Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ ρ > 0 ∀ ϕ ∈ z(x,y) z(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) √∈ [0, 2π) 2 2 = 6 2ρ → 0, ¥á«¨ ρ → +0.ρx +y‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∃lim(x,y)→(0,0)√z(x,y)= 0 ¨ äã­ªæ¨ï z(x, y)x2 +y 2¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ M (0, 0).‡ ¤ ç 4.2x29 − 4x4¥è¥­¨¥.−1/2=∞Pn=0n+1 n+14n (−1)C−132n+120402á⥯¥­­®£®àï¤ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠­¥ ¬¥­ï¥âáï. DZ®í⮬ã R =q= 32 .1nŽâ¬¥â¨¬, çâ® C−− 21 − 23 . . . − 12 − (n − 1) == n!1=(−1)n (2n−1)!!2n (n!)20¤«ï ¢á¥å ­ âãà «ì­ëå n; C−1 = 1. ® íâ¨2¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤¥« âì ­¥ ®¡ï§ ⥫쭮: Cαn { áâ ­¤ àâ­ë©á¨¬¢®«.‡ ¤ ç 5.3 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì àï¤s∞X(3n)!.(2n)3nn=1¥è¥­¨¥.q an+1 an =(3n+3)!(2n)3n(2n+2)3n+3 (3n)!r=(3n+1)(3n+2)(3n+3)3n1(2n+2)3 (1+ n)→< 1, n → ∞.

DZ® ¯à¨§­ ªã „ « ¬¡¥à àï¤ á室¨âáï.q278e3<‡ ¤ ç 6a. 4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «:+∞√Z( 3 x + x3 )αdx.2(x17 + 2) arcsin x2x+2¥è¥­¨¥.0x4n+1 .  ¤¨ãáá室¨¬®á⨠¯®«ã祭­®£® àï¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï 49 x4 <qRx 03< 1, ®âªã¤ |x| <f (t)dt =2 = R. ’®£¤ f (x) = f (0) += − 34 x 1 − 49 x4n=0n+1 n+144n+2 . DZਠ¯®ç«¥­­®¬ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨n (−1)C−1 (4n+2)·32n+1 xf (x) =√( 3 x+x3 )α(x17 +2) arcsin> 0 ¯à¨ x > 0.x2x2 +2ˆ­â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥­­®áâ¨: ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ +∞. I =+∞+∞RR1R=f (x)dx = f (x)dx +f (x)dx = I1 + I2 .

Š ¦¤ë© ¨§¨ ­ ©â¨ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祭­®£® àï¤ .f 0 (x)∞P04  §«®¦¨âì ¯® á⥯¥­ï¬ x äã­ªæ¨îf (x) = arcctg √= π2 +01¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤­ã ®á®¡¥­­®áâì: I1 { ¢ ­¨¦­¥¬¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. „«ï¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áïC¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï. ’ ª ª ª f (x) ∼ 2−α ¯à¨ x → 0, â®x3CI1 á室¨âáï ⇔ 2 − α3 < 1 ⇔ α > 3. ’ ª ª ª f (x) ∼ x17−3α¯à¨16x → +∞, â® I2 á室¨âáï ⇔ 17 − 3α > 1 ⇔ α < 3 . ˆ­â¥£à «41I á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à « I1 á室¨âáï ¨ ¨­â¥£à « I2 á室¨âáï ⇔⇔ 3 < α < 163 . ‘室¨¬®áâì ¡á®«îâ­ ï.‡ ¤ ç 6¡. 6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãîá室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «+∞Zsin x3 dx.(x + cos ln x)α11‡ ¬¥­®© t = x3 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¨áá«¥¤®¢ ­¨î­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­®£®+∞+∞RRf (t)dt =¨­â¥£à « I =g(t) sin tdt, £¤¥ g(t) =¥è¥­¨¥.=t2+α311ln1+ cos √3t√3tα1> 0.

