Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Ž¤­ ª® 0 < un (x) ∼ xn1 2 6∞P16 n12 . —¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï. DZ® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá n2Cn2n=1∞Pä㭪樮­ «ì­ë© àï¤n=11xn2á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E, àï¤32á íª¢¨¢ «¥­â­ë¬ ®¡é¨¬ ç«¥­®¬á室¨âáï ­ E ­¥à ¢­®¬¥à­®.‚뢮¤.DZà¨∞Pn=1¨áá«¥¤®¢ ­¨¨un (x), ª ª ¡ë«® ¯®ª § ­®,à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®á⨮¡é¨© ç«¥­ àï¤ , ¤ ¦¥ §­ ª®¯®áâ®ï­­®£®, ­¥«ì§ï ¬¥­ïâì ­ íª¢¨¢ «¥­â­ãî ¢¥«¨ç¨­ã.Žè¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à áá㦤¥­¨¥:∞P¢ ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤n=1sinxnx2 +n221+ln n¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥¯à¨ x ∈ E2 ¢¬¥áâ® x§­ 祭¨© x = xn = n ∈ N ¯®«ãç ¥âáï ç¨á«®¢®© àï¤∞Pn=1sin 21.1+ln2 nDZ®áª®«ìªã 㪠§ ­­ë© ç¨á«®¢®© àï¤ à á室¨âáï, ¤«ï ­¥£®á¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨: ∃ ε0 > n+p P> 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p ∈ N ∃ xn = n ∈ E2 : uk (xn ) >k=n+1> ε0 .  ®á­®¢ ­¨¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ ® à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®áâ¨ä㭪樮­ «ì­ëå à冷¢ § ª«îç ¥¬ ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®©∞Pá室¨¬®á⨠­ E2 ã àï¤ un (x).n=1Š®­âà¯à¨¬¥à:àï¤∞Pn=1un (x) =(un (x) ­ E = [1, +∞), £¤¥1,xn21n,¥á«¨ x 6= n,¥á«¨ x = n.

n+p Pu (x) 6’ ª ª ª ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∈ N ∀ x ∈ E k=n+1 k !n+pP 111116+···+6+n+1n(n+1)(n+p−1)(n+p) + n+1 =k2 k=n+1 111111= n1 − n+1+ n+1+ · · · + n+p−1+ n+1− n+2− n+p= n1 −∞P11un (x)− n+p+ n+1< n2 < ε, â® ¯® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ àï¤n=1á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E = [1, +∞). Ž¤­ ª® un (n) =331n,ç¨á«®¢®© àï¤∞Pn=11nà á室¨âáï. DZ® 㪠§ ­­®¬ã ®è¨¡®ç­®¬ãà áá㦤¥­¨î ¯®«ãç ¥âáï, çâ® ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤∞Pun (x)¯®áª®«ìªã Žè¨¡®ç­ë¬ à áá㦤¥­¨¥: ï¥âáï P P2n2n11 nsinsin2 2> 1, ∀ n > n0 > 1,u (k) = > 1+ln2 2nk=n+1 k k=n+1 1+ln2 k â® ∃ ε0 = 1 > 0 ∀ N ∈ N ∃ n = max{N, n0 } > N ∃ p = n ∃ xn = n+p Pu (x ) > ε0 .  ®á­®¢ ­¨¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨= n ∈ E2 : k=n+1 k n § ª«îç ¥¬ ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠­ E2 ã àï¤ ∞Pun (x).n=1â®â ¦¥, çâ® ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥.‚® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ®è¨¡®ª ¢ à áá㦤¥­¨¨ â®çªãx = xn­ã¦­®¯®¤áâ ¢«ïâì 㦥 ¯®á«¥ ®æ¥­ª¨ á­¨§ã ¬®¤ã«ï ®â१ª àï¤ !” ªâ¨ç¥áª¨ â ª¨¬ à áá㦤¥­¨¥¬ ¯®ª § ­®, çâ® ∃ ε0 >> 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p ∈ N ∃ xn+1 = (n + 1) ∈ n+p Pu (x ) > ε0 , íâ® ­¥∈ E2 , .

