Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

„®ª ¦¥¬ á室¨+∞+∞+∞R R 3R3¬®áâì ¨­â¥£à « I1 =z − z6 dx =z dx.zdx − 611ˆ­â¥£à «+∞R+∞R11sin xx dxzdx =á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥:1Rξ11) ∀ ξ ∈ [1; +∞) sin xdx = | cos 1−cos ξ| 6 2; 2) lim √= 0;3x→+∞ x118â® ¢ ¦­ë© ¯à¨¬¥à ¤à㣮£® ª« áá íª§ ¬¥­ 樮­­ëå § ¤ ç ­ íâã⥬ã.2413) äã­ªæ¨ï ψ(x) = √3 x ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ x > 1. ˆ­â¥£à «+∞+∞R 3R sin3 xz dx =x dx á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥: 1) ∀ ξ ∈11Rξ 3 3∈ [1; +∞) sin3 xdx = cos3 ξ − cos ξ − cos3 1 − cos 1 6 4;12)lim 1x→+∞ x= 0; 3) äã­ªæ¨ï ψ(x) =1x¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¯à¨x > 1. ‘室¨¬®áâì I1 ¤®ª § ­ .

ˆ§ á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1¨ I2 á«¥¤ã¥â á室¨¬®áâì ¨­â¥£à « I = I1 + I2 . €¡á®«îâ­®©á室¨¬®á⨠­¥â. „¥©á⢨⥫쭮, | sin z(x)| ∼ |z(x)| ¯à¨ x →+∞+∞RR→ +∞, ¯®í⮬㠨­â¥£à «| sin z(x)|dx á室¨âáï ⇔|z|dxá室¨âáï. ®−12+∞R1+∞R1cos2x√3 x dx+∞R|z|dx =1+∞R1| sin x|√3 x dx> 0, ¨­â¥£à «+∞R1>dx√3x+∞R1sin2x√3 x dx=121+∞R1dx√3x−à á室¨âáï (íâ «®­), á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥: 1) ∀ ξ ∈Rξ1= 0; 3) äã­ªæ¨ï∈ [1; +∞) cos 2xdx 6 2; 2) lim √3x→+∞ x1¨­â¥£à «1cos2x√3 x dx1ϕ(x) = √3 x ¬®­®â®­­® ã¡ë¢ ¥â ¯à¨ x > 1. ‡­ ç¨â, ¨­â¥£à «+∞R|z| dx ®æ¥­¨¢ ¥âáï á­¨§ã à á室ï騬áï ª +∞ ¨­â¥£à «®¬1¨ à á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.Žâ¢¥â: ¨­â¥£à « I á室¨âáï ãá«®¢­®.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.DZ®à冷ª ¬ «®á⨠¢ à §«®¦¥­¨¨ sin z¢ë¡¨à «áï â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¨­â¥£à « I2 á室¨«áï ¡á®«îâ­®.

„®áâ â®ç­® ¢ë¡à âì ­ ¨¬¥­ì訩 â ª®© ¯®à冷ª.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.’ ª ª ª I = I1 + I2 ¨ ¨­â¥£à « I2á室¨âáï ¡á®«îâ­®, â® ¨­â¥£à «ë I ¨ I1 á室ïâáï ¨ ¡á®«îâ­®á室ïâáï ®¤­®¢à¥¬¥­­®. â® ã⢥ত¥­¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ¯à¨§­ ª áà ¢­¥­¨ï ¨ ®§­ ç ¥â, çâ® ¨â¥£à «ë I ¨ I1 íª¢¨¢ «¥­â­ë ¢25á¬ëá«¥ á室¨¬®áâ¨: ®­¨ «¨¡® ®¡ á室ïâáï ¡á®«îâ­®, «¨¡®®¡ á室ïâáï ãá«®¢­®, «¨¡® ®¡ à á室ïâáï.DZ à ¥ ¤ « ® ¦ ¥ ­ ¨ ¥.9 ¥¯à¥à뢭 ï ­¥çñâ­ ï ¯¥à¨®¤¨ç¥áª ïäã­ªæ¨ï f : R → R ­ «î¡®¬ «ãç¥ [a, +∞) ¨¬¥¥â®£à ­¨ç¥­­ãî ¯¥à¢®®¡à §­ãî.„ ® ª § â ¥ « ì á â ¢ ®.