Ÿá­®, çâ®lim g(t) = 0 ⇔t→+∞2+α3>> 0 ⇔ α > −2. DZ®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ α > −2 ¨­â¥£à « á室¨âáﯮ ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥, ¯à¨ α 6 −2 { à á室¨âáï ¯® ªà¨â¥à¨îŠ®è¨.RξI) ‘ å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. 1) ∀ ξ ∈ [1; +∞) sin t dt 6 2.12) DZ஢¥à¨¬, çâ® g(t) 0 ¯à¨ t > t0 ¨ α > −2. „®áâ â®ç­®1 ¯à¨ t > t0 ¨ α > −2, íâ® ¢ë⥪ ¥â¤®ª § âì, çâ® h(t) = g(t)¨§ á«¥¤ãî饣® ã⢥ত¥­¨ï: ∀ α > − 2 √ α α−2cos √ln 3 t31+×t∃ t0 > 1 ∀ t > t0 h0 (t) = 2+α33t√√−1√√3ln 3 tπsinln× 3 t − α2+α2 1 + cos √> 0, ¯®áª®«ìªãt+34täã­ªæ¨ï ¢ ª¢ ¤à â­ëå ᪮¡ª å áâ६¨âáï ª +∞ ¯à¨ t → +∞.ˆ§ 1) { 2) ¯® ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥ § ª«îç ¥¬, çâ® ¯à¨ α > −2¨­â¥£à « I á室¨âáï.II)  á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ’ ª ª ª ∀ α 6 −2 lim g(t) > 1, â®t→+∞∀ α 6 −2 ∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 21 . ‡­ ç¨â, ∀ α 6 −2 ∃ t0 > 1δδπ000∀ 00δ > t0 ∃n = 00 2π + 1 > 2π ∃ ξ 00= 2πn > δ, ∃ ξ = 2 + 2πn > δ : Rξ RξRξ f (t) dt = g(t) sin t dt > 21 sin t dt = 12 .

ˆâ ª,ξ 0 ξ0ξ042 00 Rξ∀ α 6 −2 ∃ ε0 = 12 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > δ ∃ ξ 00 > δ : f (t) dt > ε0 .ξ 0DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¨­â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨ α 6 −2.III) € ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ˆ­â¥£à « I ¬®¦¥â ¡á®«îâ­® á室¨âìáï «¨èì ¯à¨ â¥å §­ 祭¨ïå α, ¯à¨ ª®â®àëå+∞R®­ á室¨âáï. DZਠα > −2 ¨­â¥£à «g(t) cos 2t dt á室¨âáï ¯®¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥. ’®£¤ ¯® ¯à¨§­ ªã áà ¢­¥­¨ï ¨§ 楯®çª¨+∞+∞+∞RRR­¥à ¢¥­áâ¢g(t) dt >g(t)| sin t| dt >g(t) sin2 t dt ==12+∞R1+∞R11g(t) dt −|f (t)| dt =á室¨âáï ⇔+∞R1+∞R112t+∞R11g(t) cos 2t dt > 0 á«¥¤ã¥â, çâ® ¨­â¥£à «1g(t)| sin t| dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «C2+α3dt á室¨âáï ⇔2+α3+∞Rg(t) dt1> 1 ⇔ α > 1.á室¨âáï ¡á®«îâ­®, ¥á«¨ α > 1; á室¨âáï ãá«®¢­®,¥á«¨ −2 < α 6 1, ¨ à á室¨âáï, ¥á«¨ α 6 −2.Žâ¢¥â:‡ ¤ ç 7a.

5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâìfn (x) =xn2sin 2 + sin x.xn¥è¥­¨¥.1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = 1 + sin x = f (x).n→∞2)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞).|Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = 1 −n2xsin nx2 ,xn = n2 ∈ E2 ¯à¨ n > 2,|Rn (xn )| = |1 − sin 1| ⇒⇒ ∀ n > 1 sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } > |Rn (xn )| = |1 − sin 1| > 0 ⇒⇒ ä㭪樮­ «ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) ­¥ ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® á室ï饩áï ª f (x) ­ E2 .43fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 .3)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).xI ᯮᮡ. ’ ª ª ª ∀ n ∈ N ∀ x ∈ E1 0 < n2 < 1, â® ¯®ä®à¬ã«¥ Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢ ä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ξ x2¨¬¥¥¬: sin nx2 = nx2 − sin2! · n4 , 0 < ξ < 1. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∀ n ∈∈ N ∀ x ∈ E1 ∃ ξ ∈ (0; 1) : |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = |1 −2 sin ξ 1− nx sin nx2 | = x2n2 6 2n2 → 0 ¯à¨ n → ∞ ⇒ ä㭪樮­ «ì­ ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ª f (x) ­ E1 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.¥§®£®¢®à®ç­®¥ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ä®à¬ã«ëŒ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬DZ¥ ­® §¤¥áì ­¥ ¢ ä®à¬¥ª®à४⭮: ­ ¯à¨¬¥à, |Rn (x)| = o nx2 → 0 ¯à¨ n → ∞ ¯à¨«î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ x, ­® o nx2 § ¢¨á¨â ª ª ®â n, â ª ¨®â x, ¨, ¬®¦¥â ¡ëâì, áâ६«¥­¨¥ ª ­ã«î ¯® x ­¥à ¢­®¬¥à­®¥. ¯à¨¬¥à, ­ ¬­®¦¥á⢥ E2 |Rn (x)| = o nx2 → 0 ¯à¨ n → ∞¯à¨ «î¡®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ x, ­® ­¥à ¢­®¬¥à­®.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

”®à¬ã« Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬¢ ä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ¢ ç áâ­®¬ á«ãç ¥ ¢ë£«ï¤¨â á«¥¤ãî騬00®¡à §®¬: f (t) = f (0) + f 0 (0)t + f 2!(ξ) t2 , 0 < ξ < t. DZਭ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¬®¦­® ¢§ïâì ¡®«ìè¥ ç«¥­®¢ à §«®¦¥­¨ï. ‚¯à¨¢¥¤ñ­­®¬ à¥è¥­¨¨ f (t) = sin t, t = nx2 . ’®çª ξ áãé¥áâ¢ã¥â¨ 㤮¢«¥â¢®àï¥â 㪠§ ­­ë¬ ­¥à ¢¥­á⢠¬. ’ ª ª ª ξ = ξ(n, x)§ ¢¨á¨â ®â x, ®ª®­ç â¥«ì­ ï ®æ¥­ª ­¥ ¤®«¦­ ᮤ¥à¦ âì ξ.II ᯮᮡ. ˆáá«¥¤ã¥¬ ¯®¢¥¤¥­¨¥ ä㭪樨 Rn (x) = f (x) −2− fn (x) = 1 − nx sin nx2 ­ E1 ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ n á ¯®¬®éìî2¯à®¨§¢®¤­®©: Rn0 (x) = − nx2 nx2 cos nx2 − sin nx2 =2= − nx2 cos nx2 nx2 − tg nx2 > 0, â ª ª ª tg α > α, ¥á«¨ 0 < α 66 1.

‡¤¥áì α = nx2 . ‡­ ç¨â, Rn (x) ­ ¯®«ã¨­â¥à¢ «¥ (0; 1].’®£¤ 0 < Rn (x) < Rn (1) = 1 − n2 sin n12 . ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ∀ n ∈2∈ N ∀ x ∈ E1 |Rn (x)| = |f (x) − fn (x)| = |1 − nx sin nx2 | < 1 −− n2 sin n12 = 6n1 4 + o n14 → 0 ¯à¨ n → ∞ ⇒ ä㭪樮­ «ì­ ﯮ᫥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ª f (x) ­ E1 .443ˆá¯®«ì§ã¥¬ ­¥à ¢¥­á⢠x − x6 6 sin x 6 x,á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¤«ï ¢á¥å x > 0.¥à ¢¥­á⢮ sin x 6 x ¤®ª §ë¢ «®áì ­ «¥ªæ¨ïå. „®ª ¦¥¬3­¥à ¢¥­á⢮ x − x6 6 sin x ¯à¨ ¯®¬®é¨ â¥®à¥¬ë ‹ £à ­¦ ®á।­¥¬ ϕ(x) − ϕ(0) = ϕ0 (ξ)x, 0 < ξ < x.

„¢ ¦¤ë ¯à¨¬¥­ïï3⥮६㠋 £à ­¦ , ­ 室¨¬: ϕ(x) = sin x − x + x6 = (cos ξ − 1 +III ᯮᮡ.+ξ22 )x= (− sin η + η)ξx > 0, 0 < η < ξ < x, ª ª ¨ âॡ®¢ «®áì.3‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ t ∈ R |t − sin t| 6 |t|6 ¨ |Rn (x)| =2 2x3x21= nx nx2 − sin nx2 6 nx · 6n6 = 6n4 6 6n4 → 0 ¯à¨ n → ∞.fn (x) à ¢­®¬¥à­® á室¨âáï ª f (x) ­ E1 .DZ à ¨ ¬ ¥ à. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞)¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 fn (x) = n ln 1 + nx .¥è¥­¨¥. 1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = x = f (x).n→∞2)  áᬮâਬ E1 = (0, 1).