. . , ∃ xn+p = (n + p) ∈ E2 : k=n+1 k k ¥áâì ä®à¬ «ì­®¥ ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨, ª ª § ¥­®.Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ª ç¥á⢥ ª®­âà¯à¨¬¥à ¢ í⮬ ¨ ¢∞P¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥ ¬®¦­® ¢§ïâì ¡®«¥¥ ¯à®á⮩ àï¤:un (x)n=134(0, ¥á«¨ x 6= n,un (x) = 1n , ¥á«¨ x = n.n=1á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E.” ªâ¨ç¥áª¨ â ª¨¬ à áá㦤¥­¨¥¬ ¯®ª § ­®, çâ® ∃ ε0 > 0∀ N ∈ N ∃ n > N ∃ p ∈ N ∃ xn+1 = (n + 1) ∈ E2 , . . . , ∃ xn+p = n+pPuk (xk ) > ε0 , íâ® ­¥ ¥áâì ä®à¬ «ì­®¥= (n + p) ∈ E2 : k=n+1®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨, ª ª § ¥­®.Š®­âà¯à¨¬¥à­ E = [1, +∞), £¤¥6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢â®çª¥ D(1, 1) äã­ªæ¨îpz(x, y) = (2x2 − y 2 − 1) x2 + y 2 − xy − x − y + 1.‡ ¤ ç 7. ¯®¬­¨¬, çâ® ç¨á«®¢ ï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëåf (x, y) ­ §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ),¥á«¨ ¥ñ ¯à¨à 饭¨¥ ¢ í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f (∆x, ∆y) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 ,py0 ) = A∆x ++ B∆y + o(ρ) ¯à¨ (∆x, ∆y) → (0, 0), £¤¥ ρ = (∆x)2 + (∆y)2¥áâì äã­ªæ¨ï 2-å ¯¥à¥¬¥­­ëå ∆x ¨ ∆y , ∆x = x − x0 == dx, ∆y = y − y0 = dy .

“ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 A =f (x0 +∆x,y0 )−f (x0 ,y0 )d, B == ∂f∂x (x0 , y0 ) = dx f (x, y0 )|x=x0 = lim∆x∆x→0=∂f∂y (x0 , y0 )=ddy f (x0 , y)|y=y0=lim∆y→0f (x0 ,y0 +∆y)−f (x0 ,y0 ).∆y…᫨ ®¡¥ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ,⮤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâìà ¢­®á¨«ì­ à ¢¥­áâ¢ãf (x0 +∆x,y0 +∆y)−f (x0 ,y0 )−A∆x−B∆y√lim.=022(∆x) +(∆y)(∆x,∆y)→(0,0)ˆ§ â¥®à¥¬ë ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨪®¬¯®§¨æ¨¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 á«¥¤ã¥â, ç⮧ ¬¥­®© u = x − 1, v = y − 1 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨îf (u, v) =­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥ O(0, 0) ä㭪樨√= z(u + 1, v + 1), f (u, v) = (2u2 + 4u − v 2 − 2v) u2 + v 2 − uv.∂fd¥âà㤭®¢¨¤¥âì, çâ® f (0, 0) = 0, 2 ∂u (0, 0) = du f (u, 0)|u=0 =√d(2u2 + 4u) u2 |u=0 = lim (2u +4u)|u|= lim (2u + 4)|u| == duuu→0u→0√ ∂fdd2= 0, ∂v (0, 0) = dv f (0, v)|v=0 = dv (−v − 2v) v 2 |v=0 =¥è¥­¨¥.(−v2 −2v)|v|vv→0= lim= lim (−v − 2)|v|v→0=0, ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬,äã­ªæ¨ï f (u, v) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ √(0, 0) ⮣¤ ¨â®«ìª® ⮣¤ , ª®£¤ ∃2 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)lim35= 0.DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: 2u = ρ2 cos ϕ, ϕ.√ v = ρ sin (2u +4u−v√−2v) u2 +v2 −uv ’®£¤ ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ [0, 2π) =u2 +v2 (2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ)√ρ2 −ρ2 cos ϕ sin ϕ 6=ρ√62ρ(3ρ + 6) → 0, √ ¥á«¨ ρ → +0.

