Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

…᫨ h0 (x) ∼ ϕ0 (x) >> 0 ¯à¨ x → +∞, â® ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠+∞ h0 (x) >1‡­ ç¨â,> 0. ‚ § ¤ ç¥ 5¡ h0 (t) ∼ − 30t5 < 0 ¯à¨ t → +∞.h(t) ¯à¨ t → +∞. DZਠ­ 宦¤¥­¨¨ íª¢¨¢ «¥­â­®© ä㭪樨­¥®¡å®¤¨¬® ãç¨âë¢ âì, çâ® ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ á㬬 ä㭪権 ­¥íª¢¨¢ «¥­â­ á㬬¥ íª¢¨¢ «¥­â­ëå ¨¬ ä㭪権.

 ¯à¨¬¥à, q11 + t2 − 1 − 2t = 1t + o 1t ∼ 1t ¯à¨ t → +∞, ­® 1 + t12 −q− 1 − 2t 6∼ 1 + t12 − 1 ¯à¨ t → +∞. ‚® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ®è¨¡®ª­ã¦­® ª®à४⭮ ¯à¨¬¥­ïâì ä®à¬ã«ã ’¥©«®à [7].1¢á¥å α > 52 .III) € ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ˆ­â¥£à « I ¬®¦¥â ¡á®«îâ­® á室¨âìáï «¨èì ¯à¨ â¥å §­ 祭¨ïå α, ¯à¨ ª®â®àëå+∞R®­ á室¨âáï. DZਠα < 52 ¨­â¥£à «g(t) cos 2t dt á室¨âáï ¯®1¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥. ’®£¤ ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨§ 楯®çª¨+∞+∞+∞RRRg(t) dt >g(t)| cos t| dt >g(t) cos2 t dt =­¥à ¢¥­áâ¢1=12+∞R1+∞R1g(t) dt +1|f (t)| dt =á室¨âáï ⇔+∞R1+∞R112+∞R1g(t) cos 2t dt > 0 á«¥¤ã¥â, çâ® ¨­â¥£à «1g(t)| cos t| dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «Ct5−2α+∞Rg(t) dt+∞R1+∞R=1cos tt5−2αt6 sh t12 −1t2dt,t2α+1 sh t12 − äã­ªæ¨ï1t2cos t dt =h(t)== t6 sh t12 − t12 61 6= 0 ¯à¨ t > t0 , â® ¯® á«¥¤á⢨ ¯à¨§­ ª €¡¥«ï4 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­®£®+∞R cos t¨­â¥£à « I˜ =dt, ª®â®àë©, ª ª ¨§¢¥áâ­®, á室¨âáït5−2α1 ¡á®«îâ­®, ¥á«¨ 5 − 2α > 1, á室¨âáï ãá«®¢­®, ¥á«¨ 0 < 5 −− 2α 6 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ 5− 2α 6 0.

‘«¥¤á⢨¥ ¨§ ¯à¨§­ ª €¡¥«ï § ª«îç ¥âáï ¢ á«¥¤ãî饬.1dt á室¨âáï ⇔ 5 − 2α > 1 ⇔ α < 2.‚ ë ¢ ® ¤. ¥§ã«ìâ âë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¯®§¢®«ïîâ ᤥ« âìá«¥¤ãî騩 ¢ë¢®¤: ¤ ­­ë© ¢ ãá«®¢¨¨ § ¤ ç¨ ­¥á®¡á⢥­­ë©¨­â¥£à « á室¨âáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ α < 25 , ¨16‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. DZ®áª®«ìªã I =4DZ à ¨ § ­ ª € ¡ ¥ « ï.®â१ª¥DZãáâì äã­ªæ¨ï[a, ξ].

