Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

€­ «®£¨ç­®,2x→0 y→022+ y)¤«ï «î¡®£® y 6= 0 áãé¥áâ¢ã¥â ψ(y) = lim (x= y 2 = 1, ¨2x+ y2yx→0¤à㣮© ¯®¢â®à­ë© ¯à¥¤¥« â ª¦¥ à ¢¥­ 1.’¥¬ ­¥ ¬¥­¥¥ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥,f (x, x) = 2; f (x, −x) = 0. …᫨ ¡ë ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠(xk , yk ) 6=6= (0, 0) â ª®©, çâ® lim (xk , yk ) = (0, 0), ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à k→∞¢¥­á⢮ lim f (xk , yk ) = b. ® ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ lim xk = 0, â®k→∞k→∞f (xk , xk ) = 2, f (xk , −xk ) = 0, â.¥. b = 2 = 0.

®«ã祭­®¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¤®ª §ë¢ ¥â ®âáãâá⢨¥ ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« .“¯à ¦­¥­¨¥ 1.1. „®ª § âì, çâ® ¤«ï ä㭪樨 f (x, y) =822= x2 − y 2 , x2 +y 2 > 0, ®¡ ¯®¢â®à­ëå ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0x +yáãé¥áâ¢ãîâ, ­® à §«¨ç­ë.½“¯à ¦­¥­¨¥ 1.2. „®ª § âì, çâ® ¤«ï ä㭪樨 f (x, y) =1= x sin y , y 6= 0; ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0 à ¢¥­ 0,0,y = 0, ¯®¢â®à­ë© ¯à¥¤¥« lim (lim f (x, y)) ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â (­¥ áãé¥áâx→0 y→0¢ã¥â ¤ ¦¥ lim f (x, y) ­¨ ¯à¨ ®¤­®¬ x 6= 0).y→0“¯à ¦­¥­¨¥ 1.3.

ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«lim f (x, y) = b, ¨ ¯à¨ «î¡®¬ x ∈ (x0 − δ; x0 + δ), x 6= x0 ,x→x0y→y0áãé¥áâ¢ã¥â ϕ(x) = y→ylim f (x, y). „®ª § âì, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â ¯®¢0â®à­ë© ¯à¥¤¥« x→xlim ϕ(x) = b.0…éñ ®¤­ ¯®¯ë⪠ᢥá⨠¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© | íâ® ¯à¥¤¥«ë ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1.3. ãáâì ~l = (cos ϕ; sin ϕ) | ¥¤¨­¨ç­ë©¢¥ªâ®à. …᫨ äã­ªæ¨ï f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 ; y0 ), â® ¥ñ ¯à¥¤¥«®¬ ¯à¨ x → x0 ,y → y0 ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à ~l (¨«¨ ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¬ã 㣫®¬ ϕ) ­ §ë¢ ¥âáï ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ρ:lim f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ).ρ→+0‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥.

‚ í⮬ á«ãç ¥ ä ªâ¨ç¥áª¨ ¢¢®¤ïâáﯮ«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë ­ ¯«®áª®á⨠á 業â஬ ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ).”¨ªá¨à®¢ ­­®¥ §­ 祭¨¥ ϕ £®¢®à¨â ® ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï à áᬠâਢ ¥âáï «¨èì ­ «ãç¥, ¢ë室ï饬 ¨§ â®çª¨ (x0 , y0 ) ¯®¤ã£«®¬ ϕ ª ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ã «ãçã ¯àאַ©, ¯ à ««¥«ì­®© ®á¨Ox.‘â६«¥­¨¥ (x, y) ª (x0 , y0 ) ¯à®¨á室¨â «¨èì ¯® í⮬㠫ãçã.à¨ ϕ = 0 ¯®«ãç ¥¬ ¯à ¢ë© ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f (x, y0 ) ¢ â®çª¥ x0 :lim f (x, y0 ),x→x0 +0 ¯à¨ ϕ =π2¯®«ãç ¥¬lim f (x0 , y).y→y0 +09“⢥ত¥­¨¥ 1.1. …᫨ áãé¥áâ¢ã¥âlim f (x, y) = b,x→x0y→y0⮯।¥« ¯® «î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¯à¨ x → x0 , y → y0 à ¢¥­ b.¤  áᬮâਬ ¯à®¨§¢®«ì­ãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì ρk ¯®«®¦¨â¥«ì­ëå ç¨á¥« â ªãî, çâ® lim ρk = 0.

’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìk→∞­®áâì â®ç¥ª (xk , yk ) = (x0 + ρk cos ϕ, y0 + ρk sin ϕ) áâ६¨âáïª â®çª¥ (x0 , y0 ), ¯à¨çñ¬ (xk , yk ) 6= (x0 , y0 ). ’®£¤ lim f (x0 +k→∞+ρk cos ϕ, y0 +ρk sin ϕ) = b, â.¥. lim f (x0 +ρ cos ϕ, y0 +ρ sin ϕ) =ρ→+0= b (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­ë ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ¯à¥¤¥« ¯® ƒ¥©­¥ ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå x, y ¨ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ρ).

