Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

¬¨­¨áâ¥àá⢮ ®¡à §®¢ ­¨ï ¨ ­ 㪨 à®áᨩ᪮© 䥤¥à 樨”¥¤¥à «ì­®¥ £¥­âá⢮ ¯® ®¡à §®¢ ­¨îƒ®á㤠àá⢥­­®¥ ®¡à §®¢ ⥫쭮¥ ãç०¤¥­¨¥¢ëá襣® ¯à®ä¥áᨮ­ «ì­®£® ®¡à §®¢ ­¨ïŒ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â)Š ä¥¤à ¢ëá襩 ¬ ⥬ ⨪¨…„…‹, ……›‚Ž‘’œˆ „ˆ””……–ˆ“…ŒŽ‘’œ”“Š–ˆ‰ …‘ŠŽ‹œŠˆ•……Œ…›•“祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥‘®áâ ¢¨â¥«ì: €.ž. ¥â஢¨çŒ®áª¢ , 2007“„Š 517.22, 517.24¥æ¥­§¥­â:„®ªâ®à 䨧¨ª®-¬ ⥬ â¨ç¥áª¨å ­ 㪠ˆ¢ ­®¢ ƒ.….à¥¤¥«, ­¥¯à¥à뢭®áâì ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪権­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå: “祡­®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥ / ‘®áâ.€.ž. ¥â஢¨ç | Œ.: Œ”’ˆ, 2007.

64 á.“„Š 517.22, 517.24 ¯à¨¬¥à¥ ä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯®ïá­ï¥âáï ª ç¥á⢥­­®¥®â«¨ç¨¥ ¯®­ï⨩ ¯à¥¤¥« , ­¥¯à¥à뢭®á⨠¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâ¨ä㭪権 ¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ®â ®¤­®¬¥à­®£® á«ãç ï. Žá®¡®¥ ¢­¨¬ ­¨¥ 㤥«¥­® ¢®¯à®á ¬, ª®â®àë¥ ®¡ëç­® ¯®¢¥àå­®áâ­® ®á¢¥é îâáï¢ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ , çâ® ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ­¥¢¥à­®¬ã¨å ¯®­¨¬ ­¨î ¨ ­¥¢¥à­®¬ã à¥è¥­¨î ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å § ¤ ç (á¢ï§ì¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« á ¯à¥¤¥« ¬¨ ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬, ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ ⠯ਠ¨áá«¥¤®¢ ­¨¨ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢,¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¤«ï í⮩ 楫¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë ’¥©«®à , ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå).

ˆá¯®«ì§ã¥âáï 㤮¡­ ï ­¥ ᮢᥬ ®¡ëç­ ï ᨬ¢®«¨ª ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï ç áâ­ëå¯à®¨§¢®¤­ëå, ªæ¥­â¨àã¥âáï ¢­¨¬ ­¨¥ ­ ­¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯®«ã祭¨ï ªªãà â­ëå ®æ¥­®ª ¤«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢. ¨£¤¥ à ­¥¥ ­¥ ¯à¨¢®¤¨«®áì à¥è¥­¨¥ â ª®£® ª®«¨ç¥áâ¢ à §­®®¡à §­ëå ¯à¨¬¥à®¢.à¥¤­ §­ 祭® ¤«ï áâ㤥­â®¢ ¨ ¯à¥¯®¤ ¢ ⥫¥© ã­¨¢¥àá¨â¥â®¢ ¨â¥å­¨ç¥áª¨å ¢ã§®¢.c°Œ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ(£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â), 2007c €.ž. ¥â஢¨ç, á®áâ ¢«¥­¨¥, 2007°‘®¤¥à¦ ­¨¥I.

à¥¤¥« ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå . . . . . . 4§ 1.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠. . . . . . . . . . . .§ 2. ®¯ë⪨ ᢥ¤¥­¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪権 ®¤­®©¯¥à¥¬¥­­®© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 3. „®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« § 4. Ž ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë ’¥©«®à ª¢ëç¨á«¥­¨î ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢ . . . . . . . . . .

. . . ..4. 6. 11. 14II. ¥¯à¥à뢭®áâì ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå 20§ 1. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ¯à¥¤¥« . . . . . . . . . 20§ 2. ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権 . . . . . . . . . . 23III. „¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å¯¥à¥¬¥­­ëå . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28§ 1.— áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 2. „¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâì ä㭪樨 ¢ â®çª¥ . . . . . . . . .§ 3. „¨ää¥à¥­æ¨ «. ˆ­¢ ਠ­â­®áâì ä®à¬ë¤¨ää¥à¥­æ¨ « . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .§ 4. ”®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ . . . . . . . .

. . . . .§ 5. ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠ä㭪樨 ¢ â®çª¥ .Žâ¢¥âë ª ã¯à ¦­¥­¨ï¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . .‘¯¨á®ª «¨â¥à âãàë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 32.....3538456364I. …„…‹ ”“Š–ˆˆ…‘ŠŽ‹œŠˆ• ……Œ…›•§ 1.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëåä®à¬ «ì­® ­¥ ®â«¨ç ¥âáï ®â ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥« ä㭪樨®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©. ‚ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ ®¡ëç­®¤ îâáï ¤¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥« | ¯® Š®è¨ ¨ ¯® ƒ¥©­¥, ¤®ª §ë¢ ¥âáï ¨å à ¢­®á¨«ì­®áâì.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.1 (¯® Š®è¨). ”ã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ¨¬¥¥â ¢í⮩ â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« ε ­ ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® δ , çâ® ¤«ï¢á¥å ~x ¨§ ¯à®ª®«®â®© δ -®ªà¥áâ­®á⨠~a ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f (~x) − b| < ε. ï§ëª¥ ª¢ ­â®à®¢: lim f (~x) = b, ¥á«¨~x→~a∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀~x ∈ Ůδ (~a) → |f (~x) − b| < ε.‚ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ~x = (x1 , .

. . , xn ) ¨ ~a = (a1 , . . . , an )| â®çª¨ n-¬¥à­®£® ¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà ­á⢠Rn ; f (~x) == f (x1 , . . . , xn ) (¢® ¨§¡¥¦ ­¨¥ ¯ãâ ­¨æë, ¥á«¨ â®çª Rn ®¡®§­ ç ¥âáï ¬ «®© ¡ãª¢®© « ⨭᪮£® «ä ¢¨â , ¬ë ¡ã¤¥¬ áâ ¢¨âì ­ ¤ í⮩ ¡ãª¢®© áâ५ªã; ¥á«¨ áâ५ª¨ ­¥â | íâ® ¤¥©á⢨⥫쭮¥ ç¨á«®, â.¥. â®çª ç¨á«®¢®© ¯àאַ© R1 ). à®ª®«®â ﮪà¥áâ­®áâì â®çª¨ ~a | íâ® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® 0 << ρ(~x,~a) < δ , £¤¥ρ(~x,~a) =p(x1 − a1 )2 + . .

. + (xn − an )2 .Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.2 (¯® ƒ¥©­¥). ”ã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ¨¬¥¥â ¢ í⮩â®çª¥ ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© b, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨~xk â ª®©, çâ® ~xk 6= ~a ¨ lim ~xk = ~a, ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮k→∞lim f (~xk ) = b.k→∞‘室¨¬®áâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª ~xk ª â®çª¥ ~aç ¥â, çâ® lim ρ(~xk ,~a) = 0, â.¥.5®§­ -k→∞∀ ε > 0 ∃ k0 :∀ k > k0 → ρ(~xk ,~a) < ε.‚ᥠ®á­®¢­ë¥ ᢮©á⢠¯à¥¤¥«®¢ ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© á®åà ­ïîâáï ¢ ¬­®£®¬¥à­®¬ á«ãç ¥: â¥®à¥¬ë ®¡ à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à æ¨ïå á ¯à¥¤¥« ¬¨, ᢮©á⢠¯à¥¤¥«®¢, á¢ï§ ­­ë¥ á ­¥à ¢¥­á⢠¬¨ ¨ â.¤.

”ã­ªæ¨ï α(~x) ­ §ë¢ ¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ¯à¨ ~x → ~a, ¥á«¨ lim α(~x) = 0. …᫨ äã­ªæ¨ï~x→~af (~x) ®£à ­¨ç¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨~a, äã­ªæ¨ï α(~x) ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ ~x → ~a, â® äã­ªæ¨ïα(~x)f (~x) â ª¦¥ ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ¯à¨ ~x → ~a.ƒ®¢®àïâ, çâ® f (~x) = o(g(~x)) ¯à¨ ~x → ~a (f (~x) ¥áâì o ¬ «®¥ ®âg(~x)), ¥á«¨ f (~x) = α(~x)g(~x), £¤¥ α(~x) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨~x → ~a. …᫨ g(~x) ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠~a, â® íâ® ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ à ¢­®á¨«ì­® à ¢¥­áâ¢ãf (~x)lim= 0.~x→~a g(~x)¥á¬®âàï ­ ®¡é­®áâì ®¯à¥¤¥«¥­¨ï, ¨áá«¥¤®¢ ­¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¯à¥¤¥« ¤«ï ä㭪権 ¬­®£¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­® á«®¦­¥¥, 祬 ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥.  ¯à¨¬¥à, ¥á«¨äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¯®-à §­®¬ã ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯à¨ x >> a ¨ x < a, â® ¤®áâ â®ç­® ¨áá«¥¤®¢ âì áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ®¤­®áâ®à®­­¨å ¯à¥¤¥«®¢ á«¥¢ ¨ á¯à ¢ .