’®£¤ ¥á«¨ ¨­â¥£à «+∞Rf (x) ¨­â¥£à¨à㥬 ­ «î¡®¬f (x)dx á室¨âáï, äã­ªæ¨ïag(x) ¬®­®â®­­ ¨ ®£à ­¨ç¥­ ­ ¯à®¬¥¦ã⪥ [a, +∞), â® ¨­â¥£à «+∞Rf (x)g(x)dx ⮦¥ á室¨âáï [4].a17’ ¥ ® à ¥ ¬ .DZãáâì ¤«ï ­¥ª®â®à®£® a ∈ R äã­ªæ¨ïf (x) ¨­â¥£à¨à㥬 ­ «î¡®¬ ®â१ª¥ [a, ξ], äã­ªæ¨ï g(x)¬®­®â®­­ ­ ¯à®¬¥¦ã⪥ [a, +∞) ¨ ∃ lim g(x) = k 6= 0.’®£¤ ­¥á®¡á⢥­­ë¥ ¨­â¥£à «ë I ==+∞Rx→+∞+∞Rf (x)g(x)dx ¨ I˜ =af (x)dx á室ïâáï ¨ ¡á®«îâ­® á室ïâáï ®¤­®¢à¥¬¥­­®.a‡ ª«î祭¨¥ â¥®à¥¬ë ®§­ ç ¥â,çâ® ­¥á®¡á⢥­­ë¥¨­â¥£à «ë I ¨ I˜ «¨¡® ®¡ á室ïâáï ¡á®«îâ­®, «¨¡® ®¡ á室ïâáï ãá«®¢­®, «¨¡® ®¡ à á室ïâáï.‡ ª«î祭¨¥ â¥®à¥¬ë ®áâ ñâáï ¢¥à­ë¬, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï g(x)¬®­®â®­­ ­ «ãç¥ [x0 , +∞) ¤«ï ­¥ª®â®à®£® x0 > a, äã­ªæ¨ïf (x)g(x) ¨­â¥£à¨à㥬 ­ ®â१ª¥ [a, x0 ].„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.‘®£« á­® ãá«®¢¨î â¥®à¥¬ë ¨á¢®©á⢠¬ ¨­â¥£à¨à㥬ëå ¯® ¨¬ ­ã ä㭪権, ä㭪樨g(x), f (x)g(x), |f (x)|, |f (x)g(x)| ¨­â¥£à¨àã¥¬ë ­ «î¡®¬®â१ª¥ [a, ξ].DZ®áª®«ìªã k 6= 0, ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠+∞ á¯à ¢¥¤«¨|k|¢ë ­¥à ¢¥­á⢠0 < |k|− |k|2 6 |g(x)| 6 |k|+ 2 , ®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â,çâ® ¬®­®â®­­ ï äã­ªæ¨ï g(x) ¢ ¢ë¡à ­­®© ®ªà¥áâ­®á⨠++∞ á®åà ­ï¥â §­ ª.

’®£¤ ¢ í⮩ ®ªà¥áâ­®á⨠ä㭪樨 g(x),11|g(x)|, g(x), |g(x)|®¯à¥¤¥«¥­ë, ®£à ­¨ç¥­ë ¨ ¬®­®â®­­ë.’ ª ª ª ­¥á®¡á⢥­­ë¥ ¨­â¥£à «ë I ¨ Ie ¨¬¥î⥤¨­á⢥­­ãî ®á®¡¥­­®áâì +∞, â® ¡¥§ ®£à ­¨ç¥­¨ï ®¡é­®áâ¨5¯®« £ ¥¬, çâ® a ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ¢ë¡à ­­®© ®ªà¥áâ­®á⨠+∞.5DZà¨c∈ (a, b) ¨­â¥£à «ëRbf (x)dx ¨aRbf (x)dx á ¥¤¨­á⢥­­®©c®á®¡¥­­®áâìî ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï á室ïâáï ¨ ¡á®«îâ­®á室ïâáï ®¤­®¢à¥¬¥­­® ¨ ¨­â¥£à «ëRbaf (x)dx ¨Rcaf (x)dx á ¥¤¨­á⢥­­®©®á®¡¥­­®áâìî ¢ ­¨¦­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï á室ïâáï ¨ ¡á®«îâ­®á室ïâáï ®¤­®¢à¥¬¥­­®.1‡ ¬¥ç ï, çâ® f (x) = (f (x)g(x)) g(x), ¯® ¯à¨§­ ªã €¡¥«ï [4, 9]¯®«ãç ¥¬ § ª«î祭¨¥ ⥮६ë.+∞R‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨ ¨­â¥£à « Ie =f (x)dx á室¨âáï, â®a¨­â¥£à « I =+∞Rf (x)g(x)dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã €¡¥«ï.a¨­â¥£à « Ie =+∞Rf (x)dx =a¯® ¯à¨§­ ªã €¡¥«ï.â® ¨­â¥£à «+∞Ra+∞Ra|f (x)g(x)|dx =¯à¨§­ ªã €¡¥«ï.f (x)g(x)dx á室¨âáï, â®a(f (x)g(x)) ·+∞R…᫨ ¨­â¥£à «+∞Raa1g(x) dx|f (x)||g(x)|dx á室¨âáï ¯®+∞Raá室¨âáï, â® ¨­â¥£à « Ie =+∞Raá室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã €¡¥«ï.á室¨âáï|f (x)|dx á室¨âáï,Ž¡à â­®, ¥á«¨ ¨­â¥£à «|f (x)|dx =+∞Ra|f (x)g(x)|dx|f (x)g(x)| ·1|g(x)| dx‘«¥¤á⢨¥¬ ¨§ ¯à¨§­ ª €¡¥«ï ¬®¦­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢¯¨á쬥­­®© à ¡®â¥ ¡¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠«¨èì ¢ ⮬ á«ãç ¥,¥á«¨ íâ ⥮६ ¡ë« ¤®ª § ­ ­ «¥ªæ¨ïå.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

