Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967), страница 6

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. . , x0n ), ¥á«¨ ¢á¥ ¥ñ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ∂x, ...,1∂f∂xn ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ í⮩ â®çª¥ ª ª ä㭪樨 n ¯¥à¥¬¥­­ëå.„®áâ â®ç­®¥ ãá«®¢¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠⥯¥àì ¬®¦¥â¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ­® â ª: ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (x1 , . . . , xn ) ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥, â® ®­ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ í⮩ â®çª¥.|x| + |y| XXXXXXzp|xy|­¥¯à¥à뢭®áâì35©©©©¼©¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®áâìç áâ­ë¥¯à®¨§¢®¤­ë¥­¥¯à¥à뢭ëáãé¥áâ¢ãîâç áâ­ë¥¯à®¨§¢®¤­ë¥HYHHHH¡µ¡(¡2(x + y),x2 + y 21,§ 3.HHHHx2 + y 2 > 0;x=y=0p3x2 y 2¨á. 3.4„¨ää¥à¥­æ¨ «. ˆ­¢ ਠ­â­®áâì ä®à¬ë¤¨ää¥à¥­æ¨ « ’ ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ á«ãç ¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, «¨­¥©­ ï ç áâì ¯à¨à 饭¨ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 ­ §ë¢ ¥âáï ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¬ ä㭪樨 ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¥.

 ¯®¬­¨¬, çâ® ¯à¨à 饭¨¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆f (x01 , . . . , x0n ) = A1 ∆x1 + . . . + An ∆xn + o(ρ).‹¨­¥©­ ï ç áâì ¯à¨à 饭¨ï A1 ∆x1 + . . .+An ∆xn | íâ® ¨ ¥áâ줨ää¥à¥­æ¨ «. Ž¡®§­ ç ¥âáï íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ df (x01 , . . . , x0n ).à¨à 饭¨ï ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ∆x1 , .

. . , ∆xn ¯à¨­ïâ® ­ §ë¢ âì ¨å ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ¬¨ ¨ ®¡®§­ ç âì dx1 , . . . ,dxn .’ ª ª ª ¤«ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®© ä㭪樨 Ai =∂f= ∂x (x01 , . . . , x0n ), â®idf =∂f∂fdx1 + . . . +dxn∂x1∂xn(3.2)(df ¨ §­ 祭¨ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå à áᬠâਢ îâáï ¢ â®çª¥(x01 , . . . , x0n )).36ˆ¬¥¥â ¬¥á⮠⥮६ ® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬®á⨠᫮¦­®©ä㭪樨.ãáâì äã­ªæ¨ï f (x1 , . .

. , xn ) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(x01 , . . . , x0n ), ä㭪樨 x1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn (t1 , . . . , tk )¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë ¢ â®çª¥ (t01 , . . . , t0k ). ’®£¤ , ¥á«¨ x01 == x1 (t01 , . . . , t0k ), . . . , x0n = xn (t01 , . . . , t0k ), â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï f (x1 (t01 , . . . , t0k ), . . . , xn (t01 , . . . , t0k )) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢â®çª¥ (t01 , . . .

, t0k ), ¯à¨çñ¬ ¤«ï ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå í⮩ä㭪樨 ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ t1 , . . . , tk ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë:n∂f∂f ∂x1∂f ∂xn X ∂f ∂xj=·+ . . .+·=, i = 1, 2, . . . , k.∂ti∂x1 ∂ti∂xn ∂ti∂xj ∂tij=1— áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ti ¡¥àãâáï ¢ â®çª¥(t01 , . . . , t0k ), ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ¯¥à¥¬¥­­ë¬ xj | ¢â®çª¥ (x01 , . . .

, x0n ).Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ ¢á¥ à áᬠâਢ ¥¬ë¥ ä㭪樨 ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ë, ¢á¥£® «¨èì ¨¬¥îâ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¢ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å â®çª å, â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï ¬®¦¥â ¨ ­¥ ¨¬¥âìç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå.  áᬮâਬ, ­ ¯à¨¬¥à, á«ãç © n = 2,k = 1. …᫨ äã­ªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ), ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© x = x(t), y = y(t) ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë ¢ â®çª¥ t0 , ¯à¨çñ¬ x0 = x(t0 ), y0 = y(t0 ), â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï f (x(t), y(t)) ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ t0 , ¯à¨∂f dx∂f dyçñ¬ dfdt = ∂x dt + ∂y dt .p”ã­ªæ¨ï f (x, y) = |xy| ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0), ­® ¨¬¥¥â ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ (¯à¨¬¥à 3.4).