„®ª ¦¥¬, çâ® ¤«ï ¢á¥å t > 02á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à ¢¥­á⢠t − t2 6 ln(1 + t) 6 t. DZਬ¥­ïï⥮६㠋 £à ­¦ ® á।¥¬, ­ 室¨¬: ϕ(t) = t − ln(1 + t) =2η2ξt > 0 ¨ ψ(t) = ln(1 + t) − t + t2 = 1+ηt > 0, 0 < η, ξ < t,= 1+ξª ª ¨ âॡ®¢ «®áì.12 ‘«¥¤®¢ ⥫쭮, ∀ t > 0 |t − ln(1 + t)| 6 t2x2¨ |Rn (x)| = x − n ln 1 + nx = n nx − ln 1 + nx 6 n · 2n2 =x21= 2n 6 2n → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘室¨¬®áâì ­ E1 à ¢­®¬¥à­ ï.3)  áᬮâਬ E2 = (1, +∞). |Rn (n)| = n| ln 2 − 1| → +∞¯à¨ n → ∞. ‘室¨¬®áâì ­ E2 ­¥à ¢­®¬¥à­ ï.2DZ à ¨ ¬ ¥ à. ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, a) ¨ E2 = (a, +∞)¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ä㭪権 fn (x) = x ln(xn).n2¥è¥­¨¥. 1) ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) = 0 = f (x).n→∞xln(xn).n22) DZãáâì Rn (x) = fn (x) − 0 =∀ n ∈ N Rn0 (x) =12ln(xn)+1,n2Rn0 (x) = 0 ¯à¨ xn =‚®§¬®¦­®, ­¥à ¢¥­á⢮ ln(1+t)1ne ,Rn (xn ) =6 t ¤®ª §ë¢ «®áì ­ «¥ªæ¨ïå.

‚ â ª®¬á«ãç ¥ ­¥ ­ ¤® ¤®ª §ë¢ âì íâ® ­¥à ¢¥­á⢮.45= − en1 3 , |Rn (xn )| = en1 3 , |Rn (+0)| = 0, |Rn (a − 0)| == na2 | ln an|, sup{|Rn (x)| : x ∈ E1 } = max{ en1 3 , na2 | ln an|} 66 en13 + na2 | ln an| → 0 ¯à¨ n → ∞. ‘室¨¬®áâì ­ E1à ¢­®¬¥à­ ï.3) ∀ n ∈ N sup{|Rn (x)| : x ∈ E2 } = |Rn (+∞)| = +∞.‘室¨¬®áâì ­ E2 ­¥à ¢­®¬¥à­ ï.4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞) àï¤∞Pxxx+n sh n .‡ ¤ ç 7¡.n=11) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∪ E2 ∀ n ∈ N 0 < un (x) =∞PCá室¨âáï∼ nC2 , n → ∞ ¨ ç¨á«®¢®© àï¤n2¥è¥­¨¥.=xx+nsh nx(íâ «®­), â® ∀ x ∈ E1 ∪ E2 àï¤∞Pn=1n=1un (x) á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªãáà ¢­¥­¨ï.2) ’ ª ª ª ∀ x ∈ E1 ∀ n ∈ N |un (x)| 6 n1 sh n1 ∼ n12 , n → ∞∞P1¨ ç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï, â® ¯® ⥮६¥ ‚¥©¥àèâà áá n2n=1ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤3)  áᬮâਬ E2 .∞Pn=1un (x) á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ­ E1 .„®ª ¦¥¬, çâ® ®¡é¨© ç«¥­ ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ∞Pun (x)n=1­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 áâ६¨âáï ª ­ã«î.

’ ª ª ª ­ E2 àï¤á室¨âáï, â® ∀ x ∈ E2 lim un (x) = 0. „ «¥¥, |un (x)| =n→∞ x= x+nsh nx ; ∀ n ∈ N xn = 2n ∈ E2 ; |un (xn )| == 23 sh 2 > 0 ⇒ ®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) áâ६¨âáï ª ­ã«î­¥à ¢­®¬¥à­®, ®âªã¤ á«¥¤ã¥â ­¥à ¢­®¬¥à­ ï á室¨¬®áâì ­ ∞PE2 á ¬®£® ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ un (x), â ª ª ª ­¥¯à¥¤¥«lim |un (xn )| > 0, â® à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ãn→∞ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ­¥â.13 ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ãá«®¢¨¥ Š®è¨n+p−1Puk (x) < ε ¤«ï∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ p ∀ x ∈ E k=np = 1 ¨¬¥¥â ¢¨¤: ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N ∀ x ∈ E |un (x)| < ε.DZ®áª®«ìªã ¯à¥¤¥« lim |un (xn )| = 2ε0 > 0, â® (∗) ∃ ε0 > 0 ∀ N ∈n→∞∈ N ∃ n > N ∃ xn ∈ E : |un (xn )| > ε0 . ‡­ ç¨â, ãá«®¢¨¥ Š®è¨ ­¥¢ë¯®«­ï¥âáï ¨ ¯® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ àï¤ ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­®á室ï騬áï ­ E. ‚ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥ lim |un (xn )| = 23 sh 2 > 0.n→∞â®â ä ªâ ¬®¦­® ®¡êïá­¨âì ¯®-¤à㣮¬ã.DZ®áª®«ìªã¯à¥¤¥« lim |un (xn )| = 2ε0 > 0, â® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥n→∞(∗).