…᫨ ¯®¤ §­ ª®¬ sin ¨«¨ cos ¢ ãá«®¢¨¨§ ¤ ç¨ á⮨⠭¥ «¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï, ४®¬¥­¤ã¥âáï ¤¥« âì§ ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­®©. ‡ ¬¥­ïâì ¯®¤ë­â¥£à «ì­ãî äã­ªæ¨î­ íª¢¨¢ «¥­â­ãî ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¥¤¨­á⢥­­®© ®á®¡®© â®çª¨­¥«ì§ï, ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 § ¤ ç¥ 5a, ¯®áª®«ìªã ®­ ­¥ §­ ª®¯®áâ®ï­­ , ¨ ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ â ª ï § ¬¥­ ­¥ ¯à¨¢®¤¨âª íª¢¨¢ «¥­â­®¬ã ¢ á¬ëá«¥ á室¨¬®á⨠­¥á®¡á⢥­­®¬ã+∞R√ sin x dx á室¨âáï¨­â¥£à «ã. ¯à¨¬¥à, ¨­â¥£à «x−cos x1ãá«®¢­®, ¨­â¥£à «+∞R118+∞RŽ¡à â­®, ¥á«¨ ¨­â¥£à « I =√ sin x dxx−sin x19à á室¨âáï.‚ ª ¦¤®¬¨§ íâ¨å á«ãç ¥¢ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ ï äã­ªæ¨ï íª¢¨¢ «¥­â­ +∞R sin x√ x ¯à¨ x → +∞, ¨ ¨­â¥£à «√ dx á室¨âáïä㭪樨 sinxx1ãá«®¢­® (á¬.

[6]). â®â ¯à¨¬¥à â ª¦¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® ®âãá«®¢¨ï ¬®­®â®­­®á⨠¢ ¯à¨§­ ª¥ „¨à¨å«¥ ­¥«ì§ï ®âª § âìáï.ˆ§ áâ६«¥­¨ï ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 ª ­ã«î­¥ á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « , à ¢­®ª ª ¨§ ­¥®£à ­¨ç¥­­®á⨠(¤ ¦¥ ¢áî¤ã ¯®«®¦¨â¥«ì­®©¨ ­¥¯à¥à뢭®©) ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 ­¥ á«¥¤ã¥âà á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « . ˆ§ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨤ ­­®© ä㭪樨 ­¥ª®â®à®© ¬®­®â®­­®© ä㭪樨 ¯à¨ x → a,a ∈ R, ­¥ á«¥¤ã¥â ¬®­®â®­­®áâì ¨á室­®© ä㭪樨 ¢ ­¥ª®â®à®©®ªà¥áâ­®á⨠a.

