Методы решения экзаменационных задач 2-ого семестра (1187971), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

DZãáâì α > 0¨ ρ = x2 + y 2 > 0. ’®£¤ |f (x, y)| 6 ρα ρ1/3 = ρα+1/3 → 0,lim f (x, y) = 0 = f (0, 0) ¨¥á«¨ (x, y) → (0, 0). ‡­ ç¨â, ∃(x,y)→(0,0)äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ O(0, 0).∂f∂x (0, 0)= lim∆x→0f (∆x,0)−f (0,0)∆x0−0∆x→0 ∆xlim 0−0∆y→0 ∆y= lim= 0.(0,0)= lim f (0,∆y)−f== 0.∆y∆y→0 6 ρα+1/3 = ρα−2/3 → 0 ¯à¨ (x, y) → (0, 0), ¥á«¨0 6 √f (x,y)ρ22∂f∂y (0, 0)x +y6223.‡­ ç¨â, ¤«ï ª ¦¤®£® α >23∃lim(x,y)→(0,0)√f (x,y) = 0 ¨22x +yäã­ªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).√f (x,y)=limDZãáâì α ∈ 0, 32 .

’®£¤ ¯® ¯àאַ© x = 022= 0, ¯® ¯àאַ© y = x√f (x,y)limx2 +y 2(x,y)→(0,0)=x +y(x,y)→(0,0)arctg√|x|α+1/36=lim2|x|x→00.‡­ ç¨â, äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ O(0, 0).Žâ¢¥â: ­¥¯à¥à뢭 ¯à¨ α > 0 ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¯à¨α > 32 .‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪樨 f (x, y) ¬®¦­®¯®­¨¬ âì ª ª ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã ¥ñ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï.DZਠα 6 0 í⨬ ¬­®¦¥á⢮¬ ¡ã¤¥â ¬­®¦¥á⢮ M = {(x; y) ∈∈ R2 : x = 0 ⇒ y = 0}.

’®£¤ ¯à¨ α = 0 äã­ªæ¨ïf (x, y) ¡ã¤¥â ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ O(0; 0) ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã M ,â ª ª ª ¯à¨ α = 0 ¨ (x; y) ∈ M |f (x, y)| 6 ρ1/3 → 0, ¥á«¨M 3 (x, y) → (0, 0). ‡­ ç¨â, ∃limf (x, y) = 0 =M 3(x,y)→(0,0)= f (0, 0), ª ª ¨ âॡ®¢ «®áì. DZਠα < 0 ¯® ªà¨¢®© y == |x|−3αlim f (x, y) = lim arctg 1 = arctg 1, ¯® ªà¨¢®©y =x→0(x,y)→(0,0)−6α|x|lim f (x, y) = lim arctg |x|−αx→0(x,y)→(0,0)ªà¨¢ë¬ à §­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, @lim= 0. DZ® à §­ë¬M 3(x,y)→(0,0)f (x, y) ¨ ¯à¨α < 0 äã­ªæ¨ï f (x.y) ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ O(0; 0)¯® ¬­®¦¥áâ¢ã M .‡ ¤ ç 3.3  ©â¨ ¯«®é ¤ì 䨣ãàë, ®£à ­¨ç¥­­®©ªà¨¢ë¬¨ y = ex sin x, y = 0, x = π4 , £¤¥ 0 6 x 6 π4 .„¢ ¦¤ëç áâï¬,I =R¥è¥­¨¥.R x ¨­â¥£à¨àãï ¯®R ­ 室¨¬xxx= e sin xdxR = − e d cos x = −e cos x + Rcos xde = −−ex cos x + ex d sin x = −ex cos x + ex sin x − ex sin xdx =x= ex (sin x − cos x) − I ⇒ I = e2 (sin x − cos x) + C.

ˆáª®¬ ïπ/4R xxπ/4¯«®é ¤ì S =e sin xdx = e2 (sin x − cos x)|0 = 21 .0634 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞R arctg(x−1)√dx.á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «ex (x− 3 x)α‡ ¤ ç 4a.1‡ ¬¥­®© t = x − 1 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì ­¥á®¡+∞Rarctg√tá⢥­­®£® ¨­â¥£à « I =dt. DZ®¤ë­â¥£à «ì­ ïet (1+t− 3 1+t)α¥è¥­¨¥.0arctgt√> 0 ¯à¨ t > 0 ¨ ¢á¥å α ¨§äã­ªæ¨ï f (t) = et (1+t−31+t)αR.