…᫨ ¢§ïâìx = t, y = t (¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©),â® á«®¦­ ï äã­ªæ¨ï f (x(t), y(t)) = |t| ­¥ ¨¬¥¥â ¯à®¨§¢®¤­®© ¢â®çª¥ t = 0. â®â ä ªâp ï¥âáï ª®á¢¥­­ë¬ ¤®ª § ⥫ìá⢮¬â®£®, çâ® äã­ªæ¨ï |xy| ­¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).„¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨 n ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëåf (x1 , . . . , xn ) ¢ëà ¦ ¥âáï à ¢¥­á⢮¬ (3.2), £¤¥ dx1 , .

. . , dxn| ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå. …᫨ áç¨â âì⥯¥àì, çâ® df | ¤¨ää¥à¥­æ¨ « á«®¦­®© ä㭪樨 k ­¥§ ¢¨-37ᨬëå ¯¥à¥¬¥­­ëå t1 , . . . , tk , â®kknXXX∂f∂f ∂xj df =dti =dti =∂ti∂xj ∂tii=1i=1j=1à k!nnXX∂f X ∂xj∂f=dti =dxj .∂xj∂ti∂xjj=1i=1j=1®«ã稫®áì à ¢¥­á⢮, ­ «®£¨ç­®¥ (3.2), ⮫쪮 §¤¥áì dxj| ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ë ä㭪権 xj (t1 , .

. . , tk ). ‘®¢¯ ¤¥­¨¥ ¯®ä®à¬¥ ¯®«ã祭­®£® à ¢¥­á⢠¨ (3.2) ­ §ë¢ ¥âáï ¨­¢ ਠ­â­®áâìî ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ®â­®á¨â¥«ì­® § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå. â®â ä ªâ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­ ¯à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢.à¨¬¥à 3.6. „®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëåä㭪権 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëåd³u´v=v du − u dvv2¢ â®çª å, £¤¥ §­ ¬¥­ â¥«ì ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì.¤ „«ï ä㭪権 ¤¢ãå ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y) = xy∂f∂f1xç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ∂x = y , ∂y = − y2 .

’ ª ª ª í⨠ç áâ­ë¥¯à®¨§¢®¤­ë¥ ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª å, £¤¥ y 6= 0, â® äã­ªæ¨ï¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 , ¨df =x1dx − 2 dy.yy‚ ᨫ㠨­¢ ਠ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « , ¤«ï á«®¦­®©ä㭪樨 f (u, v) = uv ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ¡ã¤¥âdf =1uv du − u dvdu − 2 dv =.vvv2¥‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. …᫨ u, v | ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, â® à ¢¥­á⢮ ¨§ ¯à¨¬¥à 3.6 ¢ë⥪ ¥â¨§ ä®à¬ã«ë ¯à®¨§¢®¤­®© ç áâ­®£®. ‚ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âॡã¥âáï38¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¨­¢ ਠ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « . €­ «®£¨ç­® ¤®ª §ë¢ ¥âáï, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ëå ä㭪権 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëåd(uv) = u dv + v du.à¨¬¥à 3.7.

“¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥­¨¥ d³´arctg uv ,£¤¥ uv |¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ¯à®¨§¢®«ì­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¯à¨çñ¬ §­ ¬¥­ â¥«ì ­¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì.„«ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f (x) = arctg xdf = f 0 (x) dx =dx.1 + x2‚ ᨫ㠨­¢ ਠ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ,³ ´u´³dvv du − u dvv du − u dvv2u=·=.d arctg2 = 222uvv+uvu2 + v 21+ 2v§ 4.”®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥®¤ ä®à¬ «ì­ë¬ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥¬ ¯®­¨¬ ¥âáï ¢ëç¨á«¥­¨¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢ ¢ â¥å á«ãç ïå, ª®£¤ ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠à áᬠâਢ ¥¬®© â®çª¨äã­ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨æ¨¨ í«¥¬¥­â à­ëåä㭪権 ¨ § ¢¥¤®¬® ­¥¯à¥à뢭® ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 . ‚ëç¨á«¥­¨¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå ¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «®¢ ᢮¤¨âáï ⮫쪮ª ¯à¨¬¥­¥­¨î ¨§¢¥áâ­ëå ä®à¬ã« ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨ï ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¨ ª à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¬ ®¯¥à æ¨ï¬.à¨¬¥à 3.8.‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨f (x, y) = exy−π sin y : ) ¢ ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¥ (x, y); ¡) ¢ â®çª¥(1, π).¥à¢ë© ᯮᮡ.