â «®­ ¬¨ ¬®¦­® áç¨â âì ¨­â¥£à «ë, ª®â®àë¥à áᬠâਢ «¨áì ­ «¥ªæ¨ïå.DZਠω 6= 0 ¨­â¥£à «ëI5 =+∞Zsin(ωx + ϕ)dx, I6 =xα1+∞Zcos(ωx + ϕ)dxxα1á室ïâáï ¡á®«îâ­®, ¥á«¨ α > 1; á室ïâáï ãá«®¢­®, ¥á«¨ 0 << α 6 1, ¨ à á室ïâáï, ¥á«¨ α 6 0.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ‘ç¨â ï ¨­â¥£à «ë I5 , I6 íâ «®­ ¬¨, ¬®¦­®¢ § ¤ ç¥ 5¡ ¨áá«¥¤®¢ âì ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì á«¥¤ãî騬C| cos t|®¡à §®¬: â ª ª ª |f (t)| = g(t)| cos t| ∼ t5−2α ¯à¨ t → +∞,+∞Râ® ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨­â¥£à «|f (t)| dt á室¨âáï ⇔1¨­â¥£à «+∞R1C| cos t|t5−2αdt á室¨âáï ⇔ 5 − 2α > 1 ⇔ α < 2.’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯à¨§­ ª á室¨¬®áâ¨.DZãáâìäã­ªæ¨ï g(x) ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ «ãç¥ [a; +∞)¨ g(x) ↓ 0 ¯à¨ x → +∞. ’®£¤ ∀ k 6= 0, ∀ p ¨­â¥£à «ë+∞+∞RRg(x) sin(kx + p)dx ¨g(x) cos(kx + p)dx á室ïâáï.aa20„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. ”㭪樨 sin(kx + p) ¨ cos(kx ++ p) ¨¬¥îâ ®£à ­¨ç¥­­ë¥ ¯¥à¢®®¡à §­ë¥.Žáâ «®á좮ᯮ«ì§®¢ âìáï ¯à¨§­ ª®¬ „¨à¨å«¥.’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨©¯à¨§­ ª ¡á®«îâ­®©DZãáâì äã­ªæ¨ï g(x) ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ­ «ãç¥ [a; +∞) ¨ g(x) ↓ 0 ¯à¨ x → +∞.

’®£¤ +∞R|g(x) sin(kx + p)|dx á室¨âáï ⇔∀ k 6= 0, ∀ p ¨­â¥£à «á室¨¬®áâ¨.a⇔ ¨­â¥£à «+∞R+∞Ra|g(x) cos(kx + p)|dx á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «g(x)dx á室¨âáï.a„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.ˆ­â¥£à «+∞Rag(x)2cos(2kx + 2p)dxá室¨âáï ¯® âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã ¯à¨§­ ªã á室¨¬®áâ¨.’®£¤ ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨§ 楯®ç¥ª ­¥à ¢¥­áâ¢+∞+∞+∞RRRg(x)dx >|g(x) sin(kx + p)|dx >g(x) sin2 (kx +aa+ p)dx =+∞Ra>++∞Ra+∞Raag(x)2 dx −+∞Rag(x)2|g(x) cos(kx+p)|dx >g(x)2cos(2kx + 2p)dx > 0 ¨+∞R+∞Rg(x) cos2 (kx+p)dx =aag(x)dx >a+∞Rg(x)2 dx+cos(2kx + 2p)dx > 0 á«¥¤ã¥â § ª«î祭¨¥ ⥮६ë.DZãáâìäã­ªæ¨ï g(x) ¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã ­ «î¡®¬ ®â१ª¥ [a, b],b > a, ¯à¨çñ¬ ∃ lim g(x) = C > 0 ¨«¨ ∃ lim g(x) =’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨© ¯à¨§­ ª à á室¨¬®áâ¨.x→+∞x→+∞= +∞.