ˆ­â¥£à « ¨¬¥¥â ¤¢¥ ®á®¡¥­­®áâ¨: ¢ ­ã«¥ ¨ ¢ +∞. I =+∞+∞RR1R=f (t)dt = f (t)dt +f (t)dt = I1 + I2 . Š ¦¤ë© ¨§001¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¨¬¥¥â 㦥 ®¤­ã ®á®¡¥­­®áâì: I1 { ¢ ­¨¦­¥¬¯à¥¤¥«¥, I2 { ¢ ¢¥àå­¥¬ ¯à¥¤¥«¥ ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï. „«ï¨áá«¥¤®¢ ­¨ï á室¨¬®á⨠¨­â¥£à «®¢ I1 ¨ I2 ¢®á¯®«ì§ã¥¬áïC¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï. ’ ª ª ª f (t) ∼ tα−1¯à¨ t → 0, ⮨­â¥£à « I1 á室¨âáï ⇔ α − 1 < 1 ⇔ α < 2.

’ ª ª ª f (t) ∼∼ etCtα ¯à¨ t → +∞, â® I2 á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α ¨§ R. ˆ­â¥£à «I á室¨âáï ⇔ I1 á室¨âáï ¨ I2 á室¨âáï ⇔ α > 2. ‘室¨¬®áâì ¡á®«îâ­ ï.6 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ ¡á®«îâ­ãî ¨ ãá«®¢­ãî+∞Rlnα 1 + x1 sin x3 dx.á室¨¬®áâì ­¥á®¡á⢥­­ë© ¨­â¥£à «‡ ¤ ç 4b.1‡ ¬¥­®© t = x3 § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª¨áá«¥¤®¢ ­¨î ­ á室¨¬®áâì ¨ ¡á®«îâ­ãî á室¨¬®áâì+∞+∞RR­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « I =f (t)dt =g(t) sin tdt =¥è¥­¨¥.=+∞R11t2/3ln 1 +α1√3t1sin t dt. lim g(t) =t→+∞1limt→+∞12+αt 3= 0 ⇔⇔ α > −2.

„®ª ¦¥¬, çâ® ¯à¨ α > −2 ¨­â¥£à « I á室¨âáﯮ ¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥, ¯à¨ α 6 −2 à á室¨âáï ¯® ªà¨â¥à¨îŠ®è¨.I) ‘ å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. DZਠα > −2 ¯à®¨§¢®¤­ ï g0 (t) = −4/3−2/3 α lnα−1 (1+t−1/3 )1= − 32 t−5/3 lnα (1 + t−1/3 ) + t·−=−1/33 t(1+t)64− 31 t−2 lnα−1 (1 + t−1/3 ) 2t1/3 ln(1 + t−1/3 ) +α(1+t−1/3 )−2 lnα−1 (1− 2+α3 t==+= − 13 t−2 lnα−1 (1 + t−1/3 )(2 + α + o(1)) ∼+ t−1/3 ) < 0 ¯à¨ t → +∞.’ ª¨¬®¡à §®¬,1)g(t)0¯à¨Rξt → +∞, 2) ∀ ξ ∈ [1, +∞) sin tdt = | − cos ξ + cos 1| 6 2. DZ®1¯à¨§­ ªã „¨à¨å«¥ ¨­â¥£à « I á室¨âáï ¯à¨ ¢á¥å α > −2.II)  á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì. ∀ α < 2 lim g(t) = +∞, ¯à¨ α = −t→+∞lim g(t) = 1. ’®£¤ ∀ α > −2 ∃ t0 > 1 ∀ t > t0 g(t) > 21 .t→+∞δδ+ 1 > 2π∃ ξ0 =‡­ ç¨â, ∀ α > −2 ∃ t0 > 1 ∀ δ > t0 ∃ n = 2π00 Rξ 00Rξ= 2πn > δ, ∃ ξ 00 = π2 + 2πn > δ : f (t) dt = g(t) sin t dt >ξ 0 ξ0−21200Rξsin t dt = 12 .

ˆâ ª, ∀ α > −2 ∃ ε0 = 12 > 0 ∀ δ > 1 ∃ ξ 0 > 00 Rξ> δ ∃ ξ 00 > δ : f (t) dt > ε0 . ‘¯à ¢¥¤«¨¢® ®âà¨æ ­¨¥ ãá«®¢¨ïξ 0Š®è¨ ªà¨â¥à¨ï Š®è¨ á室¨¬®á⨠­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à « +∞RI=f (t) dt. DZ® ªà¨â¥à¨î Š®è¨ ¨­â¥£à « I à á室¨âáï ¯à¨>ξ01¢á¥å α > −2.III) € ¡ á ® « î â ­ ï á å ® ¤ ¨ ¬ ® á â ì.‚®á¯®«ì§ã¥¬áï| sin t|¯à¨§­ ª®¬ áà ¢­¥­¨ï.

