Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 2
Текст из файла (страница 2)
ç¨â, à ¤¨ãáRt 0á室¨¬®á⨠àï¤ ¤«ï z 0 (t) à ¢¥ 1. z(t) = z(0) +z (τ )dτ == arcctg12+∞Pn=0τ =0(−1)n+1 4n+2.2n+1 tDZਠ¯®ç«¥®¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨á⥯¥®£® àï¤ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¥ ¬¥ï¥âáï. DZ®í⮬ã R == 1. DZந§¢¥¤ï ®¡à âãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®©, ¯®«ãç ¥¬ ®â¢¥â:∞P(−1)n+14n+2 , R = 1.y(x) = arcctg 12 +2n+1 (x − 3)n=0 ¬ ¥ ç ¨ ¥. ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¤«ï z 0 (t)p ¬®¦® ©â¨ ¯® ä®à¬ã«¥ ®è¨|¤ ¬ à : R1 = lim |an | =n→∞p= lim 4n+1 |2(−1)n+1 | = 1.
«¥¤®¢ ⥫ì®, R = 1.n→∞訡®çë¬ ï¢«ï¥âáï 宦¤¥¨¥à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨p¤«ï z 0 (t) ¯® ä®à¬ã«¥ R1 = lim n |2(−1)n+1 | = 1 ¨«¨ ¯®n→∞ 2(−1)n+2 ä®à¬ã«¥ R1 = lim 2(−1)n+1 = 1, ¯®áª®«ìªã à §«®¦¥¨¥n→∞¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯® á⥯¥ï¬ t4n+1 , ¥ ¯®á⥯¥ï¬ tn . ¯®¤®¡ë¬ ä®à¬ã« ¬ 㦮 ®â®á¨âìáï á®áâ®à®¦®áâìî, ¢¥¤ì ¢ ¤à㣨å á«ãç ïå, ¤¥©áâ¢ãï â ª, ¬®¦®¯®«ãç¨âì ¥¯à ¢¨«ìë© ®â¢¥â.10ln(1 + 2t2 ) =®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥∞Pn=11R(−1)n+1 2n 2nt .n訡®ç-2n+1 nn = 2 ¯à¨¢®¤¨ân→∞ (n+1)212 .
® ¨§¡¥¦ ¨¥ ®è¨¡®ª= limª ¥¯à ¢¨«ì®¬ã ®â¢¥âã: R =¬®¦® à áá㦤 âì, ¯à¨¬¥à, â ª: ¯® ¯à¨§ ªã « ¬¡¥à n+1 2 t2n+2 n 㪠§ ë© àï¤ ¡á®«îâ® á室¨âáï, ¥á«¨ lim (n+1)2n t2n =n→∞= 2t2 < 1, ¥á«¨ 2t2 > 1, â® ¡á®«î⮩ á室¨¬®á⨠¥â.®£¤ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠室¨âáï ¨§ ãá«®¢¨ï: 2t2 < 1,®âªã¤ |t| < √12 = R. 訡®ç®¥ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯® ä®à¬ã«¥ R1 =qn= lim n 2n = 2 ¯à¨¢®¤¨â ª ¥¯à ¢¨«ì®¬ã ®â¢¥âã R = 12 . DZ®n→∞¯à¨§ ªãà ¤¨ãá á室¨¬®á⨠®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ïr ®è¨n2nlim n 2 nt = 2t2 < 1, ®âªã¤ |t| < √12 = R.