‚ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠äã­ªæ¨ï f¨­â¥£à¨à㥬 ¯® ¨¬ ­ã ­ «î¡®¬ ®â१ª¥. DZãáâì T > 0a+TRaRf (x)dx = f (t + T )dt ={ ¯¥à¨®¤ ä㭪樨 f. ∀ a ∈ R0T=+Raf (t)dt. ’®£¤ ∀ a ∈ R0a+TRf (x)dx =RT¨¬¥¥¬:aRTTf (x)dx =Tf (t)dt +0− T2TR20R2R0f (x)dx +af (x)dx. DZ®« £ ï a =0=−f (x)dx =0TR2a+TRf (x)dx = −− T2R− T2 ,RTf (x)dx +0Tf (−x)d(−x) +0f (x)dx =0f (x)dx = 0. ‡­ ç¨â, ∀ a ∈ Ra+TR5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì1nxfn (x) = √.cos1 + enxx+2¥è¥­¨¥a1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) =n→∞ã¯à ¦­¥­¨¥í⮯।«®¦¥­¨¥¨­®£¤ ®¡®á­®¢ë¢ ¥âáï­ á¥¬¨­ àáª¨å § ­ïâ¨ïå, ­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¨¬ ¢ ¯¨á쬥­­®© à ¡®â¥ ¡¥§¤®ª § ⥫ìá⢠¬®¦­® ⮫쪮 ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ®­® ¡ë«® ¤®ª § ­® ­ «¥ªæ¨ïå.26√1x+22)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| =21nx√= √x+2sin2= x+2 1 − cos 1+enx= f (x).nx2(1+enx ) ;xn = n1 ∈ E1 ¯à¨ n > 2;1|Rn (xn )| = q 12 sin2 2(1+e)⇒n=+2⇒ ∀ n > 2 sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } > |Rn (xn )| =1.sin2 2(1+e)1q2n+2…᫨ ¯à¥¤¥«lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } áãé¥áâ¢ã¥â, â®n→∞1lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } > lim q 12 sin2 2(1+e)=n→∞+2n√1= 2 sin2 2(1+e)> 0.’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨¡® ¯à¥¤¥« lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 }n→∞­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, «¨¡® ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ®â«¨ç¥­ ®â ­ã«ï.n→∞Š ªx6Ž â ¢ ¥ â: á室¨âáï ãá«®¢­®.f (x)dx = 0.a+nTRDZ® ¨­¤ãªæ¨¨ ∀ a ∈ R ∀ n ∈ Nf (x)dx = 0.

„ «¥¥, ∀ b > aa b−a : n 6 b−a∃ n = TT < n + 1. ’®£¤ 0 6 b − a − T n < Tba+nTRRbRRb¨ f (x)dx =f (x)dx = f (x)dx, £¤¥ β =f (x)dx+aaa+nTβ = a + nT, 0 6 b − β < T. ’ ª ª ª ∀ x0 ∃ n = xT0 ∈ Z :n 6 xT0 < n + 1, 0 6 x0 − nT < T, â® f (x0 ) = f (x0 − nT ) 66 M = sup{f (x) : x ∈ [0; T ]} ¨ f (x0 ) = f (x0 − nT ) > µ == inf{f (x) : x ∈ [0; T ]}. —¨á« M ¨ µ áãé¥áâ¢ãîâ ¯® ⥮६¥‚¥©¥àèâà áá ® ­¥¯à¥à뢭ëå ­ ®â१ª¥ äã­ªæ¨ïå. ‡­ ç¨â,9“ ¯ à ¦ ­ ¥ ­ ¨ ¥. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞R2)√dx.arctg cos x·ln(x+xá室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «9 4‡ ¤ ç 6 .¢ ᨫ㠭¥çñâ­®á⨠fR2∃ C = |M | + |µ| + 1 > 0 ∀ x ∈ R |f (x)| < C. ’®£¤ ∀ a ∈ R RbRb Rb ∀ b > a ¢¥à­®, çâ® f (x)dx = f (x)dx 6 |f (x)|dx 6 CT.

βa βDZ।«®¦¥­¨¥ ¤®ª § ­®. Ž¯¨à ïáì ­ íâ® ¯à¥¤«®¦¥­¨¥, ¬®¦­®¬£­®¢¥­­® § ª«îç¨âì, çâ® ¯¥à¢®®¡à §­ë¥ ä㭪権 sin x ¨sin3 x ¨§ ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à ®£à ­¨ç¥­ë.27‚ «î¡®¬ á«ãç ¥ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x)­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) ­ E1 .fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. DZਢ¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ ¬®¦­® ®ä®à¬¨â쭥᪮«ìª® ¨­ ç¥, § ¬¥â¨¢, çâ®∃ n0 > 2 ∀ n > n0 sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } √> |Rn (xn )| =111= q 12 sin2 2(1+e)> 12 · lim q 12 sin2 2(1+e)= 22 sin2 2(1+e)>n+2n→∞n+2> 0.