‘«¥¤®¢ ⥫쭮,‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. Œ®¦­® ®¡®©â¨áì ¡¥§ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïà­ë¬ª®®à¤¨­ â ¬[3]. ‡ ¬¥â¨¬,çâ® ¤«ï ¢á¥å x, √y ∈ R |x| 6pp22226 x + y ¨ |y| 6 x + y . DZãáâì 0 < ρ = u2√+ v 2 < 1. 2√22222(2ρ +4ρ+ρ +2ρ) ρ2 +2ρ2 (2u +4u−v√−2v) u +v −uv 6’®£¤ 0 6 622ρu +v√√6 ρ(3ρ + 6) 3 6 18ρ = 18 u2 + v 2 → 0, ¥á«¨(u, v) →√¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).Žâ¢¥â: äã­ªæ¨ï z(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ D(1, 1).= 0, ¨ äã­ªæ¨ï f (u, v) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).∃2 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)lim= 0, ¨ äã­ªæ¨ï f (u, v)‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

DZ®¤ç¥àª­ñ¬,çâ® ®ª®­ç â¥«ì­ ï ®æ¥­ª √ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ¬®¤ã«ï 6 2ρ(3ρ + 6) ­¥ ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âìρϕ, ®­ ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âì ⮫쪮 ρ.Žè¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à áá㦤¥­¨¥:∃=√∀ ϕ ∈ [0, 2π)(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ) ρ2 −ρ2 cos ϕ sin ϕlimρρ→+0√22lim ρ(2ρ cos ϕ+4 cos ϕ−ρ sin ϕ−2 sin ϕ) 1 − cos ϕ sin ϕρ→+0==0(¯à¥¤¥« à ¢¥­ ­ã«î, ­ ¯à¨¬¥à, ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®¬ «®© ρ ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î: √¯®« £ ¥¬ ρ < 1).‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃2 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)lim= 0. â¨¬à áá㦤¥­¨¥¬ (¯®á뫪 ¨¬¯«¨ª 樨) ãáâ ­®¢«¥­® «¨èì, ç⮯।¥« ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ ­ã«î, ®âªã¤ ¥éñ ­¥á«¥¤ã¥â áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« .¥ ।ª® 㪠§ ­­®¥ ®è¨¡®ç­®¥ à áá㦤¥­¨¥√ ®ä®à¬«ï¥âáï(2u2 +4u−v2 −2v) u2 +v2 −uv√¢ ¢¨¤¥ à ¢¥­á⢠=limu2 +v2(u,v)→(0,0)√(2ρ2 cos2 ϕ+4ρ cos ϕ−ρ2 sin2 ϕ−2ρ sin ϕ) ρ2 −ρ2 cos ϕ sin ϕ= 0,=limρρ→+0ª®â®à®¥ ­¥ ¤®ª §ë¢ ¥â âॡ㥬®¥, â ª ª ª ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥√f (u,v) = lim f (ρ cos ϕ,ρ sin ϕ) ­¥ ï¥âáïà ¢¥­á⢮lim22ρ¢¥à­ë¬.1111(u,v)→(0,0)u +vρ→+02 −2v) u2 +v 2 −uv(2u2 +4u−v√u2 +v2(u,v)→(0,0)→ (0, 0).

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃lim=DZ à ¨ ¬ ¥ à. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢ â®çª¥M (0, 0) äã­ªæ¨î 2ysh(3x), x 6= 0,f (x, y) =x y 3 + |y|3/2 , x = 0.(0,0)f (0, 0) = 0. ∂flim f (∆x,0)−f=∂x (0, 0) = ∆x→0∆xd33/2 )0 |= 0. ∂f= lim 0−0y=0 =∂y (0, 0) = dy f (0, y) |y=0 = (y + |y|∆x→0 ∆x√ 3p|∆y||∆y| = 0.= (y 3 )0 |y=0 + lim= lim |∆y|∆y∆y¥è¥­¨¥.∆y→0„®ª ¦¥¬, çâ® ∃∆y→0lim(∆x,∆y)→(0,0)√f (∆x,∆y) = 0.