ç¨â, R = √12 .n→∞ ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¬®¦® ©â¨ ¯®r ä®à¬ã«¥ ®è¨|p√n+1 n 2.¤ ¬ à : R1 = lim |an | = lim 2n (−1) n 2 =«¥¤®¢ ⥫ì®, Rn→∞= √12 .n→∞ ¬ ¥ ç ¨ ¥. áᬮâਬ ¤¢ á⥯¥ëå àï¤ A ¨ Bá æ¥âà ¬¨ ¢ ®¤®© â®çª¥ x0 ¨ à ¤¨ãá ¬¨ á室¨¬®á⨠R ¨r ᮮ⢥âá⢥®. ᫨ R 6= r , â® à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¨å«¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 á ®â«¨ç묨 ®â ã«ï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨(®¡®§ 稬 ¥ñ C ), ¢ ç áâ®á⨠¨å áã¬¬ë ¨«¨ à §®áâ¨, ¥áâìmin{R, r}. á ¬®¬ ¤¥«¥, ¥á«¨, ¯à¨¬¥à, r < R, â® àï¤ Cá室¨âáï ¯à¨ |x − x0 | < r ¨ à á室¨âáï ¯à¨ |x − x0 | ∈ (r, R) ⊂ R.ç¨âë¢ ï áâàãªâãàã ¬®¦¥á⢠â®ç¥ª á室¨¬®á⨠á⥯¥®£®àï¤ , ¬ë ¢¨¤¨¬, çâ® à ¤¨ãᮬ á室¨¬®á⨠àï¤ C ¬®¦¥â ¡ëâì⮫쪮 r.
᫨ ®¡ à ¤¨ãá ¡¥áª®¥çë, â®, ®ç¥¢¨¤®, ¨ à ¤¨ãá㪠§ ®© «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 ¡¥áª®¥ç¥. ¥âਢ¨ «ìë©á«ãç ©, ¥á«¨ à ¤¨ãáë ª®¥çë ¨ à ¢ë (R = r ). í⮬á«ãç ¥ ¥á«¨ ®¤¨ ¨§ à冷¢ ¥ á室¨âáï ¢ ¥ª®â®à®© â®çª¥ 3ë¡®à á«®¢ ª®âà¯à¨¬¥à ®¡ãá«®¢«¥ [10].®§ ª®¬¨âìáï á í⮩ ª¨£®©.11¥ª®¬¥¤ã¥¬ ç¨â ⥫î£à ¨æ¥ ªà㣠á室¨¬®áâ¨, ¤à㣮© á室¨âáï, â® ¨å á㬬 ¥ á室¨âáï ¢ í⮩ â®çª¥, ¨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ C ¯®â¥®à¥¬¥ ¡¥«ï ¡ã¤¥â R. ᫨ ¦¥ ®¡ àï¤ ¨¬¥îâ ®¤ã ¨ â㦥 ®¡« áâì á室¨¬®áâ¨, â® à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠àï¤ C ¬®¦¥â®ª § âìáï ¡®«ìè¥, 祬 R, ¨ §¤¥áì âॡã¥âáï ¨áá«¥¤®¢ ¨¥. DZਮä®à¬«¥¨¨ à¥è¥¨ï ¦¥« â¥«ì® ááë« âìáï ¨á¯®«ì§ã¥¬ë¥â¥®à¥¬ë.⬥⨬, ç⮠㬮¦¥¨¥ àï¤ ¥ã«¥¢®©¬®£®ç«¥ ¥ ¬¥ï¥â à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨. ®£®ç«¥, ¤ ¦¥ã«¥¢®© á⥯¥¨, à ᯨá ë© ¯® ¢®§à áâ ¨î á⥯¥¥© (x −− x0 )n , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© á⥯¥®© àï¤ á ¡¥áª®¥çë¬à ¤¨ãᮬ á室¨¬®áâ¨.¥è¥¨¥.q|an | = 3 1 += 1 + 9n1 2 + opn= 1−118n21+o(1)18−n2· n sin n1=−n2111=1−+o222n6n n 2 ln 1− 1 +o 12−n−n18n2n2=e+ o n12=13n21→ e 18 > 1, n → ∞.=eDZ® ¯à¨§ ªã ®è¨ àï¤ à á室¨âáï.訡®çë¬ï¢«ï¥âáﯮ᪮«ìªã−n2· n sin n1∼à áá㦤¥¨¥:qpnàï¤n sin n1 ∼ 1, n → ∞, â®|an | = 3 1 + 3n1 2−n2q−n21131 + 3n2→ e− 9 < 1, n → ∞.∼ 1 + 9n1 2∼DZ® ¯à¨§ ªã ®è¨ àï¤ á室¨âáï.訡ª ¢ ⮬, çâ®< 1, n → ∞.¥«ì§ï ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ § ¬¥ïâì ®á®¢ ¨¥ ¨«¨ ¯®ª § â¥«ì ¬ ¥ ç ¨ ¥.∀ x ∈ R lim 1 +DZà¨=n→∞®ä®à¬«¥¨¨ ¯¨á쬥®© à ¡®âë íâ®â ä ªâ ¬®¦® áç¨â â쨧¢¥áâë¬. ¤ ç 5a.