 ç¨á«®¢®© ¯àאַ© ªâ®çª¥ ¬®¦­® ¯®¤®¡à âìáï ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨, ¢®â 㦥 ­ ¯«®áª®á⨠R2 â ª¨å ᯮᮡ®¢ ¡¥áª®­¥ç­® ¬­®£®, çâ® ãá«®¦­ï¥â á¨âã æ¨î. à¨ í⮬ ¢ á«ãç ¥ ¡®«¥¥ ¢ë᮪¨å à §¬¥à­®á⥩ n > 3ª à⨭ ­¥ ãá«®¦­ï¥âáï ª ç¥á⢥­­®. à¨­æ¨¯¨ «ì­ë¬ ï¥âáï ¨¬¥­­® ¯¥à¥å®¤ ®â n = 1 ª n = 2. ‚ ¤ «ì­¥©è¥¬, ¥á«¨ ­¥®£®¢®à¥­® ¯à®â¨¢­®¥, ¡ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® n = 2.’®çª ~x ¯«®áª®á⨠§ ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ª®®à¤¨­ â å: ~x = (x, y);f (~x) = f (x, y).

à¥¤¥« ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ­ §ë¢ ¥âá濫®©­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬ ¨ ®¡®§­ ç ¥âáïlim(x,y)→(x0 ,y0 )f (x, y)¨«¨lim f (x, y).x→x0y→y06Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯® Š®è¨:lim f (x, y) = b,x→x0y→y0¥á«¨f (x, y)®¯à¥-¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© p¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®áâ¨∃ δ > 0: ∀ (x, y), 0 << ε.(x0 , y0 ) ¨ ∀ ε > 0(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ → |f (x, y)−b| <Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¯® ƒ¥©­¥:lim f (x, y) = b,x→x0y→y0¥á«¨f (x, y)®¯à¥-¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠(x0 , y0 ) ¨ ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠(xk , yk ) â ª®©, çâ® (xk , yk ) 6= (x0 , y0 ) ¨lim (xk , yk ) = (x0 , y0 ), ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ lim f (xk , yk ) =k→∞k→∞= b.Ž¡à é ¥¬ ¢­¨¬ ­¨¥ ­ â®, çâ® ãá«®¢¨¥ (xk , yk ) 6= (x0 , y0 )®§­ ç ¥â ­¥á®¢¯ ¤¥­¨¥ â®ç¥ª; ¯à¨ í⮬ ¢®§¬®¦­®, ­ ¯à¨¬¥à,çâ® xk = x0 (­® ⮣¤ ®¡ï§ ⥫쭮 yk 6= y0 ).§ 2.®¯ë⪨ ᢥ¤¥­¨ï ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪権 ®¤­®©¯¥à¥¬¥­­®©…áâ¥á⢥­­® ¢®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á, ­¥«ì§ï «¨ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ä㭪樨 f (x, y) ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) ᢥá⨠ª ¯à¥¤¥« ¬ ¢¨¤ lim ( lim f (x, y)) ¨ lim ( lim f (x, y))?x→x y→yy→y x→x0000yy0 + δy0y0 − δ0x0 − 䐨á.

1.1x0x0 + δx7’®ç­¥¥, ¥á«¨ f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®©®ªà¥áâ­®á⨠(x0 , y0 ), â® ®­ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ª¢ ¤à ⥠¢¨¤ {x0 −− δ < x < x0 + δ , y0 − δ < y < y0 + δ} á ¢ëª®«®â®© â®çª®©(x0 , y0 ) (á¬. à¨á. 1.1). ãáâì ¤«ï «î¡®£® x ∈ (x0 − δ; x0 ++ δ), x 6= x0 , áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = lim f (x, y) (áâ५ª¨ ¢­¨§y→y0¨ ¢¢¥àå ­ à¨á.

1.1). ’ ª ª ª äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©ϕ(x) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© δ -®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨x0 , â® ¬®¦­® ¯®áâ ¢¨âì ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ lim ϕ(x)x→x0(áâ५ª¨ ¢«¥¢® ¨ ¢¯à ¢® ­ à¨á. 1.1). …᫨ â ª®© ¯à¥¤¥«áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¥£® ¥áâ¥á⢥­­® ­ §¢ âì ¯®¢â®à­ë¬ ¯à¥¤¥«®¬lim ( lim f (x, y)). €­ «®£¨ç­® ¬®¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì ¤à㣮© ¯®¢x→x0 y→y0â®à­ë© ¯à¥¤¥« y→ylim ( lim f (x, y)).0 x→x0¥âà㤭® ¯à¨¢¥á⨠¯à¨¬¥à, ª®£¤ ®¡ ¯®¢â®à­ëå ¯à¥¤¥« áãé¥áâ¢ãîâ ¨ ᮢ¯ ¤ îâ, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.+ y)2 2à¨¬¥à 1.1.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨î f (x, y) = (x,x +2x + y22+ y > 0. Ž­ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨(0; 0), ¯®í⮬㠨¬¥¥â á¬ëá« ¯®áâ ­®¢ª ¢®¯à®á ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨ limf (x, y).  áᬮâਬ á­ ç « ¯®¢â®à­ë¥ ¯à¥¤¥«ë.x→0y→02+ y)x„«ï «î¡®£® x 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = lim (x22 = 2 = 1,xy→0 x + y¯®í⮬㠯®¢â®à­ë© ¯à¥¤¥« lim (lim f (x, y)) = 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги