Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

DZਠ¯®ç«¥­­®¬ ¨­-=n=00n=0⥣à¨à®¢ ­¨¨ √á⥯¥­­®£® àï¤ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠­¥ ¬¥­ï¥âáï.DZ®í⮬ã R = 2.4 Ÿ¢«ï¥âáï «¨ äã­ªæ¨ï z(x, y) = sin x2 +y12 +2yà ¢­®¬¥à­®-­¥¯à¥à뢭®© ¢ ®¡« á⨠G = {x2 + y 2 + y < 0}?¥è¥­¨¥.‡ ¬¥­®© ¯¥à¥¬¥­­ëå: u = x, v = y + 1§ ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¢®¯à®áã: ï¥âáï «¨ äã­ªæ¨ï f (u, v) == − sin 1−u12 −v2 à ¢­®¬¥à­®-­¥¯à¥à뢭®© ¢ ®¡« á⨠H =on2=u2 + v − 12 < 41 ? ‚ í⮩ ®¡« á⨠äã­ªæ¨ï f (u, v)­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­®-­¥¯à¥à뢭®©.

‚qá ¬®¬ ¤¥«¥,¤«ï‡ ¤ ç 8.¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⥩ Mn = (un , vn ) =550,1−12πn∈ H ¨ q2∈ H ¨¬¥¥¬: ρ(Mn , Mn0 ) =Mn0 = (u0n , vn0 ) = 0, 1 − π(1+4n)qqp120202(un − un ) + (vn − vn ) = 1 − 2πn − 1 − π(1+4n) →== 4π→ 0 ¯à¨ n → ∞, ®¤­ ª® ∀ n ∈ N |f (Mn ) − f (Mn0 )| == − sin 2πn + sin π2 + 2πn = 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∃ ε0 == 1 > 0 ∀ δ > 0 ∃ Mn ∈ H ∃ Mn0 ∈ H : ρ(Mn , Mn0 ) << δ ∧ |f (Mn ) − f (Mn0 )| > ε0 , â® ¥áâì ¢ë¯®«­¥­® ä®à¬ «ì­®¥®âà¨æ ­¨¥ ­¥®¡å®¤¨¬®£® ¨ ¤®áâ â®ç­®£® ãá«®¢¨ï à ¢­®¬¥à­®©­¥¯à¥à뢭®áâ¨.§ 4.y22= 0 (1).− − − arctg z = 0, ­ 室¨¬ dz − xdx − ydy −DZ®¤áâ ¢«ïï x = 1, y = 1, z = 1, ­ 室¨¬ dz = 2dx + 2dy (2).”®à¬ «ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï (1) ¨ áç¨â ï dx ¨ dy22 )−2zdz 2= 0.¯®áâ®ï­­ë¬¨, ­ 室¨¬ d2 z − dx2 − dy 2 − d z·(1+z(1+z 2 )222DZ®¤áâ ¢«ïï x = 1, y = 1, z = 1, ­ 室¨¬ d z = 2dx + 2dy 2 −− dz 2 .