4 áá«¥¤®¢ âì ¡á®«îâãî ¨ ãá«®¢ãîá室¨¬®áâì ¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à «+∞Zex − esin xdx.(ch2 x − cos2 x)α∞P ¤ ç (2(n−1)n )n2)n(nn=14.2áá«¥¤®¢ âìá室¨¬®áâì1 nn→.pnn|an | = 2(n−1)= 2 1−nnDZ® ¯à¨§ ªã ®è¨ àï¤ á室¨âáï.¥è¥¨¥.DZ à ¨ ¬ ¥ à.áá«¥¤®¢ âìn∞ P11 − ln nsin n.n=1 2e¯à¨ 宦¤¥¨¨ ¯à¥¤¥«®¢ ¯®ª § ⥫ì®-á⥯¥®© äãªæ¨¨x nnex .á室¨¬®áâìàï¤0¥è¥¨¥.¡®«ìè¨å n ®¡é¨© ç«¥ àï¤ DZਠ1 ¤®áâ â®ç®npsin nan = 1 − ln n> 0. ª ª ª lim n |an | = 1 ¨n→∞ an+1 lim an = 1, ¯à¨§ ª¨ ®è¨ ¨ « ¬¡¥à ¥¯à¨¬¥¨¬ë, ®n→∞1nln nln nln n− ln n+o √n) ln n) = en ln 1− n +o n2an = e=e∼ n1¯à¨ n → ∞. ¡é¨© ç«¥ àï¤ íª¢¨¢ «¥â¥ ®¡é¥¬ã ç«¥ã à á室ï饣®áï £ ମ¨ç¥áª®£® àï¤ .
ï¤ à á室¨âáï ¯® ¯à¨§ ªãáà ¢¥¨ï.n ln(1−(sinDZ à ¨ ¬ ¥ à.áá«¥¤®¢ âì∞ p3P−nn13.n3 + 3 sin nn=112á⥯¥¨ íª¢¨¢ «¥âë¥ ¢¥«¨ç¨ë! á室¨¬®áâìàï¤â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥®áâ¨: ¢ ã«¥ ¨ ¢+∞+∞RR1R+ ∞. I =f (x)dx = f (x)dx +f (x)dx = I1 + I2 . ¦¤ë©¥è¥¨¥.001¨§ ¨â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤ã ®á®¡¥®áâì: I1 { ¢¨¦¥¬ ¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï.x −esin xxDZਠx > 0 f (x) = (ch2e x−cos2 x)α > 0. DZਠx → 0 ¨¬¥¥¬: e −33− esin x = x6 + o(x3 ) ∼ x6 , ch2 x − cos2 x = 2x2 + o(x2 ) ∼ 2x2 ,Cf (x) ∼ x2α−3. DZ® ¯à¨§ ªã áà ¢¥¨ï ¨â¥£à « I1 á室¨âáï ⇔C¯à¨ x → +∞, â®⇔ 2α − 3 < 1 ⇔ α < 2. ª ª ª f (x) ∼ e(2α−1)x¯® ¯à¨§ ªã áà ¢¥¨ï ¨â¥£à « I2 á室¨âáï ⇔ 2α − 1 > 0 ⇔⇔ α > 21 . â¥£à « I á室¨âáï ⇔ ¨â¥£à « I1 á室¨âáï ¨¨â¥£à « I2 á室¨âáï ⇔ 21 < α < 2.