’®£¤ ­¥¢¥à­®, çâ® lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } = 0. ‡­ ç¨â,n→∞ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) ­ E1 .fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.DZਢ¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ ®á­®¢ ­® ­ á«¥¤ãî饬 ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ (á¬. [1]): fn (x) ⇒ f (x) ­ E ⊂ Rn ⇔⇔ lim sup{|f (x) − fn (x)| : x ∈ E} = 0.  ¢­®á¨«ì­®¥n→∞®¯à¥¤¥«¥­¨¥ (2) á®á⮨⠢ ⮬, çâ® fn (x) ⇒ f (x) ­ E ⊂ Rn ⇔⇔ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ x ∈ E |f (x) − fn (x)| <1=< ε. ‚ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥ lim |Rn n1 | = lim q 12 sin2 2(1+e)n→∞n→∞+2n√1= 2 sin2 2(1+e)= 2ε0 > 0. ‡­ ç¨â, ∃ ε0 > 0 ∀ N ∈ N ∃ n > N∃ xn = n1 ∈ E1 : |Rn (xn )| > ε0 .

‘®£« á­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î (2),á室¨¬®áâì ­ E1 ­¥à ¢­®¬¥à­ ï.3)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞).2nx∀ n ∈ N ∀ x ∈ E2 |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = √x+2sin2 2(1+enx ) 6226 enx6 enn , ¯®áª®«ìªã ¯à¨ «î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ n ∈nx0∈ N ¯à¨ x ∈ E2 ¯à®¨§¢®¤­ ï enx= n(1−nx)< 0 ¨nx xenxnx 2 0, â ª çâ® ∀ n ∈ N ∀ x ∈äã­ªæ¨ï ϕn (x) = enx∈ E2 |ϕn (x)| 6 lim ϕn (x) = sup{ϕn (x) : x ∈ E2 } = x→1+0n 2= ϕn (1) = en ¯® ⥮६¥ ® ¯à¥¤¥«¥ ¬®­®â®­­®© ä㭪樨¨ ¢ ᨫ㠭¥¯à¥à뢭®á⨠ϕn (x). ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ n ∈ N 0 626 sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } 6 enn . ’®£¤ ¯® ⥮६¥ ®§ ¦ ⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠∃ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } = 0,n→∞28¨ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­®á室¨âáï ª f (x) ­ E2 .„ à ã £ ® © á ¯ ® á ® ¡. ’ ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E2 |Rn (x)| =2nx2nx 2= |f (x) − fn (x)| = √x+2sin2 2(1+e6 enn < ε ¤«ïnx ) 6enx¢á¥å n > n0 (ε), £¤¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ε ¯à®¨§¢®«ì­®, â®, ᮣ« á­®®¯à¥¤¥«¥­¨î (2), á室¨¬®áâì ­ E2 à ¢­®¬¥à­ ï.6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞) àï¤∞ sin xnPx2 +n2.1+ln2 n‡ ¤ ç 6¡.n=11) ‘室¨¬®áâì.

DZ®áª®«ìªã ∀ x ∈ E1 ∪E2 ∀ n ∈ Nxn∞Px2 +n2CC0 < un (x) = 1+ln∼22 , n → ∞ ¨ ç¨á«®¢®© àï¤nn ln nn ln2 n¥è¥­¨¥.siná室¨âáï (íâ «®­), â® ∀ x ∈ E1 ∪ E2 à勞ਧ­ ªã áà ¢­¥­¨ï.∞Pn=1n=2un (x) á室¨âáï ¯®‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. â «®­ ¬¨ ïîâáï á«¥¤ãî騥 ç¨á«®¢ë¥àï¤ë (C 6= 0):∞PCnα { á室¨âáï, ¥á«¨ α > 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 1;n=1∞Pn=2Cnα lnβ n{ á室¨âáï, ¥á«¨ α > 1 ¯à¨ «î¡®¬ β ; ¥á«¨ α = 1,â® á室¨âáï ¯à¨ β > 1; ¢® ¢á¥å ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå { à á室¨âáï.‘室¨¬®áâì ¨«¨ à á室¨¬®áâì íâ¨å à冷¢ ¯à¨ α > 0, ∀ β ¨¯à¨ α = 0, β > 0 ãáâ ­ ¢«¨¢ ¥âáï ¯® ¨­â¥£à «ì­®¬ã ¯à¨§­ ªã(á«¥¤ã¥â ¨§ á室¨¬®á⨠¨«¨ à á室¨¬®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢); ¢® ¢á¥å ®áâ «ì­ëå á«ãç ïå㪠§ ­­ë¥ ç¨á«®¢ë¥ àï¤ë à á室ïâáï, ¯®áª®«ìªã ®¡é¨© ç«¥­ª ¦¤®£® ¨§ ­¨å ­¥ áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨ n → ∞.xn62) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∀ n > 1 |un (x)| 6 (x2 +n2 )(1+ln2n)∞P 16 n ln12 n ¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï, â® ¯® ¯à¨§­ ªãn ln2 nn=229‚¥©¥àèâà áá ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤∞Pn=1un (x) á室¨âáï à ¢­®-¬¥à­® ­ E1 .3) Ž¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) ⇒ 0 ­ E1 ∪ E2 .

‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, sin x2xn+n2 ∀ ε > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 ∀ x ∈ E1 ∪ E2 1+ln2 n 61ln2 n< ε. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®©∞Pun (x) ¢ë¯®«­¥­®,á室¨¬®á⨠­ E2 ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ 6n=1¨ àï¤ ¬®¦¥â á室¨âìáï ª ª à ¢­®¬¥à­®, â ª ¨ ­¥ à ¢­®¬¥à­® (á室¨¬®áâì àï¤ ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ¯ã­ªâ¥ 1). „®ª ¦¥¬ ¯à¨¯®¬®é¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ ®âáãâá⢨¥ à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®áâ¨2n∞P Puk (x) =­ E2 ã àï¤ un (x). ’ ª ª ª ∀ x ∈ E2 k=n+1n=1sinx(n+1)x2 +(n+1)22sinx2nx2 +(2n)22n sinnxx2 +4n22, â® ¯à¨ x = xn =1+ln1+ln 2n (2n) Pn sin 2 nx 2n sin 15 2n|=> 1, ∀ n >uk (xn ) > 1+lnx 2+4n= n ∈ E2 x=n2n1+ln2 2nk=n+1> n0 > 1, ¨, â ª¨¬ ®¡à §®¬, ∃ ε0 = 1 > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ N ∈ N n+p Pu (x ) >∃ n = max{N, n0 } > N ∃ p = n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1 k n > ε0 , ª ª ¨ âॡ®¢ «®áì.

ï¤ á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 .=1+ln (n+1)+ ··· +>‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ∀ x ∈ E2 ∀ n ∈ N ∀ k ∈ N → 0 <x(n+k)x2 +(n+k)2== x +1 n+k 6 12 , ®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â ¨á¯®«ì§®¢ ­­ ï ¢ à¥è¥­¨¨n+kx¬®­®â®­­®áâì ᨭãá .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. DZਠ®ä®à¬«¥­¨¨ à¥è¥­¨ï ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥­¥ ­ã¦­® ¤®ª §ë¢ âì, çâ® un (x) ⇒ 0 ­ E1 ∪ E2 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.”®à¬ «ì­®¥ ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ï Š®è¨¢ë⥪ ¥â ¨§ ãá«®¢¨ï ∃ ε0 = 1 > 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 ∃ p = n+p Puk (xn ) > ε0 , çâ® ¯®§¢®«ï¥â= n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1§ ¯¨á âì à¥è¥­¨¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: â ª ª ª ∃ ε0 = 1 >30 n+p Puk (xn ) => 0 ∃ n0 ∈ N ∀ n > n0 ∃ p = n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1=sinx(n+1)x2 +(n+1)22+· · ·+sinx2nx2 +(2n)22|x=n >n sinnxx2 +4n22n sin15|= 1+ln2 2n>1+ln (n+1)1+ln (2n)1+ln 2n x=n∞Pun (x) ­¥> 1, â® ãá«®¢¨¥ Š®è¨ ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ¨ àï¤ï¢«ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï騬áï ­ E2 .n=1‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