¥Žâáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥á«¨ ¯à¥¤¥«ë ä㭪樨 f (x, y) ¯® ¤¢ã¬à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) à §«¨ç­ë, â® ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.’ ª, ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =(ρ cos ϕ + ρ sin ϕ)2= (cos ϕ + sin ϕ)2ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ(¯à¨ ϕ = π4 ¨¬¥¥¬ 2; ¯à¨ ϕ = − π4 ¨¬¥¥¬ 0). ® à §«¨ç­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ à §«¨ç­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.‚®§­¨ª ¥â ¢®¯à®á: ¬®¦¥â ¡ëâì, ¥á«¨ ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î äã­ªæ¨ï f (x, y) ¨¬¥¥â ¯à¨ x → x0 , y → y0 ®¤¨­ ¨ â®â¦¥ ¯à¥¤¥« b, â® ¨ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ b? Š ᮦ «¥­¨î, íâ®­¥¢¥à­®.à¨¬¥à 1.2.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x2 y,x4 + y 2x2 + y 2 > 0.ãáâì x → 0, y → 0. ¥à¥å®¤¨¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬.f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =ρ cos2 ϕ sin ϕρ3 cos2 ϕ sin ϕ=.ρ4 cos4 ϕ + ρ2 sin2 ϕρ2 cos4 ϕ + sin2 ϕ…᫨sin ϕ = 0, â® ¯®á«¥¤­¥¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­® 0 ¯à¨ «î¡®¬ρ > 0. …᫨ sin ϕ 6= 0, â® ¢áñ à ¢­® lim f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = 0.ρ→+0ˆâ ª, ¯® «î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¯à¥¤¥« f (x, y) ¯à¨ x → 0, y →→ 0 à ¢¥­ 0. ® «¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f (x, x2 ) = 12 . €­ «®£¨ç­®10à áá㦤¥­¨î ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1.1: ¥á«¨ xk 6= 0 ¨ lim xk = 0, â®k→∞12f (xk , 0) = 0, f (xk , xk ) = 2 . „¢®©­®© ¯à¥¤¥« lim f (x, y) ­¥x→0y→0áãé¥áâ¢ã¥â.Š ª ¦¥ ¬®£«® ¯à®©§®©â¨ â ª,çâ® ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨îA¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0 (¢à®¤¥ ¡ë, ª ª­¨ ¨¤â¨ ª â®çª¥, ¢áñ à ¢­® 0),B ¯® ¯ à ¡®«¥ ¯®«ãç ¥¬ ¤à㣮¥ ç¨á«® 12 ? ‚®§ì¬ñ¬, ­ ¯à¨Cx ¬¥à, â®çªã A ­ à¨á.

1.2. ‡­ 0祭¨¥ f (A) = 12 , ­® ¯à¥¤¥«f (~x) ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î AO à ¢¥­ 0. ’® ¦¥ ¬®¦­® ᪠§ âì¯à® â®çª¨ B , C , . . . , «¥¦ 騥¨á. 1.2­ ¯ à ¡®«¥. ‚® ¢á¥å íâ¨å â®çª å äã­ªæ¨ï ¯à¨­¨¬ ¥â §­ 祭¨¥ 12 . —¥¬ ¡«¨¦¥ â ª ï â®çª ª ­ ç «ã ª®®à¤¨­ â, ⥬ ª®à®ç¥ ®â१®ª, ­ ª®â®à®¬ äã­ªæ¨ï ¤®«¦­ ý㯠áâìþ ®â §­ 祭¨ï 12 ¤® §­ 祭¨ï 0, ­® â ª®© ®â१®ª ¨¬¥¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­ã¨­ã, ¨ áâ६«¥­¨¥ ä㭪樨 ª ­ã«î ¢¤®«ì í⮣® ®â१ª ­¨ç¥¬ã ­¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â.y‘®¢¥à襭­® ïá­®, çâ® ¥á«¨ 㤠áâáï ¤®¡¨âìáï áâ६«¥­¨ïª ­ã«î ¯® «î¡®© ¯ à ¡®«¥, â® ¬®£ãâ ­ ©â¨áì ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ªà¨¢ë¥ (­ ¯à¨¬¥à, á¯¨à «¨), ¯® ª®â®àë¬ áâ६«¥­¨ï ª ­ã«î­¥ ¡ã¤¥â. Œ®¦¥â ᮧ¤ áâìáï ¢¯¥ç â«¥­¨¥, çâ® ­¥¢®§¬®¦­® ¤®¡¨âìáï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . ® ¨ íâ® ­¥¢¥à­®.à®áâ® ¬ë ­ ¨¢­® áç¨â ¥¬, çâ® ¯®­ï⨥ ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« ¬®¦­® ᢥá⨠¨áª«îç¨â¥«ì­® ª ¯à¥¤¥« ¬ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.

â® ¤¥©á⢨⥫쭮 ­¥¢®§¬®¦­®, ¨ ­ã¦­ë ¤à㣨¥¬¥â®¤ë ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï.11§ 3.„®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¤¢®©­®£®¯à¥¤¥« “⢥ত¥­¨¥ 1.2. ãáâì äã­ªæ¨ï f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® ρ0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ϕ ¨ ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0 )¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) − b| 6 F (ρ),£¤¥lim F (ρ) = 0.ρ→+0’®£¤ ¤¢®©­®© ¯à¥¤¥«¤lim f (x, y) = b.x→x0y→y0ˆ§ ãá«®¢¨ï á«¥¤ã¥â, çâ®∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀ ρ ∈ (0; δ) → F (ρ) < ε.„«ï ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨ (x, y) ¯«®áª®á⨠®¯à¥¤¥«¨¬ ç¨á« ρ¨ ϕ â ª, çâ® x = x0 + ρ cos ϕ, y = y0 + ρ sin ϕ (â.¥.

¢¢¥¤ñ¬¯®«ïà­ë¥ª®®à¤¨­ âë á 業â஬ ¢ â®çª¥ (x0 , y0 )). ’®£¤ ρ =p= (x −px0 )2 + (y − y0 )2 . ®í⮬㠤«ï ¢á¥å â®ç¥ª (x; y) â ª¨å,çâ® 0 < (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ, ¢ë¯®«­ï¥âáï ­¥à ¢¥­á⢮|f (x, y) − b| = |f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) − b| 6 F (ρ) < ε. â®¨ ®§­ ç ¥â, çâ® x→xlim f (x, y) = b.¥0y→y0à¨¬¥à 1.3.  áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x2 y,+ y2x2x2 + y 2 > 0.‚¢¥¤ñ¬ ¯®«ïà­ë¥ ª®®à¤¨­ âë á 業â஬ ¢ â®çª¥ (0; 0): x == ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ.ρ3 cos2 ϕ sin ϕ= ρ cos2 ϕ sin ϕ.’®£¤ f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = ρ2 (cos2ϕ + sin2 ϕ)’ ª ª ª |f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)| 6 ρ → 0, â® limf (x, y) = b.x→0y→0‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 1. ƒàã¡® ®è¨¡®ç­ë¬ ï¥âáï à áá㦤¥­¨¥: lim ρ cos2 ϕ sin ϕ = 0, á«¥¤®¢ ⥫쭮, limf (x, y) =x→0ρ→+0= 0.y→0 á ¬®¬ ¤¥«¥, ¬ë ¤®ª § «¨ ⮫쪮 â®, çâ® ¯à¥¤¥« f (x, y)¯à¨ x → 0, y → 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0.

Š ª ¬ë12¢¨¤¥«¨, í⮣® ¥éñ ­¥¤®áâ â®ç­® ¤«ï ­ «¨ç¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . ã¦­ ®æ¥­ª ¬®¤ã«ï à §­®á⨠f (x, y) − b ᢥàåã ä㭪樥© ⮫쪮 ®â ρ, ­¥ § ¢¨áï饩 ®â ϕ ¨ áâ६ï饩áï ª ­ã«î¢¬¥á⥠á ρ.‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ 2. ¥ á«¥¤ã¥â ¤ã¬ âì, çâ® ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ ï¥âáï ¥¤¨­á⢥­­ë¬ ᯮᮡ®¬ ¤®ª § ⥫ìá⢠­ «¨ç¨ï ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« . à¨¢¥¤ñ¬ ¥éñ®¤­® à¥è¥­¨¥ ¯à¨¬¥à 1.3. „«ï «î¡ëå ç¨á¥« x, y ¨¬¥¥â ¬¥áâ®22­¥à ¢¥­á⢮ |xy| 6 x +2 y . ‡­ ç¨â, f (x, y) = x · x2 xy|+ y2¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãîäã­ªæ¨î x2 xy.