室¨¬®áâì ¡á®«îâ ï.13 ¬ ¥ ç ¨ ¥.¨â¥£à «®¢ I =RbaDZਧ ª áà ¢¥¨ï ¤«ï ¥á®¡á⢥ëåRbg(x)dx á ¥¤¨á⢥®©f (x)dx ¨ I˜ =a®á®¡¥®áâìî, ¯à¨¬¥à ¢ ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï,¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¥á«¨ ∀ b0 ∈∈ (a, b) f, g ∈ R[a, b0 ] ¨ ∃ a0 > a ∀ x ∈ [a0 , b) 0 6 f (x) 66 g(x), â® ¨§ á室¨¬®á⨠¨â¥£à « I˜ á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì˜ ¨â¥£à « I, ¨§ à á室¨¬®á⨠I á«¥¤ã¥â à á室¨¬®áâì I.f (x)ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ f (x) ∼ g(x) ¯à¨ x → b − 0 ¨«¨ ∃ lim g(x) =x→b−0= k > 0, â® ¨â¥£à «ë I ¨ I˜ á室ïâáï ¨«¨ à á室ïâáﮤ®¢à¥¬¥®. ¤¥áì a ∈ R, b ∈ R ∪ {+∞}; § ¯¨áì x →→ b − 0 ¯à¨ b = +∞ 㦮 ¯®¨¬ âì ª ª x → +∞.¥â®¤ ¨áá«¥¤®¢ ¨ï á室¨¬®áâì ¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « ®â § ª®¯®áâ®ï®© äãªæ¨¨ á ¥¤¨á⢥®© ®á®¡¥®áâìî¢ ª ª®¬-«¨¡® ¨§ ¯à¥¤¥«®¢ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï á®á⮨⠢ ⮬,çâ®¡ë § ¬¥¨âì ¯®¤ëâ¥£à «ìãî äãªæ¨î íª¢¨¢ «¥âãî ¢ ®ªà¥áâ®á⨠®á®¡®© â®çª¨ ¡®«¥¥ ¯à®áâãî, ¥éñ «ãçè¥,ýíâ «®ãîþ äãªæ¨î.â «® ¬¨ ïîâáï á«¥¤ãî騥¨â¥£à «ë (C 6= 0):I1 =α 6 1,I2 =α > 1,I3 =+∞R1R10Cxα2dx { á室¨âáï, ¥á«¨ α < 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨Cxα lnβ xdx { á室¨âáï, ¥á«¨ α > 1 ¯à¨ «î¡®¬ β;¥á«¨ α = 1, á室¨âáï ¯à¨ β > 1; ¢® ¢á¥å ®áâ «ìëå á«ãç ïå {à á室¨âáï,1I4 =R20Cxα | ln x|βdx { á室¨âáï, ¥á«¨ α < 1 ¯à¨ «î¡®¬ β;¥á«¨ α = 1, á室¨âáï ¯à¨ β > 1; ¢® ¢á¥å ®áâ «ìëå á«ãç ïå {à á室¨âáï.14Rbf (x)dx ¨aRbf (x)dx ác¥¤¨á⢥®© ®á®¡¥®áâìî ¢ ¢¥à奬 ¯à¥¤¥«¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨ïRbá室ïâáï ¨«¨ à á室ïâáï ®¤®¢à¥¬¥®, ¨ ¨â¥£à «ë f (x)dx¨Rcaf (x)dx á ¥¤¨á⢥®© ®á®¡¥®áâìî ¢ ¨¦¥¬ ¯à¥¤¥«¥a¨â¥£à¨à®¢ ¨ï á室ïâáï ¨«¨ à á室ïâáï ®¤®¢à¥¬¥®.6 áá«¥¤®¢ âì ¡á®«îâãî ¨ ãá«®¢ãîá室¨¬®áâì ¥á®¡áâ¢¥ë© ¨â¥£à « ¤ ç 5¡.+∞Z√11αx sh −cos x dx.x x1√ ¬¥®© t =x § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ¨î á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâãî á室¨¬®áâì¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « :¥è¥¨¥.+∞+∞+∞ZZZ112α+1g(t) cos tdt,I=f (t)dt =tsh 2 − 2 cos t dt =tt11£¤¥ g(t)Cxα+∞Rdx { á室¨âáï, ¥á«¨ α > 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨â¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ c ∈ (a, b) ¨â¥£à «ë= lim=t2α−5=t→+∞ 6< 52 ¨â¥£à «t2α+1 sh t12 −1t21.