(∗)22∆x +∆ypDZãáâì ∆x2 + ∆y 2 ∈ (0, ρ0 ), £¤¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ρ0 áâ®«ì¬ «®, çâ® | sh(3∆x)| < 6|∆x|. ’®£¤ ¯à¨ ∆x 6= f (∆x,∆y) ∆y2 sh(3∆x) 22= √ 6 √ 6∆y2√ +∆y ) =6 6(∆x6= 0 √ 2222222∆x +∆y∆x ∆x +∆y∆x +∆y∆x +∆y 2p=∆x2 + ∆y 2 → 0, ¥á«¨ (∆x, ∆y) → (0, 0) ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã®¯à¥¤¥«¥­¨ï (¯à¨ ∆x 6= 0). ∆y3 +|∆y|3/2 f (∆x,∆y) 6√√DZਠ∆x = 0, ∆y 6= 0 = ∆x2 +∆y 2 ∆x2 +∆y 2 √3 √ 3/2∆x2 +∆y 2 +∆x2 +∆y 2|∆y|3 +|∆y|3/2√66 (∆x2 + ∆y 2 ) +6 √I ᯮᮡ.∆x2 +∆y 2∆x2 +∆y 2ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â ª ª ª,„«ï ä㭪樨f (x, y) =x2 yx4 +y 2, x2 + y 2 > 0, ¢ â®çª¥ (0; 0) ¯à¥¤¥« ¯®36­ ¯à¨¬¥à,f (x, x2 ) = 21 . ‘¬. [5].371/2p+∆x2 + ∆y 2→ 0, ¥á«¨ (∆x, ∆y) → (0, 0) ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã®¯à¥¤¥«¥­¨ï (¯à¨ ∆x = 0, ∆y 6= 0).’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå∆x ¨ ∆y , f (∆x,∆y) 6­¥ à ¢­ëå ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ã«î, ¢ë¯®«­¥­® √ 2∆x +∆y 2 pp6∆x2 + ∆y 2 + (∆x2 + ∆y 2 ) + ( ∆x2 + ∆y 2 )1/2 → 0 ¯à¨√f (∆x,∆y) = 0.(∆x, ∆y) → (0, 0).

‡­ ç¨â, ∃lim22(∆x,∆y)→(0,0)II ᯮᮡ.∆x +∆yDZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬:(∆x = ρ cos ϕ,∆y = ρ sin ϕ, ρ > 0, ϕ ∈ [0, 2π).1-© á«ãç ©: ∆x 6= 0. ∃ ρ0 > 0 ∀ ρ ∈ (0, ρ0 ) ∀ ϕ ∈ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) sin2 ϕπ 3π∈ [0, 2π) \ { 2 , 2 } = cos ϕ sh(3ρ cos ϕ) =ρcos ϕ) 2= 6ρ sin2 ϕ · sh(3ρ6ρ cos ϕ 6 |6ρ sin ϕ| 6 6ρ = F1 (ρ), ¯®áª®«ìªãsh α2α< 1 ¤«ï ¢á¥å α : 0 < |α| < α0 . f (ρ cos ϕ,ρ sin ϕ) 2-© á«ãç ©: ∆x = 0. ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ { π2 , 3π=2 } ρ 2 3√√3/22= ρ sin ϕ + ρ| sin ϕ| 6 ρ + ρ = F2 (ρ).∃ ρ0 > 0 ∀ ρ ∈ (0, ρ0 ) ∀ ϕ ∈ [0, 2π) ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,√ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 F1 (ρ)+F2 (ρ) = 6ρ+ρ2 + ρ → 0 ¯à¨ ρ → +0,ρçâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.¤«ï ­¥ª®â®à®£® α0 > 0, 0 <“⢥ত¥­¨¥ (∗) à ¢­®á¨«ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨ä㭪樨 f (x, y) ¢ â®çª¥ M (0, 0).Žâ¢¥â: f (x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).§ 2.‚ ਠ­â Œ”’ˆ-61”®à¬ «ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ⮦¤¥á⢮ z 2 −− 2xy = ln z + y, ­ 室¨¬ 2zdz − 2ydx − 2xdy = dzz + dy (1).DZ®¤áâ ¢«ïï ¢ (1) x = 0, y = 1, z = 1, ­ 室¨¬ dz = 2dx ++ dy (2).”®à¬ «ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï (1) ¨ áç¨â ï dx ¨ dy22¯®áâ®ï­­ë¬¨, ­ 室¨¬ 2dz 2 +2zd2 z −2dxdy −2dxdy = d z·z−dz.z2DZ®¤áâ ¢«ïï x = 0, y = 1, z = 1, ­ 室¨¬ d2 z = 4dxdy − 3dz 2 .DZ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® dz á㬬ã 2dx + dy ¨§ (2), ­ 室¨¬ d2 z = −−12dx2 − 8dxdy − 3dy 2 .2”®à¬ã« ’¥©«®à ¨¬¥¥â ¢¨¤: z − 1 = dz + d2!z + o(ρ2 ).“ç¨âë¢ ï, çâ® dx = (x − 0), dy = (y − 1), ρ2 = x2 + (y − 1)2 ,­ 室¨¬, çâ® z(x, y) = 1 + 2(x − 0) + 1 · (y − 1)+ + 21 (−12(x −− 0)2 − 8(x − 0)(y − 1) − 3(y − 1)2 ) + o(x2 + (y − 1)2 ).¥è¥­¨¥.4  ©â¨ ¤«¨­ã ¤ã£¨ ªà¨¢®© y = ln(1 +0 6 x 6 π2 .π/2R p¥è¥­¨¥.„«¨­ ¤ã£¨ ªà¨¢®© l =1 + y 02 dx =0r2π/2π/4π/4π/2RR dyR d sin yR dx− sin x==1 + 1+cos=2dx=x = 2xcoscos y1−sin2 y‡ ¤ ç 2.+ cos x),0=220√12R0dt1−t2√12=R 011−t+11+t00 √1√ 1+t 2dt = ln 1−t = 2 ln(1 + 2).0‡ ¤ ç 3.4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢â®çª¥ M (0, 0) äã­ªæ¨îr !4 ln 1 + x sin 3 y , x 6= 0,xz(x, y) =0,x = 0.5  ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ¢â®çª¥ (0, 1) ä㭪樨 z = z(x, y), § ¤ ­­®© ­¥ï¢­® ãà ¢­¥­¨¥¬z 2 − 2xy = ln z + y, £¤¥ z(0, 1) = 1.