’®£¤ ∀ k 6= 0, ∀ p ¨­â¥£à «ë+∞Rag(x) cos(kx + p)dx à á室ïâáï.+∞Rg(x) sin(kx + p)dx ¨a„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®. DZãáâì lim g(x) = C. ’ ª ª ª ∃ x0 >x→+∞21C2> 0, â® ∀ k > 0 ∃ x0 > a ∀ δ > x0 ∃ n ∈ N Rξ 00π00 = 2 +2πn−p > δ : g(x) sin(kx + p) dx >>δ,∃ξ∃ ξ 0 = 2πn−pkkξ 0 0000 RξRξC> C2 sin(kx + p) dx > 2k> 0 ¨ g(x) cos(kx + p) dx >ξ 0ξ0> a ∀ x > x0 g(x) >>C200Rξcos(kx + p) dx >ξ0C2k> 0. ˆ§ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ ¤«ï k >> 0 á«¥¤ã¥â § ª«î祭¨¥ ⥮६ë.

…᫨lim g(x) = +∞,x→+∞¯®« £ ¥¬ C = 1.9DZ®«ì§®¢ âìáﯨá쬥­­®©âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬¨à ¡®â¥¡¥§¤®ª § ⥫ìá⢠¯à¨§­ ª ¬¨¬®¦­®â®«ìª®¢¢â®¬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ®­¨ ¡ë«¨ ¤®ª § ­ë ­ «¥ªæ¨ïå.DZ à ¨ ¬ ¥ à £à®¬®§¤ª®©6§ ¤ ç¨ .¨ ãá«®¢­ãî á室¨¬®áâì ¨­â¥£à «¥è¥­¨¥.+∞R3£¤¥ t = x2 , dx =ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî+∞R3cos(2x2 +1)dx(x ln2 x−arctg x)α1 −1/2dt,2t9=12+∞Rg(t) cos(2t + 1)dt,91√√=t1/2 (t1/2 ln2 t−arctg t)αC√ α . ”ã­ªæ¨ï1+αarctg tt 2 (ln t)2α 1− 4√2g(t) =lim h(t)t→+∞=16=6= 0.

DZ® á«¥¤áâ¢¨î ¨§ ¯à¨§­ ª €¡¥«ï § ¤ ç ᢮¤¨âáï’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¯à¨§­ ª¨ ¨ ¯à¨¬¥à £à®¬®§¤ª®© § ¤ ç¨ ¢§ïâë ¨§«¥ªæ¨© ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã ­ «¨§ã €. ž. DZ¥â஢¨ç .7Š®¬¯®§¨æ¨ï ¬®­®â®­­ëå ä㭪権 ¬®­®â®­­ . …᫨, ­ ¯à¨¬¥à,1t1+α2 (ln t)2αdt á室¨âáï ⇔ α > 1 (íâ «®­).Žâ¢¥â: ¡á®«îâ­® á室¨âáï ¯à¨ α > 1, ãá«®¢­® á室¨âáï¯à¨ −1 < α < 1, à á室¨âáï ¯à¨ α 6 −1.t2α−5t→+∞ 6DZ à ¨ ¬ ¥ à. ‚ § ¤ ç¥ 5¡ lim g(t) = limt→+∞dx.(x ln2 x−arctg x)᪮¬¯®§¨æ¨ï ¬®­®â®­­ëå ä㭪権7.6+∞Rcos(2x2 +1)4α√=t1/2 (t1/2 ln2 t−4 arctg t)αt ln t√ arctg√ t¯à¨t→+∞,¯®áª®«ìªã¥ñ ¯à®¨§¢®¤­ ït √√t1√− arctg t < 0 ¯à¨ ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å t.

’®£¤ 2t t 1+t√ −1arctg täã­ªæ¨ï ϕ(t) = 1 − 4√ ¯à¨ t → +∞. ”ã­ªæ¨ï2t ln tαh(t) = (ϕ(t)) ¬®­®â®­­ ¯à¨ «î¡®¬ §­ 祭¨¨ α ª ª=ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì+∞R cos(2t+1)dt. ’ ª ª ª lim 1+α 1 2α =¨­â¥£à « I =1+α2αt→+∞ t 2 (ln t)9 t 2 (ln t) 1+α0= 0 ⇔ α > −1 ¨ ¯à¨ α > −1 ¯à®¨§¢®¤­ ï t 2 (ln t)2α >> 0 ¯à¨ ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å t, â® ¨­â¥£à « Iá室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α > −1 ¨ à á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α 66 −1 ¯® âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à¨§­ ª ¬ á室¨¬®á⨠¨à á室¨¬®áâ¨.

