Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 7
Текст из файла (страница 7)
ç¨â, àï¤á室¨âáï.2∞Pn=1annn=1¥è¥¨¥.p ਠâ -714 ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥æ¨ «ë ¢â®çª¥ A(1, 0) äãªæ¨¨ f (x, y) = ln(sh xy +3). §«®¦¨âì ¤ ãîäãªæ¨î ¯® ä®à¬ã«¥ ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ A(1, 0) ¤®o((x − 1)2 + y 2 ). ¤ ç 1.¥è¥¨¥.−1ch xy xy2 ;ysh x+3= sh y1 +3 ch xy x1 ;x∂fdf (x, y) = ∂f∂x dx + ∂y dy;df (1, 0) = 13 dy;∂2fd ∂f(1,0)=(x,0)|x=12dx ∂x∂x∂f∂x∂f∂y=d= dx0 = 0;2∂ fd 1−1d ∂f∂x∂y (1, 0) = dx ∂y (x, 0) |x=1 = dx 3x |x=1 = 3x2 |x=1 =∂2fd ch yd ∂f(1,y)|=(1,0)=y=0dy ∂ydy sh y+3 |y=0∂y 2=sh y(sh y+3)−ch y ch y|y=0 = −19 ;(sh y+3)2222∂ fd2 f = ∂∂xf2 dx2 + 2 ∂x∂ydxdy+ ∂∂yf2 dy 2 ;d2 f (1, 0) = − 23 dxdy − 91 dy 2 .2−13 ;=®à¬ã« ¥©«®à ¨¬¥¥â ¢¨¤: 4f = df + d2!f + o(ρ2 ).ç¨âë¢ ï, çâ® dx = (x − 1), dy = (y − 0), 4f (1, 0) = f (x, y) −4812− sin xcos x1 + ctg2 2x =1sin 2x ,DZ®áª®«ìªã y 0 ==§ 3.π6+ ln sin x),n ¡á®«îâ® á室¨âáï, § ç¨â, ®3 ©â¨ ¤«¨ã ¤ã£¨ ªà¨¢®©: y = 21 (ln cos x +6 x 6 π3 .πR3 p«¨ ¤ã£¨ ªà¨¢®© l =1 + y 02 dx. ¤ ç 2.− 21==142πR3π3+cos xsin xπ6â® l =1d cos y1−cos2 y 1 1+t 2ln 1−t |− 1 =2=ln 32 .12R2− 12dt1−t2cos 2x2 sin x cos x ,==π3Rπ614dxsin 2x1R2 − 21=11−tp12+1 + y 02 =2πR3π311+tdysin ydt==4 áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì¢p524â®çª¥ M (0, 0) äãªæ¨î z(x, y) = ln(2 + y + x y ). ¤ ç 3.p¥è¥¨¥.
®ª ¦¥¬, çâ® äãªæ¨ï f (x, y) = 2 + y ++ 5 x2 y 4 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0). ª ª ª ∂f∂x (0, 0) =∂fddd= dx f (x, 0)|x=0 = dx 2 = 0, ∂y (0, 0) = dy f (0, y)|y=0 =d(2 + y)|y=0 = 1 ¨ f (0, 0) = 2, â® äãªæ¨ï f (x, y)= dy¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 M (0, 0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ √¢ â®çª¥∃lim2+y+(x,y)→(0,0)5√x2 y 4 −2−yx2 +y 2= 0. √p 5 x2 y 4 DZãáâì ρ = x2 + y 2 > 0. ®£¤ 0 6 √ 2 2 6x +y1/5p2/54/5√x2 + y 2→ 0 ¯à¨ (x, y) → (0, 0). «¥6 ρ ρρ = 5 ρ =√5(2+y+ x2 y 4 )−2−y√¤®¢ ⥫ì®, ∃lim= 0 ¨ äãªæ¨ï f (x, y)22I ᯮᮡ.(x,y)→(0,0)x +y¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).49DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬: √ x = 5 x2 y 4 = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ. ®£¤ ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ [0, 2π) √ 2 2 =x +y√ 5 ρ6 cos2 ϕ sin4 ϕ 6 √5 ρ= → 0 ¯à¨ ρ → +0.