 §«®¦¨âì äã­ªæ¨î z == z(x, y) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠í⮩ â®çª¨ ¤®o(x2 + (y − 1)2 ).d= dx0 = 0,â® äã­ªæ¨ï=z(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,√z(x,y) = 0.ª®£¤ ∃lim223839‡ ¤ ç 1.¥è¥­¨¥.∂z∂y (0, 0)’ ª ª ªddy z(0, y)|y=0(x,y)→(0,0)d∂z∂x (0, 0) = dx z(x, 0)|x=0d= dy 0 = 0, z(0, 0) = 0,x +yDZ®áª®«ìªã ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëåx ¨ y , z(x,y) ­¥ à ¢­ëå ®¤­®¢à¥¬¥­­® ­ã«î, ¢ë¯®«­¥­® 0 6 √ 2 2 6x +y√ 2 √4√p2x2 +y 2 3x2 +y 2 32 3 x2 y 4√ 2 26 2 x2 + y 2 → 0 ¯à¨6 √ 2 2 6I ᯮᮡ.x +yx +y(x, y) → (0, 0), â® ∃lim(x,y)→(0,0)√z(x,y)x2 +y 2= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).II ᯮᮡ.DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: x == ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.

DZ®áª®«ìªã ¤«ï ¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ì­ë姭 祭¨© ¯¥à¥¬¥­­®© t á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ | sin t| 6 |t|¨ ¤«ï ¢á¥å ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå ¯® ¬®¤ã«î ¤¥©á⢨⥫ì­ë姭 祭¨© ¯¥à¥¬¥­­®© t á¯à ¢¥¤«¨¢® ­¥à ¢¥­á⢮ | ln(1 ++ t)| 6 |2t|, â® ∃ ρ0 > 0 ∀ ρ ∈ (0, ρr0 ) ∀ ϕ! ∈ q ln 1+x sin 3 y4 ln 1+ρ cos ϕ·sin 3 ρ4 sin4 ϕ ρ cos ϕ x=√}∈ [0, 2π) \ { π2 , 3π62ρ 2 +y 2x p6 2ρ 3 cos 2 ϕ sin4 ϕ 6 2ρ.

Характеристики

Список файлов книги