„®¯ãá⨬,㤠«®áì ­ ©â¨ â ªãî 䪭ªæ¨î P2ng(n), çâ® uk (xn ) > |g(n)| → C > 0, n → ∞. ’®£¤ ¢k=n+1à áá㦤¥­¨¨ ¤®áâ â®ç­® ¢§ïâì ε0 = C2 . ‚ á«ãç ¥ lim |g(n)| =n→∞= +∞, ª ª, ­ ¯à¨¬¥à, ¢ 㪠§ ­­®¬ à¥è¥­¨¨, ¯®¤®©¤ñâ «î¡®¥ε0 > 0, ­ ¯à¨¬¥à, ε0 = 1.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.…᫨ ªà¨â¥à¨© Š®è¨ à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®á⨠­ ¬­®¦¥á⢥ E ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ­¥¢ë¯®«­ï¥âáï,10 â® àï¤ «¨¡® á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ ¬­®¦¥á⢥ E, «¨¡® à á室¨âáï å®âï ¡ë ¢ ®¤­®© â®çª¥¬­®¦¥á⢠E. DZ®â®ç¥ç­ ï á室¨¬®áâì ¨áá«¥¤ã¥âáï ®â¤¥«ì­®¢ ¯ã­ªâ¥ 1. DZਠà¥è¥­¨¨ â ª¨å § ¤ ç (¨ááá«¥¤®¢ âì ­ ¯®â®ç¥ç­ãî ¨ à ¢­®¬¥à­ãî á室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢥ Eä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ¨«¨ ä㭪樮­ «ì­ë©àï¤) ¢® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ®è¨¡®ª ¢á¥£¤ ­ ¤® ¢ ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì¯à®¢¥á⨠¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¯®â®ç¥ç­®© á室¨¬®áâ¨.DZ à ¨ ¬ ¥ à.ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãî∞P1á室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢥ E = (1; +∞) àï¤ ζ(x) =nx .n=1 ¬­®¦¥á⢥ E àï¤ á室¨âáï ¯® ¨­â¥£à «ì­®¬ã¯à¨§­ ªã, ­®, ¯® ªà¨â¥à¨î Š®è¨, ­¥à ¢­®¬¥à­®.

‚ á ¬®¬¥è¥­¨¥.10‘âண® £®¢®àï §¤¥áì ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® ­¥ ¢ë¯®«­ï¥âáï ãá«®¢¨¥Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨. Šà¨â¥à¨© Š®è¨ ¢á¥£¤ ¢ë¯®­ï¥âáï, ¡ã¤ãç¨ ¢¥à­®©â¥®à¥¬®©. DZ®¬­ï ®¡ í⮬, ¬ë ¤®¯ã᪠¥¬ ¢®«ì­®áâì à¥ç¨.31 P 2nuk (x) =¤¥«¥, â ª ª ª k=n+1â® ¯à¨ x = xn = 1 +1(n+1)x1+ (n+2)x1+ · · ·+ (2n)x P2nuk (xn ) >∈ E2 k=n+11n>n(2n)x ,n1(2n)x |x=1+ n=¯à¨ n → ∞. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∃ ε0 = 14 > 0 ∃ n0 ∈ n+p Pu (x ) >∈ N ∀ n > n0 ∃ p = n ∃ xn = n ∈ E2 : k=n+1 k n > ε0 , ®âªã¤ ¢ë⥪ ¥â á¯à ¢¥¤«¨¢®áâì ä®à¬ «ì­®£® ®âà¨æ ­¨ïªà¨â¥à¨ï Š®è¨ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­®£®àï¤ .=n1(2n)1+ n→12(¯à¨ à¥è¥­¨¨§ ¤ ç¨ 6¡): ¯®áª®«ìªã ∀ x ∈ E1 ∀ n > 1 0 < un (x) ∼ n lnx2 n∞P1¯à¨ n → ∞, n lnx2 n 6 n ln12 n ¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï,n ln2 nŽè¨¡®ç­ë¬ï¢«ï¥âáïà áá㦤¥­¨¥n=2â® ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .Š®­âà¯à¨¬¥à:àï¤un (x) =∞Pn=1(∞Pn=1un (x)un (x) ­ E = [1, +∞), £¤¥1,xn21+1,n2¥á«¨ x 6= n,¥á«¨ x = n.’ ª ª ª ∀ x ∈ E un (x) ∼¯à¨ n → ∞, â® àï¤ á室¨âáï ­ E.’ ª ª ª ∀ n ∈ N sup{|un (x)| : x ∈ E} > |un (n)| = 1 + n12 > 1, â®®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) 6⇒ 0 ­ E ¨ àï¤ á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­®­ E, â ª ª ª ­¥ ¢ë¯®«­¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®©á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ .

Характеристики

Список файлов книги