’ ª ª ª |f (t)| ∼ 2+α ¯à¨ t → +∞, ⮨­â¥£à «2+α3+∞R1t|f (t)|dt á室¨âáï ⇔ ¨­â¥£à «3+∞R1| sin t|t2+α3dt á室¨âáï> 1 ⇔ α > 1 (íâ «®­).Žâ¢¥â: ¡á®«îâ­® á室¨âáï ¯à¨ α > 1; ãá«®¢­® á室¨âáï¯à¨ −2 < α 6 1; à á室¨âáï ¯à¨ α 6 2.⇔‡ ¤ ç 5.¥è¥­¨¥.∞P32n (n!)42 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì àï¤(3n)!(n+1)! .n=1 an+1 32n+2 (n+1)!4(3n)!(n+1)!= an =(3n+3)!(n+2)! ·32n (n!)46549(n+1)→= (3n+1)(3n+2)(3n+3)(n+2)„ « ¬¡¥à àï¤ á室¨âáï.927< 1, n → ∞. DZ® ¯à¨§­ ªã5 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãî+∞)á室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1,p√ä㭪樮­ «ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì fn (x) = n ln 1 + nx .√x = f (x). DZ®¥è¥­¨¥. ∀ x ∈ E1 ∪ E2 lim fn (x) =n→∞ä®à¬ã«¥ Œ ª«®à¥­ á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢ ä®à¬¥ ‹ £à ­¦ ¨¬¥¥¬: ∀ x ∈ E1 ∀ n ∈ N ∃ ξ ∈ (0; 1) : |Rn (x)|p= |f (x) − fn (x)| =√p x √√√xx1= x − n ln 1 + n = x − nn − (1+ξ)2 n = 1 √x 6 √1n → 0 ¯à¨ n → ∞.

‡­ ç¨â, fn (x) ⇒ f (x)= (1+ξ)2n√­ E1 . ’ ª ª ª |Rn (n)| = |1 − ln 2| n → +∞ ¯à¨ n → ∞, â®fn (x) á室¨âáï ª f (x) ­¥à ¢­®¬¥à­® ­ E2 .‡ ¤ ç 6.‡ ¤ ç 7. 4 ˆáá«¥¤®¢ âì ­ á室¨¬®áâì ¨ à ¢­®¬¥à­ãîá室¨¬®áâì ­ ¬­®¦¥á⢠å E1 = (0, 1) ¨ E2 = (1, +∞) àï¤∞ P2√x1 − cos x√nx arctg √e n .n=1 5/2 xx√¥è¥­¨¥. Ž¡é¨© ç«¥­ àï¤ un (x) = 2 sin2arctg √e n .2 n E1 :∞Pen=1√2n n0 6 un (x) 62x54n·ex√n6e√,2n nç¨á«®¢®© àï¤á室¨âáï (­ ¯à¨¬¥à, ¯® ¨­â¥£à «ì­®¬ã ¯à¨§­ ªã),ä㭪樮­ «ì­ë© àï¤ á室¨âáï à ¢­®¬¥à­® ¯® ⥮६¥C¯à¨ n → ∞, àï¤ á室¨âáï;‚¥©¥àèâà áá .  E2 : un (x) ∼ n√n√25un ( n) ∼ π sin (1/2) ¯à¨ n → ∞, àï¤ á室¨âáï ­¥à ¢­®¬¥à­®.‡ ¤ ç 48.∞PnC−1/2(−1)n+1 32n+1 x2n .

 ¤¨ãá á室¨¬®á⨠¯®«ã祭­®£®àï¤ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨§ ãá«®¢¨ï −9x2 < 1, ®âªã¤ |x| < 31 = R.∞P2n+1ng(x) = arcctg 0 +C−1/2(−1)n+1 32n+1 x2n+1 . ’®£¤ f (x) ==n=0n=0πx42= x4 g(x) =+∞Pn=02n+5nC−1/2(−1)n+1 32n+1 x2n+1 . DZਠ¯®ç«¥­­®¬¨­â¥£à¨à®¢ ­¨¨ á⥯¥­­®£® àï¤ ¨ 㬭®¦¥­¨¨ ­ ­¥­ã«¥¢®©¬­®£®ç«¥­ à ¤¨ãá á室¨¬®á⨠­¥ ¬¥­ï¥âáï, ¯®í⮬ã R = 31 .∞ CnP(−1)n+1 32n+1 x2n+5−1/2πx4, R = 31 .Žâ¢¥â: f (x) = 2 +2n+1n=04 “ ­¥¯à¥à뢭ëå ä㭪権 f (x) ¨ g(x)+∞Rf (x)dx ¨g(x)dx á室ïâáï ãá«®¢­®.