‡­ ç¨â, ®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) «¨¡® ­¥ áâ६¨âáﯮâ®ç¥ç­® ª ­ã«î ­ E , «¨¡® áâ६¨âáï ª ­ã«î ­¥à ¢­®¬¥à­®∞Pun (x) ­¥ ï¥âáï à ¢­®¬¥à­®­ E .‡­ ç¨â, àï¤n=1á室ï騬áï ­ E, â ª ª ª ¤«ï ­¥£® ­¥ ¢ë¯®«­¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ãá«®¢¨¥ à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®á⨠ä㭪樮­ «ì­ëå à冷¢: ãà ¢­®¬¥à­® á室ï饣®áï ­ E ä㭪樮­ «ì­®£® àï¤ ®¡é¨©ç«¥­ àï¤ à ¢­®¬¥à­® ­ E áâ६¨âáï ª ­ã«î.…᫨ ¯à¥¤¥« lim |un (xn )| ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ãá«®¢¨¥ (∗)n→∞¢ë¯®«­¥­®. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, ¤®¯ãá⨢ ¯à®â¨¢­®¥, ­ 室¨¬,çâ® ®¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) ⇒0 ­ E .® ⮣¤ ∃ lim sup{|un (x)| : x ∈ E} = 0 ¨ ¨§ 楯®çª¨ ­¥à ¢¥­áâ¢n→∞sup{|un (x)| : x ∈ E} > |un (xn )| > 0 ¯® ⥮६¥ ® § ¦ ⮩¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠¢ë⥪ ¥â, çâ® ∃ lim |un (xn )| = 0 ¢®¯à¥ª¨n→∞∞Pãá«®¢¨î. ‡­ ç¨â, ¨ ¢ í⮬ á«ãç ¥ àï¤un (x) ­¥ ï¥âáïà ¢­®¬¥à­® á室ï騬áï ­ E .n=1n=1¢ë¯®«­¥­® ­¥®¡å®¤¨¬®¥ ãá«®¢¨¥ ¥£® à ¢­®¬¥à­®© á室¨¬®áâ¨(á室¨¬®áâì àï¤ ãáâ ­®¢«¥­ ¢ ¯ã­ªâ¥ 1).‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.ˆ§ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨4613â¨¬ ä ªâ®¬ ¬®¦­® ¯®«ì§®¢ âìáï ¢ ¯¨á쬥­­®© à ¡®â¥ ¡¥§ ¤®ª § -⥫ìá⢠.47‡ ¤ ç 8.àï¤∞Pn=1ann5 DZãáâì àï¤∞Pn=1a2n á室¨âáï.

‚¥à­® «¨, çâ®á室¨âáï? „®ª § âì, ¨«¨ ®¯à®¢¥à£­ãâì ¯à¨¬¥à®¬. a2n + 12n‚¢¨¤ã ¢¥à­®£® ­¥à ¢¥­á⢠ann 62(¬¥¦¤ã á।­¨¬ £¥®¬¥âà¨ç¥áª¨¬ ¨ á।­¨¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬)∞∞∞ PPP1 an 6 1a2n + 1àï¤á室¨âáï ¯® ¯à¨§­ ªã2− f (1, 0) = f (x, y) − ln 3, ρ2 = (x − 1)2 + y 2 , ­ 室¨¬ f (x, y) =1= ln 3 + 31 (y − 0) − 13 (x − 1)(y − 0) − 18(y − 0)2 + o((x − 1)2 + y 2 ).122Žâ¢¥â: df (A) = 3 dy; d f (A) = − 3dxdy − 19 dy 2 ; f (x, y) =111= ln 3 + 3 (y − 0) − 3 (x − 1)(y − 0) − 18 (y − 0)2 + o((x − 1)2 + y 2 ).¥è¥­¨¥.n=1n2n=1áà ¢­¥­¨ï.

Характеристики

Список файлов книги