«¥¤®¢ ρ√(2+y+ 5 x2 y 4 )−2−y√lim= 0 ¨ äãªæ¨ï f (x, y)⥫ì®, ∃22II ᯮᮡ.x +y(x,y)→(0,0)¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).3 áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì àï¤∞X2n (n!)3n=1¥è¥¨¥.2(n+1)3(3n+1)(3n+2)(3n+3) an+1 an (3n)!=sh2 (n+1)sh2 n·= « ¬¡¥à àï¤ á室¨âáï.→2sh n.22n+1 ((n+1)!)3 (3n)!· shsh(n+1)=2n(3n+3)!2n (n!)322e27 < 1, n → ∞. DZ® ¯à¨§ ªã4 áá«¥¤®¢ âì ¡á®«îâãî ¨ ãá«®¢ãî+∞R ch x−1−ln(1+ x22 )√√á室¨¬®áâì ¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à «dx.(ex −1−x)( x+ 6 x)α ¤ ç 5a.02ch x−1−ln(1+ x2 )√√(ex −1−x)( x+ 6 x)α> 0 ¯à¨ x > 0.f (x) =â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥®áâ¨: ¢ ã«¥ ¨ ¢ +∞. I =+∞+∞RR1R=f (x)dx = f (x)dx +f (x)dx = I1 + I2 . ¦¤ë© ¨§¥è¥¨¥.001x6⇔ α6 − 2 < 1 ⇔ α < 18. ª ª ª f (x) ∼ Cα ¯à¨ x → +∞, â® I2x2á室¨âáï ⇔ α2 > 1 ⇔ α > 2. â¥£à « I á室¨âáï ⇔ I1 á室¨âáï¨ I2 á室¨âáï ⇔ 2 < α < 18.
室¨¬®áâì ¡á®«îâ ï.5 áá«¥¤®¢ âì ¡á®«îâãî ¨ ãá«®¢ãîá室¨¬®áâì ¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à «+∞Zx − arctg xsin(2x + 3)dx.xα ¤ ç 5¡. «¥¥, â ª ª ª äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ln u¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u0 = 2 = f (0, 0), â® á«®¦ ïäãªæ¨ï z(x, y) = ln f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥M (0, 0) ¯® ⥮६¥ ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠ª®¬¯®§¨æ¨¨¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãªæ¨©.⢥â: äãªæ¨ï z(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0). ¤ ç 4.¯à¨§ ª®¬ áà ¢¥¨ï. ª ª ª ¯à¨ x → 0 ¨¬¥¥¬ ch x − 1 −√√22− ln(1 + x2 ) = 16 x4 + o(x4 ), ex − 1 − x = x2 + o(x2 ), x + 6 x =√√= 6 x + o( 6 x), â® f (x) ∼ αC−2 , x → 0.
DZ®í⮬ã I1 á室¨âáï1¥è¥¨¥.14=+∞RI =+∞Rf (x)dx =1+∞R1g(x) sin(2x + 3)dx, £¤¥ g(x) =1x−arctg xxαsin(2x + 3)dx =x−arctg x.xαx∼I) ¡ á ® « î â ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. |f (x)| 6 x−arctgxα1∼ xα−1 ¯à¨ x → +∞. DZ® ¯à¨§ ªã áà ¢¥¨ï ¨â¥£à «+∞+∞RR1|f (x)|dx á室¨âáï, ¥á«¨ ¨â¥£à «dx á室¨âáï. xα−11â¥£à «+∞R111xα−1 dxá室¨âáï ⇔ α − 1 > 1 ⇔ α > 2.