DZ® âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª®¬ã¯à¨§­ ªã ¡á®«îâ­®©+∞R cos(2t+1) 1+αá室¨¬®á⨠¨­â¥£à « t 2 (ln t)2α dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «=0⇔α<< 25 ¨ ¯à¨ α < 52 äã­ªæ¨ï g(t) 0 ­ «ãç¥ [t0 , +∞). DZ®âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à¨§­ ª ¬ á室¨¬®áâ¨, à á室¨¬®á⨠¨ ¡á®«îâ­®© á室¨¬®á⨠­ 室¨¬, çâ® ¨­â¥£à « I á室¨âáï ¯à¨α < 25 , à á室¨âáï ¯à¨ α > 25 ¨ ¡á®«îâ­® á室¨âáï ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ 5 − 2α > 1 ⇔ α < 2.DZ à ¨ ¬ ¥ à.ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãîá室¨¬®áâì ¯à¨ ω 6= 0 ¨­â¥£à «ë+∞+∞ZZcos(ωx + ϕ)sin(ωx + ϕ)dx, I8 =dx.I7 =βαx ln xxα lnβ x22¥è¥­¨¥.(DZãáâì g(x) =1.xα lnβ x’®£¤ lim g(x) = 0 ⇔x→+∞α > 0, ∀ β.

„«ï ª ¦¤®© ¯ àë §­ 祭¨© α ¨ β ¨§α = 0, β > 0¯®«ã祭­ëå ¤«ï α ¨ β §­ 祭¨© ­ ©¤ñâáï â ª®¥ x0 > 2, çâ® ¤«ï⇔f ↑, g ↓ ­ [a, +∞) ¨ h = f ◦ g, â® ¨§ x1 > x2 ⇒ g(x1 ) 6 g(x2 ) ⇒ f (g(x1 )) 66 f (g(x2 )) ⇒ h(x1 ) 6 h(x2 ). ‡­ ç¨â, h ↓ ­ [a, +∞). €­ «®£¨ç­®2223à áᬠâਢ îâáï ¤à㣨¥ á«ãç ¨.¢á¥å x > x0 ¯à®¨§¢®¤­ ï g0 (x) =−1(xα−1 lnβ−1 x)(α ln x +(xα lnβ x)2+ β) < 0. ‡­ ç¨â, äã­ªæ¨ï g(x) ¬®­®â®­­ ­ «ãç¥ [x0 , +∞).DZ®(âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¯à¨§­ ª ¬ ¨­â¥£à «ë( I7 , I8 á室ïâáïα > 0, ∀ βα > 1, ∀ β.⇔¨ ¡á®«îâ­® á室ïâáï ⇔α = 0, β > 0α = 1, β > 1DZ à ¨ ¬ ¥ à.8ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞Rx√dx.á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à « I =sin sin3x¥è¥­¨¥.sin z = z −+∞R =z−1z363z6DZãáâì z = z(x) =+z5120dx +sinx√3x .1’®£¤ + o(z 5 ) ¯à¨ z → 0, I =+∞R 1z5120lim z(x) = 0,x→+∞+∞Rsin zdx =1+ o(z 5 ) dx = I1 + I2 . „®ª ¦¥¬ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ¨­â¥£à « I2 . DZ®áª®«ìªã ¤«ï ¢á¥å¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå z (¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¡®«ìè¨å x)á¯à ¢¥¤«¨¢®, çâ® 55z5 5 1 6 |z|5 = | sin x| 6 1+o(z)+o(1)=|z| 120 120x5/3x5/3+∞R dx¨ ¨­â¥£à «á室¨âáï (íâ «®­), â® ¨­â¥£à «x5/31 z5 120 + o(z 5 ) dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.+∞R 1ˆâ ª,¨­â¥£à « I2 á室¨âáï (¨ ¤ ¦¥ ¡á®«îâ­®).

Характеристики

Список файлов книги