á®,çâ®lim g(t)t→+∞=0 ⇔ 2α − 5 < 0 ⇔ α < 52 . DZ®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨αI á室¨âáï ¯® ¯à¨§ ªã ¨à¨å«¥, ¯à¨ α > 52à á室¨âáï ¯® ªà¨â¥à¨î ®è¨.I) å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. g(t) = t2α−5 t6 sh t12 − t12 . DZਠα < 25äãªæ¨ï ϕ(t) = t2α−5 «ãç¥ [1; +∞). ãªæ¨ï h(t) == t6 sh t12 − t12 «ãç¥ [t0, +∞) ¤«ï ¥ª®â®à®£®t0 > 1,0 (t) = 2t3 3t2 sh 1 − 1 − ch 1 − 1=â ª ª ª ¯à®¨§¢®¤ ïht2t2t222= − t5 120 + o(1) < 0 ¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å t, ¯®áª®«ìªã1|o(1)| < 120¯à¨ ¤®áâ â®ç® ¡®«ìè¨å t.
ª¨¬®¡à §®¬,Rξ1) g(t) 0 «ãç¥ [t0 , +∞), 2) ∀ ξ ∈ [1; +∞) cos t dt =115= | sin ξ − sin 1| 6 2. DZ® ¯à¨§ ªã ¨à¨å«¥ ¨â¥£à « I á室¨âáï¯à¨ ¢á¥å α < 52 .II) á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ∀ α >5lim g(t)2 t→+∞= +∞, ¯à¨ α =52521∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 12.δδ0 ç¨â, ∀ α > 25 ∃ t0 > 1 ∀ δ > t0 ∃ n = 2π +001 > 2π ∃ ξ = Rξ 00Rξ= 2πn > δ, ∃ ξ 00 = π2 + 2πn > δ : f (t) dt = g(t) cos t dt >ξ 0 ξ0lim g(t) =t→+∞16.®£¤ ¯à¨ α >00Rξ11cos t dt = 12.
â ª, ∀ α > 25 ∃ ε0 = 12> 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ0 > 00 Rξ00> δ ∃ ξ > δ : f (t) dt > ε0 . ¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ¨¥ ãá«®¢¨ïξ 0®è¨ ªà¨â¥à¨ï ®è¨ á室¨¬®á⨠¥á®¡á⢥®£® ¨â¥£à « +∞RI=f (t) dt. DZ® ªà¨â¥à¨î ®è¨ ¨â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨>112ξ0 ¡á®«îâ® á室¨âáï ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ α < 2.â®â १ã«ìâ â ¬®¦® áä®à¬ã«¨à®¢ âì ¯®-¤à㣮¬ã: ¨â¥£à «á室¨âáï ¡á®«îâ®, ¥á«¨ α < 2; á室¨âáï ãá«®¢®, ¥á«¨ 2 66 α < 25 , ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ α > 25 . ¬ ¥ ç ¨ ¥. ᫨ h0 (x) ∼ ϕ0 (x) < 0 ¯à¨ x → +∞, â® ¢¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠+∞ h0 (x) < 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