ª¨¬®¡à §®¬, ¥á«¨ α > 2, â® ¨â¥£à « I á室¨âáï ¡á®«îâ®.II) å ® ¤ ¨ ¬ ® á âì. ®á¯®«ì§ã¥¬áï ¯à¨§ ª®¬ ¨à¨å«¥.Rξ1) ∀ ξ ∈ [1; +∞) sin(2x + 3) dx 6 1.1x1− arctgxα−1x→+∞ x2) lim g(x) = limx→+∞14= 0 ⇔ α − 1 > 0 ⇔ α > 1. à¥è¥¨¨ ¯à¨¢®¤¨âáï â. . á奬 ¨§ ç¥âëàñå áâ㯥¥ª (â. ¥. íâ ¯®¢,¨«¨ ¯ãªâ®¢ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï).DZ®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì íâ¨å ¯ãªâ®¢ ¬®¦®¨â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ஢® ®¤ã ®á®¡¥®áâì: I1 {¢ ¨¦¥¬, I2 { ¢ ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
«ï¨áá«¥¤®¢ ¨ï á室¨¬®á⨠¨â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï(á¬. [2]). ¯à¥¤ë¤ãé¨å ¯ à £à ä å ¯à¨¬¥ï« áì á奬 ¨§ âàñå áâ㯥¥ª.5051®¯à¥¤¥«ñë¬ ®¡à §®¬ ¬¥ïâì. ¤®¡®, ¯à¨¬¥à, ¢ ç «¥ ¨áá«¥¤®¢ âìá室¨¬®áâì ¨ à á室¨¬®áâì, § ⥬ ¡á®«îâãî ¨ ãá«®¢ãî á室¨¬®áâì3) h∀ α >x−= x−α α arctgx1 ∃ x0 >i 1 ∀ x > x0 g0 (x) =1− (α − 1) = x−α (1 − α + o(1)) < 0 ¨,1+x2â ª¨¬ ®¡à §®¬, g(x) ¯à¨ x ∈ [x0 , +∞).§ 1) { 3) ¯® ¯à¨§ ªã ¨à¨å«¥ 室¨¬, çâ® ∀ α > 1¨â¥£à « I á室¨âáï.III) á « ® ¢ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.
DZ®ª ¦¥¬, çâ® ∀ α ∈∈ (1; 2] ¨â¥£à « I á室¨âáï ãá«®¢®. ª ª ª á室¨¬®áâì I¢ 㪠§ ®¬ ¯à®¬¥¦ã⪥ § 票© ¯ à ¬¥âà α ãáâ ®¢«¥ ,¤®áâ â®ç® ¤®ª § âì ®âáãâá⢨¥ ¡á®«î⮩ á室¨¬®áâ¨¨â¥£à « I , â® ¥áâì à á室¨¬®áâì ¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « +∞RIˆ =|f (x)| dx ¯à¨ α ∈ (1; 2].
®£« ᮠ᢮©á⢠¬1¬®®â®®á⨠¨ «¨¥©®á⨠¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « , Iˆ =+∞+∞RR=g(x)| sin(2x + 3)| dx >g(x) sin2 (2x + 3) dx ==+∞R1121+∞R11g(x) dx −12+∞Rg(x) cos 2(2x + 3) dx > 0. â¥£à «1g(x) dx à á室¨âáï ¯à¨ α ∈ (1; 2]. â® ãáâ ®¢«¥® ¢ ¯ãªâ¥(I). â¥£à «+∞Rg(x) cos 2(2x + 3) dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§ ªã1¨à¨å«¥, â ª ª ª ¢ ¯ãªâ¥ (II) ãáâ ®¢«¥®,çâ® g(x) 0 ¯à¨Rξx > x0 , ¨, ªà®¬¥ ⮣®, ∀ ξ ∈ [1; +∞) cos 2(2x + 3) dx 6 1.1+∞Rg(x) sin2 (2x+3) dx à á室¨âáï ª ª ª¨¬ ®¡à §®¬, ¨â¥£à «1«¨¥© ï ª®¬¡¨ æ¨ï á ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨á室ï饣®áï ¨ à á室ï饣®áï ¨â¥£à «®¢ ¢ ®¤¨å ¨ â¥å ¦¥¯à¥¤¥« å ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.