DZ®¤áâ ¢«ïï ¢¬¥áâ® dz á㬬ã 2dx + 2dy ¨§ (2), ­ 室¨¬d2 z = −2dx2 − 8dxdy − 2dy 2 .Žâ¢¥â: dz(A) = 2dx + 2dy, d2 z(A) = −2dx2 − 8dxdy − 2dy 2 .‡ ¤ ç 2.4  ©â¨ ¯«®é ¤ì ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå­®áâ¨,®¡à §®¢ ­­®©¢à 饭¨¥¬ªà¨¢®© x = 2 sin t, y = 2 cos2 t ¢®ªà㣠π®á¨ Oy, t ∈ 0; 2 .¥è¥­¨¥. ˆáª®¬ ï ¯«®é ¤ì ¡®ª®¢®© ¯®¢¥àå­®áâ¨π/2pRσ = 2π|x| x02 + y 02 dt == 2π0=πp2 sin t 4 cos2 t + 16 cos2 t sin2 tdt =560π/2R2 sin t cos tsin 2t0π/2R √0R5 √pp1 + 4 sin2 tdt =1 + 2(1 − cos 2t)dt =3 − 2 cos 2td(3 − 2 cos 2t) =udu =1‡ ¤ ç 3.dz1+z 20π/2R=π‚ ਠ­â Œ”’ˆ-814  ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë‡ ¤ ç 1.¢ â®çª¥ A(1, 1, 1) ä㭪樨 z = z(x, y), § ¤ ­­®© ­¥ï¢­®22ãà ¢­¥­¨¥¬ π4 + z − x2 − y2 − arctg z = 0.π¥è¥­¨¥. ”®à¬ «ì­® ¤¨ää¥à¥­æ¨àãï ⮦¤¥á⢮ 4 + z −x22= 4ππ/2R√2π3 (55 − 1).3 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì àï¤∞X¥è¥­¨¥.2(n+1)n+2 nn→∞ (n+2)( n+1 )= lim2n n!.(n + 1)nn=1lim an+1=liman n→∞2n1n→∞ (1+ n+1 )= lim=2n+1 (n+1)!(n+1)nn+1 2n n!n→∞ (n+2)22limn+1 = e1n→∞ (1+ n+1)=< 1.DZ® ¯à¨§­ ªã „ « ¬¡¥à àï¤ á室¨âáï.4  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î y(x) = (x + 2) ln(2x2 ++ 8x + 9) ¢ àï¤ ’¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ x0 = −2 ¨ ­ ©â¨à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祭­®£® àï¤ .‡ ¤ ç 4.DZãáâì t = x + 2.

’®£¤ x = t − 2 ¨ y(x) =∞P(−1)n+1 2n 2nt== y(t − 2) = f (t) = t ln(1 + 2t2 ) = tn¥è¥­¨¥.∞Pn=1n=1(−1)n+1 2n 2n+1t.n ¤¨ãáá室¨¬®á⨯®«ã祭­®£®àï¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï |2t2 | < 1, ®âªã¤ |t| < √12 = R.DZந§¢¥¤ï ®¡à â­ãî § ¬¥­ã ¯¥à¥¬¥­­®©, ­ 室¨¬ ®â¢¥â:∞P(−1)n+1 2ny(x) =(x + 2)2n+1 ; R = √12 .nn=15 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)‡ ¤ ç 5a.57ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìπn.fn (x) = sin2 + n2 xá室¨âáï (íâ «®­), â® ∀ x ∈ E1 ∪ E2 à蘿¥è¥­¨¥.1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = 0 = f (x).2)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞).n ∈ N ∀ x ∈ E2 ¢ë¯®«­¥­® ∀ πn πnπ|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = sin 2+n2 x 6 2+n2 x 6 nx 66 nπ ⇒⇒ ∀ n ∈ N 0 6 sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } 6 πn ⇒⇒ ∃ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } = 0 ⇒n→∞⇒ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­®á室¨âáï ª f (x) ­ E2 .3)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).πn|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = sin 2+n2x ,xn = n12 ∈ E1 ¯à¨ n > 2,|Rn (xn )| = | sin πn3 |⇒⇒ sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } > | sin πn3 | > 0.DZ।¯®«®¦¨¢, çâ® ∃ lim sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } =n→∞= 0, ¯® ⥮६¥ ® § ¦ ⮩ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠­ 室¨¬, çâ®∃ lim | sin πn3 | = 0, íâ® ­¥ â ª.

‡­ ç¨â, lim sup{|Rn (x)| : x ∈n→∞E1 }n→∞∈=6 0 ¨ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) ­¥ï¢«ï¥âáï à ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) = 0 ­ E1 . fn (x)á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)∞Px23n− n ch xn − 1 .ä㭪樮­ «ì­ë© à龜 ¤ ç 5¡.n=1¥è¥­¨¥.2= n− xnchx3n1) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∪ E2 ∀ n ∈ N 0 < un (x) =∞Px6C− 1 ∼ 2n2 , n → ∞ ¨ ç¨á«®¢®© àï¤n2n=158n=1un (x) á室¨âáﯮ ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï.2)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).

’ ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E1 0 <x3< n < 1, â® ¯® ä®à¬ã«¥ Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢63n→∞∞Pä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ¨¬¥¥¬: ch xn − 1 = x 2nch2 ξ , 0 < ξ < 1. Šà®¬¥ − x2 1⮣®, n n 6 1. DZ®áª®«ìªã ∀ x ∈ E1 ∀ n ∈ N |un (x)| 6 ch2n2∞PC¨ ç¨á«®¢®© àï¤n2 á室¨âáï, â® ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá n=1ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤∞Pun (x) á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .n=1√3) ∀ n > 2 xn =13n ∈ E2 . ’ ª ª ª lim |un (xn )| =n→∞= lim n−1/3 | ch 1 − 1| = | ch 1 − 1| > 0, â® ä㭪樮­ «ì­ë©n→∞ n∞Pàï¤un (x) á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 (á室¨¬®áâì àï¤ n=1ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ¯ã­ªâ¥ 1).5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ¨­â¥£à «+∞Zlnα (1 + x2 )p√dx.x + x4‡ ¤ ç 6 .0¥è¥­¨¥.α2√√(1+x ) > 0 ¤«ï x > 0 ¨ ¢á¥åf (x) = ln4x+xα. ˆ­â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥­­®áâ¨: ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ +∞.

I =+∞+∞RR1R=f (x)dx = f (x)dx +f (x)dx = I1 + I2 . Š ¦¤ë© ¨§001¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤­ã ®á®¡¥­­®áâì: I1 { ¢ ­¨¦­¥¬¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. „«ï¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï. ’ ª ª ª f (x) ∼ 1C−2α ¯à¨ x → 0, â®x4I1 á室¨âáï ⇔ 41 − 2α < 1 ⇔ α > − 83 . ’ ª ª ª f (x) ∼ x2 lnC−α x¯à¨ x → +∞, â® I2 á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α ¨§ R. ˆ­â¥£à « I59á室¨âáï ⇔ I1 á室¨âáï ¨ I2 á室¨âáï ⇔ α > − 83 . ‘室¨¬®áâì ¡á®«îâ­ ï.5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ¨­â¥£à «‡ ¤ ç 6¡.πZ4eα ctg x cos(ctg x) dx.0‡ ¬¥­®© t = ctg x § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì+∞+∞RR eαt cos tdt =­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « I =f (t)dt =1+t2¥è¥­¨¥.=+∞R1g(t) cos t dt, £¤¥ g(t) =1eαt1+t21.lim g(t) = 0 ⇔ α 6 0.t→+∞DZ®ª ¦¥¬, çâ® ¨­â¥£à « I á室¨âáï ¡á®«îâ­® ¯à¨ α 6 0 ¯®¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨ à á室¨âáï ¯à¨ α > 0 ¯® ªà¨â¥à¨îŠ®è¨.€ ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.

∀ α 6 0 ∀ t > 1 |f (t)| 6+∞R 1eαt16 1+tdt á室¨âáï (íâ «®­). DZ® ¯à¨§­ ªã2 6 t2 . ˆ­â¥£à «t2áà ¢­¥­¨ï ¨­â¥£à «1+∞R1|f (t)|dt á室¨âáï. á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ’ ª ª ª ∀ α > 0 lim g(t) = +∞, â®t→+∞∀ α > 0 ∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 1. DZ®í⮬ã ∀ α > 0 ∃ t0 >δδ> 1 ∀ δ > t0 ∃ n = 2π+ 1 > 2π∃ ξ 0 = 2πn > δ, ∃ ξ 00 =000000 RξRξRξπcos t dt =g(t) cos t dt >= 2 + 2πn > δ : f (t) dt =ξ 0ξ0ξ0= 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,∀ α > 0 ∃ ε0 = 1 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > 00 Rξ> δ ∃ ξ 00 > δ : f (t) dt > ε0 { á¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ïξ 0Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « 60I=+∞Rf (t) dt.

DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¨­â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨1¢á¥å α > 0.Žâ¢¥â: ¡á®«îâ­® á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 0, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨α > 0.‡ ¤ ç 7.5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¢â®çª¥ O(0, 0) äã­ªæ¨î 5 y4 x ln 1 +, y 6= 0,(x2 + y 2 )2z(x, y) = y 30,y = 0.∂zd∂x (0, 0) = dx z(x, 0)|x=0d= dy 0 = 0, z(0, 0) = 0,d= dx0 = 0,â® äã­ªæ¨ï=z(x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ ,√z(x,y)ª®£¤ ∃= 0.limx2 +y 2(x,y)→(0,0) x5 ln 1+ y4 y3(x2 +y 2 )2|x|5 |y| 6 6√ 2 2√I ᯮᮡ. 0 6 22x +y(x +y )2x2 +y 25 √√px2 +y 2x2 +y 2√6x2 + y 2 → 0 ¯à¨ (x, y) → (0, 0).622 222¥è¥­¨¥.∂z∂y (0, 0)(x +y )’ ª ª ªddy z(0, y)|y=0x +y‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃lim(x,y)→(0,0)√z(x,y)x2 +y 2= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).II ᯮᮡ.DZ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬: x == ρ cos ϕ, y = ρ sinϕ.

’®£¤ ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ [0, 2π) \ {0, π} x5 ln 1+ y4 y3(x2 +y 2 )2 cos5 ϕ4√á¯à ¢¥¤«¨¢® = ρ sin3 ϕ ln(1 + sin ϕ) 62 +y 2x6 |ρ cos5 ϕ sin ϕ| 6 =∈ [0, 2π) √z(x,y)22x +y ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃ρ. ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ z(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 ρ → 0 ¯à¨ ρ → +0.ρlim(x,y)→(0,0)√z(x,y)x2 +y 2¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).61= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)α >§ 5.‚ ਠ­â Œ”’ˆ-025  ©â¨ ¯¥à¢ë© ¨ ¢â®à®© ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë¢ â®çª¥ M (0, 1) ä㭪樨 f (x, y), ¥á«¨ f (x, y) = ln(1 ++ y sin x).  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î f (x, y) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ M (0, 1) ¤® o(x2 + (y − 1)2 ).¥è¥­¨¥.

DZãáâì u = x − 0, v = y − 1. ’®£¤ f (x, y) == f (u, v + 1) = g(u, v) = ln(1 + (v + 1) sin u) = ln(1 + sin u ++ v sin u) = ln(1 + u + uv + o(ρ2 )) = u + uv − 21 u2 + o(ρ2 ), £¤¥ρ2 = x2 + (y − 1)2 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, f (x, y) = x + x(y − 1) −− 21 x2 + o(x2 + (y − 1)2 ) ¥áâì ¨áª®¬®¥ ⥩«®à®¢áª®¥ à §«®¦¥­¨¥,®âªã¤ ¢¨¤­®, çâ® df (0, 1) = dx, d2 f (0, 1) = −dx2 + 2dxdy.Žâ¢¥â: df (M ) = dx; d2 f (M ) = −dx2 + 2dxdy; f (x, y) = x ++ x(y − 1) − 12 x2 + o(x2 + (y − 1)2 ).‡ ¤ ç 1.6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ­¥¯à¥à뢭®áâì ¨¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ¯à¨ ¢á¥å α ∈ R ¢ â®çª¥ O(0, 0) äã­ªæ¨î:(arctg(|x|α |y|1/3 ), x2 + y 2 6= 0f (x, y) =0,x2 + y 2 = 0.‡ ¤ ç 2.¥è¥­¨¥.DZਠα 6 0 äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ O(0, 0), ¯®í⮬㠭¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®©¨ ⥬ ¡®«¥¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ¢ í⮩ â®çª¥ (¯®« £ ¥¬ 0α ¯à¨α 6 0p­¥ ¨¬¥¥â á¬ëá« , ¯à¨ α > 0 0α = 0).

Характеристики

Список файлов книги