Œ®¦¥â «¨‡ ¤ ç 9.+∞R¨­â¥£à «ë¨­â¥£à «1+∞R1f (x)g(x)dx a) á室¨âìáï ¡á®«îâ­®; b) á室¨âìáï1ãá«®¢­®; c) à á室¨âìáï?Žâ¢¥â:a) Œ®¦¥â.  ¯à¨¬¥à, f (x) =sin2 x= x2 .b) Œ®¦¥â.  ¯à¨¬¥à, f (x) ==sin 2x2x .c) Œ®¦¥â.  ¯à¨¬¥à, f (x) ==sin2xx. §«®¦¨âì ¢ àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ x¨ ­ ©â¨ à ¤¨ãá á室¨¬®áâ¨3xx4 arcctg √1−9x2äã­ªæ¨î f (x) =¯®«ã祭­®£® àï¤ .¥è¥­¨¥.äã­ªæ¨î g(x)=√ −31−9x2= §«®¦¨¬ ¢3xarcctg √1−9x.2= −3(1 − 9x2 )−1/266àï¤ ¯® á⥯¥­ï¬ xDZந§¢®¤­ ï g0 (x) =∞Pn= −3C−1/2(−9)n x2n =n=067sin xx ,g(x) =sin xx ,f (x)g(x) =sin√ x,xg(x) =cos√ x.xf (x)g(x) =sin√ x,xg(x) =sin√ x,xf (x)g(x) =‹¨â¥à âãà 1. ¥á®¢ Ž. ‚. ‹¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã ­ «¨§ã.

—. I. { Œ.: Œ”’ˆ,2004.2. ˆ¢ ­®¢ ƒ. …. ‹¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã ­ «¨§ã. —. I. { Œ.: Œ”’ˆ,2000, 2004.3. ’¥à-Šà¨ª®à®¢ €. Œ., ˜ ¡ã­¨­ Œ. ˆ. Šãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ .{ Œ.:  㪠, 1988; Œ.: Œ”’ˆ, 1997; Œ.: ”¨§¬ ⫨â, 2003.4. Ÿª®¢«¥¢ ƒ. . ‹¥ªæ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥ª®¬ã ­ «¨§ã. —. 1. { Œ.:”¨§¬ ⫨â, 2004.5. DZ¥â஢¨ç €. ž. DZ।¥«,­¥¯à¥à뢭®áâì ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâìä㭪権 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå: ã祡.-¬¥â®¤. ¯®á®¡¨¥. { Œ.: Œ”’ˆ,2007.

{ Žä¨æ¨ «ì­ë© á ©â ª 䥤àë ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨ Œ”’ˆ(ƒ“). URL: http://math.mipt.ru/study/literature.html6. Š®¦¥¢­¨ª®¢¨­â¥£à «®¢:DZ. €.ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ã祡.-¬¥â®¤.á室¨¬®á⨯®á®¡¨¥.{Œ.:­¥á®¡á⢥­­ë匔’ˆ,2007.{Žä¨æ¨ «ì­ë© á ©â ª 䥤àë ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨ Œ”’ˆ (ƒ“).URL: http://math.mipt.ru/study/literature.html7. ˆ¢ ­®¢ ‘.

‚. ”®à¬ã« ’¥©«®à ¨ ¥ñ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨¯à¥¤¥«®¢ ä㭪権:ã祡.-¬¥â®¤. ¯®á®¡¨¥. { Œ.:Œ”’ˆ, 2006. {Žä¨æ¨ «ì­ë© á ©â ª 䥤àë ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨ Œ”’ˆ (ƒ“). URL:http://math.mipt.ru/study/literature.html8. ‘¡®à­¨ª§ ¤ 篮¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã ­ «¨§ã/¯®¤à¥¤.‹. „.Šã¤àï¢æ¥¢ . ’. 1{3. { 2-¥ ¨§¤. { Œ.: ”¨§¬ ⫨â, 2003.9. €à娯®¢ƒ. ˆ.,‘ ¤®¢­¨ç¨©‚. €.,—ã¡ ਪ®¢‚. .‹¥ªæ¨¨¯®¬ ⥬ â¨ç¥ª®¬ã ­ «¨§ã. { Œ.: „à®ä , 2003.10. ƒ¥«ì¡ 㬠., Ž«¬á⥤ „¦.

Š®­âà¯à¨¬¥àë ¢ ­ «¨§¥. { ‚®«£®£à ¤:ˆ§¤-¢® ýDZ« â®­þ, 1997. DZ¥à¥¢®¤: . ˆ. ƒ®«ã¡®¢, 1967.68DZ®«ã祭®70.

Характеристики

Список файлов книги