â¥£à « Iˆ à á室¨âáï ¯® ¯à¨§ ªãáà ¢¥¨ï.IV) á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.DZ®«ì§ãïáì ªà¨â¥à¨¥¬ ®è¨,¤®ª ¦¥¬ à á室¨¬®áâì ¨â¥£à « I ¯à¨ ¢á¥å α 6 1. ª ª ª∀ α 6 1 lim g(x) > 1, â® ∀ α 6 1 ∃ x0 > 1 ∀ x > x0 g(x) > 21 .x→+∞52®£¤ ∀ α 6 1 ∃ x0 > 1 ∀ δ > x0 ∃ n ∈ N ∃ ξ 0 = 2πn−3>20000ξξπR+2πn−3R> δ, ∃ ξ 00 = 2 2> δ : f (x) dx = g(x) sin(2x +ξ 0ξ000Rξ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∀ α 6 1 00 Rξ∃ ε0 = 41 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > δ ∃ ξ 00 > δ : f (x) dx >ξ 0> ε0 { á¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ¨¥ ãá«®¢¨ï ®è¨ ªà¨â¥à¨ï ®è¨+∞Rá室¨¬®á⨠¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « I =f (x) dx. DZ®+ 3) dx >12sin(2x + 3) dx =ξ014.1ªà¨â¥à¨î ®è¨ ¨â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α 6 1. ¬ ¥ ç ¨ ¥.
ξ 0 ¨ ξ 00 ¤«ï ªà¨â¥à¨ï ®è¨ ¢ë¡¨à «¨áìâ ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¤«ï ¢á¥å x ∈ [ξ 0 , ξ 00 ] ¢ë¯®«ï«®á줢®©®¥ ¥à ¢¥á⢮ 2πn 6 (2x + 3) 6 π2 + 2πn.ξ 0 ¨ ξ 00 室ïâáï ¨§ ãá«®¢¨© 2πn = 2ξ 0 +3, 2ξ 00 +3 = π2 +2πn.⢥â: á室¨âáï ¡á®«îâ®, ¥á«¨ α > 2; á室¨âáï ãá«®¢®,¥á«¨ 1 < α 6 2, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 1. ¤ ç 6a. 4 áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì ¨ à ¢®¬¥àãîá室¨¬®áâì ¬®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)1äãªæ¨® «ìãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fn (x) = n(e nx − 1).¥è¥¨¥.1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) =n→∞1x= f (x).2) áᬮâਬ E1 = (0, 1).1|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = x1 − n(e nx − 1) ,xn = n1 ∈ E1 ¯à¨ n > 2,|Rn (xn )| = n|2 − e| ⇒⇒ ∀ n > 2 sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } > |Rn (xn )| = n|2 − e| ⇒⇒ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } =6 0⇒n→∞⇒ äãªæ¨® «ì ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fn (x) ¥ ï¥âáïà ¢®¬¥à® á室ï饩áï ª f (x) E1 . E1 fn (x) á室¨âáï ª f (x) ¥à ¢®¬¥à®.53 ¬ ¥ ç ¨ ¥. ¯¨áì lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } =6 0n→∞®§ ç ¥â @ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } = 0, â® ¥áâì «¨¡®n→∞@ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 }, «¨¡® ∃ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 },n→∞® lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } =6 0.n→∞n→∞3) áᬮâਬ E2 = (1, +∞).1I ᯮᮡ.
ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E2 0 < nx < 1, â® ¯®ä®à¬ã«¥ ª«®à¥ á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ £à ¦ 1ξ1¨¬¥¥¬: e nx = 1 + nx+ e2! · n21x2 , 0 < ξ < 1. ª¨¬ ®¡à §®¬,∀ n ∈ N ∀ x ∈ E 2 ∃ ξ ∈ (0; 1) : |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| =1 eξ e= x1 − n(e nx − 1) = 2nxlim sup{|Rn (x)| : x ∈2 6 2n ⇒ ∃n→∞∈ E2 } = 0 ⇒ äãªæ¨® «ì ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fn (x)à ¢®¬¥à® á室¨âáï ª f (x) E2 .II ᯮᮡ. áá«¥¤ã¥¬ ¯®¢¥¤¥¨¥ äãªæ¨¨ Rn (x) = f (x) −1n á− fn (x) = x1 − n(e nx − 1) E2 ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ®¬¯®¬®éìî ¯à®¨§¢®¤®©: Rn0 (x) =1x21e nx − 1n→∞∈ E2 } = 0 ⇒ äãªæ¨® «ì ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì fn (x)à ¢®¬¥à® á室¨âáï ª f (x) E2 .4 áá«¥¤®¢ âì á室¨¬®áâì ¨ à ¢®¬¥àãîá室¨¬®áâì ¬®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞) àï¤∞3Px 3 n3th nx .x6 +n2 ¤ ç 6¡.n=1¥è¥¨¥.=x 3 n3x6 +n2thx 3n1) ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∪ E2 ∀ n ∈ N 0 < un (x) =∞PC∼ nC2 ¯à¨ n → ∞ ¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáïn2n=154∞Pn=1un (x) á室¨âáï ¯® ¯à¨§ ªãáà ¢¥¨ï.3 n3x312) ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∀ n ∈ N |un (x)| 6 xx6 +n2 · n3 6 n2∞P1¨ ç¨á«®¢®© àï¤n2 á室¨âáï, â® ¯® ⥮६¥ ¥©¥àèâà áá n=1äãªæ¨® «ìë© àï¤∞Pn=1un (x) á室¨âáï à ¢®¬¥à® E1 .3) ª ª ª lim |un (n)| = th 1 > 0, â® àï¤n→∞∞Pn=1un (x)¥ ï¥âáï à ¢®¬¥à® á室ï騬áï E2 .
ï¤ á室¨âáï¥à ¢®¬¥à® E2 (á室¨¬®áâì àï¤ ãáâ ®¢«¥ ¢ ¯ãªâ¥ 1). ¤ ç 7. 4 §«®¦¨âì ¯® á⥯¥ï¬ x äãªæ¨î f (x) =x2¨ ©â¨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祮£® àï¤ .= arccos √4+x4¥è¥¨¥.f 0 (x)> 0 ¯à¨ x ∈t∈ [1; +∞). ª ª ª¤«ï ¢á¥å t > 0 ¢ë¯®«ï¥âáï e > 1 +11+ t, â® Rn (x) = n 1 + nx− e nx < 0. ç¨â, Rn (x) 0 1 E2 ¨ sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } = −Rn (1) = n e n − 1 − 1. ª¨¬®¡à §®¬, ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E−fn (x)| =2 |Rn (x)| = |f (x)1111= x − n(e nx − 1) < n e n − 1 − 1; lim n e n − 1 − 1 =n→∞= lim n 1 + n1 + o n1 − 1 − 1 = 0 ⇒ ∃ lim sup{|Rn (x)| : x ∈n→∞(íâ «®), â® ∀ x ∈ E1 ∪ E2 àï¤∞P−4x4+x4=(−1)n+1 x4n+1.4n= −x 4 4 1+ x4=−x∞P4n(−1)n x4n=n=0 ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祮£® àï¤ 4√ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï x4 < 1, ®âªã¤ |x| < 2 = R.∞RxP(−1)n+1 x4n+2f (x) = f (0)+ f 0 (t)dt = π2 +4n (4n+2) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
