey,что, очевидно, является координатной записью скользящего отражения — композиции отражения(симметрии) относительно прямой xe = 0 и параллельного переноса на вектор (b1 , 0)T вдоль этойпрямой.3.6Геометрические свойства аффинных преобразованийВ этом пункте f — биективное аффинное преобразование аффинной плоскости (S, V, +).Предложение 3.34.
При аффинном преобразовании f : S → S аффинной плоскости S1) прямые переходят в прямые, причем параллельные прямые — в параллельные прямые;2) отрезки переходят в отрезки.Доказательство. 1) Выше мы определили прямую как подмножество L = {p0 + u | u ∈ U } ⊂ S,где U ⊂ V — одномерное подпространство. Если a ∈ U, a 6= 0, то L = {p0 + ta | t ∈ R}. Еслиp = p0 + ta ∈ L — произвольная точка, то f (p) = f (p0 ) + df (ta) = f (p0 ) + tdf (a).Так как f биективно, то b := df (a) 6= 0, пусть также q0 := f (p0 ), тогда f (L) = {q0 + tb | t ∈ R}— некоторая прямая.Если L0 ⊂ S — прямая, параллельная L, то L0 = {p00 + ta | t ∈ R}, поэтому тот же вектор bявляется направляющим и для прямой f (L0 ), и, значит, прямые f (L) и f (L0 ) также параллельны.−2) Отрезок [p q] — множество точек вида (1 − t)p + tq = p + t→pq, 0 ≤ t ≤ 1.
Тогда f ([p q]) =−−−−−→[f (p) f (q)] = f (p) + tf (p)f (q), 0 ≤ t ≤ 1.Заметим, что при (биективном) аффинном преобразовании алгебраические кривые переходят валгебраические кривые того же порядка — док-во см. в учебнике [3].Предложение 3.35. При аффинном преобразовании аффинной плоскости отношение направленных отрезков, лежащих на параллельных прямых, сохраняется.−−−Доказательство. Отношение коллинеарных направленных отрезков →pq и →rs (при условии что →rs 6= 0)→−→−→−→−— это такое число λ, что pq = λ rs. Тогда ввиду линейности df имеем df (pq) = λ df (rs), то есть−−−−−→−−−−−→f (p)f (q) = λ f (r)f (s).Следствие 3.36.
Если точка p делит отрезок [q r] в отношении λ, то и ее образ f (p) делитотрезок f ([q r]) = [f (q) f (r)] в отношении λ.Изучим теперь как меняется площадь фигур на аффинной евклидовой плоскости при аффинныхпреобразованиях.Пусть {p0 , p1 , p2 } — система из трех точек аффинной евклидовой плоскости S. Она определяет→−−→некоторый параллелограмм P — множество точек в S вида p + t−p−0 p1 + sp0 p2 , 0 ≤ t, s ≤ 1. Положим→−−→u := −p−0 p1 , v := p0 p2 . Ориентированная площадь параллелограмма P — то же, что ориентированная51площадь S{u, v}23 параллелограмма в V , построенного на упорядоченной паре векторов {u, v},или, другими словами, просто их псевдоскалярное произведение24 .Пусть o, {e1 , e2 } — дск в S. Пусть векторы u, v имеют в базисе {e1 , e2 } в V координатныестолбцы (u1 , u2 )T , (v1 , v2 )T соответственно; тогда из свойств ориентированной площади имеем (ср.(7)):u u 12S{u, v} = S{e1 , e2 }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