®í⮬ã f (x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï äã­ª+ y2æ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0.à¨¢¥¤ñ­­®¥ à¥è¥­¨¥ §­ ç¨â¥«ì­® ¡®«¥¥ ý¨áªãáá⢥­­®þ,祬 ¯¥à¢®¥. Œ¥â®¤ ¢¢¥¤¥­¨ï ¯®«ïà­ëå ª®®à¤¨­ â ã­¨¢¥àá «¥­¨, ª ª ¯à ¢¨«®, ¡ëáâ॥ ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ­ã¦­ãî ®æ¥­ªã,祬 ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ª ª¨å-«¨¡® ­¥à ¢¥­á⢠­¥¯®á।á⢥­­® ¤«ïä㭪権 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, å®âï ¡ë¢ ¥â ¨ ¨­ ç¥.à¨¬¥à 1.4.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x5,x4 + y 4x2 + y 2 > 0.ˆ¬¥¥¬¯¯¯¯ρ5 cos5 ϕ¯¯6|f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)| = ¯ 4ρ (cos4 ϕ + sin4 ϕ) ¯ρρ=66sin2 2ϕ(cos2 ϕ + sin2 ϕ)2 − 2 cos2 ϕ sin2 ϕ1− 2ρ= 2ρ → 0,61 − 12¯®í⮬ãlim f (x, y) = 0.x→0y→0à¨¬¥à 1.5.  áᬮâਬ äã­ªæ¨îpln(1 + 3 x2 y 2 )f (x, y) = p,x2 + y 2x2 + y 2 > 0.13‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f (x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. ˆ¬¥¥¬f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) =ln(1 +p3ρ4 cos2 ϕ sin2 ϕ)16 ln(1 + ρ4/3 ).ρρà¥¤¥« ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© F (ρ) =¢ëç¨á«¨âì, ¯à¨¬¥­ïï ä®à¬ã«ã ’¥©«®à :14/3ρ ln(1+ρ ) ¬®¦­®ln(1 + ρ4/3 )ρ4/3 + o(ρ4/3 )= lim= 0;ρ→+0ρ→+0ρρlim¯®í⮬ãlim f (x, y) = 0.x→0y→0ˆ­®£¤ ¯®«ã祭¨¥ ­ã¦­®© ®æ¥­ª¨ ᢥàåã âॡã¥â §­ ç¨â¥«ì­ëå ãᨫ¨©.à¨¬¥à 1.6.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨îp3x3 + y 4 − xf (x, y) = p,x2 + y 2x2 + y 2 > 0.Ž¯ïâì-â ª¨ f (x, y) > 0 ¯à¨ x2 + y2 > 0. ˆ¬¥¥¬p3ρ3 cos3 ϕ + ρ4 sin4 ϕ − ρ cos ϕf (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) ==ρqp3= cos3 ϕ + ρ sin4 ϕ − cos ϕ 6 3 cos3 ϕ + ρ − cos ϕ.ãáâì cos ϕ = t ∈ [−1; 1]. ’®£¤ 0 6 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 g(t, ρ) =p3 3t + ρ − t.à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ρ ­ ©¤ñ¬ F (ρ) =à®¨§¢®¤­ ï ä㭪樨 g(t, ρ) ª ª ä㭪樨 ®â= max g(t, ρ).−16t61¯à¨ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ρ à ¢­ 13 (t3 + ρ)−2/3 · 3t2 − 1. Ž­ ®¡232/36632à é ¥âáï ¢ ­ã«ì,q ¥á«¨ t = (t + ρ) , â.¥. t = t + 2t ρ + ρ ,®âªã¤ t = − 3 ρ2 .

à¨ ¤®áâ â®ç­® ¬ «ëå ρ íâ® §­ 祭¨¥ t¯à¨­ ¤«¥¦¨â ®â१ªã [−1; 1], ¨ ¤«ï ­ 宦¤¥­¨ï F (ρ) ­ã¦­®t14¢ë¡à âì ­ ¨¡®«ì襥 ¨§ âàñå ç¨á¥«:rµ r¶ rρρρ p33g −, ρ = − + ρ + 3 = 3 4ρ;222pρg(1, ρ) = 3 1 + ρ − 1 ∼ , ρ → +0;3pρ3g(−1, ρ) = −1 + ρ + 1 ∼ , ρ → +0.3√à¨ ¬ «ëå ρ ­ ¨¡®«ì訬 ¨§ íâ¨å ç¨á¥« ¡ã¤¥â 3 4ρ; §­ ç¨â,­ ©¤ñâáï ρ0 > 0 â ª®¥, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ρ ∈ (0; ρ0 ) ¨¬¥îâ ¬¥áâ®­¥à ¢¥­á⢠p0 6 f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) 6 3 4ρ.‘«¥¤®¢ ⥫쭮, lim f (x, y) = 0.x→0y→0“¯à ¦­¥­¨¥ 1.4. „®ª § âì, çâ®: )¢)3lim p x6 y= 0;x + y6py + y sin x = 0;lim x sinx→0x2 + y 2y→0x→0y→0parctg |x|5 + y 6= 0;x2 + y 2¡)lim£)1 − cos xlim p342 2x→0y→0x − x y + y4x→0y→0= 0.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.5.

Характеристики

Список файлов книги