 ©¤ñ¬ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¤ ­­®©ä㭪樨:∂f∂f= y · exy−π sin y ,= (x − π cos y) · exy−π sin y ,∂x∂y∂f∂f(1, π) = πeπ ,(1, π) = (1 + π)eπ .∂x∂y39®í⮬ã: ) df (x, y) = yexy−π sin y dx + (x − π cos y)exy−π sin y dy;¡) df (1, π) = πeπ dx + (1 + π)eπ dy.‚â®à®© ᯮᮡ. „«ï ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© f (u) == eu ¤¨ää¥à¥­æ¨ « df = eu du. ‚ ᨫ㠨­¢ ਠ­â­®á⨠ä®à¬ë¤¨ää¥à¥­æ¨ « : ) df (x, y) = exy−π sin y d(xy−π sin y) = exy−π sin y (y dx+x dy−− π cos y dy) = yexy−π sin y dx + (x − π cos y)exy−π sin y dy .â®â ᯮᮡ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«ïâì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « á«®¦­®©ä㭪樨 ¡¥§ ­¥¯®á।á⢥­­®£® ­ 宦¤¥­¨ï ¥ñ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå. ‚¬¥áâ® ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© ¯à®¢®¤¨âáï ®¤­®,¢®®¡é¥ £®¢®àï, ­¥áª®«ìª® ¡®«¥¥ £à®¬®§¤ª®¥.

â®â ᯮᮡ ⥬¢ë£®¤­¥¥, 祬 ¡®«ì襥 ç¨á«® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ïîâáï à£ã¬¥­â ¬¨ ä㭪樨.  ¯à¨¬¥à, ¤«ï ä㭪樨 ¯ï⨯¥à¥¬¥­­ëå ¢¬¥áâ® ¯ï⨠¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨© ­ã¦­® ¯à®¢®¤¨âì ¢á¥£® ®¤­® | í⮠㦥 áãé¥á⢥­­®¥ ®¡«¥£ç¥­¨¥. € á ¬¨ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥, ¥á«¨ ®­¨ ­ã¦­ë, ¬®£ãâ ¡ëâì á®¡à ­ëª ª ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ ¤¨ää¥à¥­æ¨ « å ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå. ‚ ­ 襬 ¯à¨¬¥à¥∂f= yexy−π sin y ;∂x∂f= (x − π cos y)exy−π sin y .∂y¡) df (1, π) = πeπ dx + (1 + π)eπ dy.à¨¬¥à³ ´3.9.‚ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥­æ¨ « ä㭪樨1/zf (x, y, z) = x¢ â®çª¥ (1, 1, 1).y¥à¢ë© ᯮᮡ. à¥¤áâ ¢¨¬ äã­ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ á㯥௮§¨-樨 í«¥¬¥­â à­ëå:µf (x, y, z) = expx1lnzy¶.40 ©¤ñ¬ ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥:∂f= exp∂x∂f= exp∂y∂f= exp∂zµµµµ ¶1 y 11 x 1/z=;z xyxz y¶µ¶µ ¶x 1 yx1 x 1/zln;− 2 =−y z xyyz y¶¶µµ ¶xx11x x 1/zlnln− 2 = − 2 ln;yyzzy y1xlnzy1z1z¶∂f∂f(1, 1, 1) = 1;(1, 1, 1) = −1;∂x∂y∂f(1, 1, 1) = 0; df (1, 1, 1) = dx − dy.∂z‚â®à®© ᯮᮡ.d(eu ) = eu du,­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ää¥à¥­æ¨ « µdf (x, y, z) = exp’ ª ª ª d(ln u) =ä¥à¥­æ¨ « ¯®í⮬㠢 ᨫ㠨­¢ ਠ­â-¶ µ¶1xdln=zyµ ¶1/z ·µ¶µ ¶¸x1xx1=·d ln+ ln · d.yzyyz1xlnzy1u du,â® ¢ ᨫ㠨­¢ ਠ­â­®á⨠ä®à¬ë ¤¨ä-µ¶µ ¶xyxy y dx − x dyy dx − x dyd ln= d= ·.=2yxyxyxy®í⮬㵠¶1/z µ¶xy dx − x dy1xdf (x, y, z) =− 2 ln;yxyzzydf (1, 1, 1) = dx − dy.”®à¬ «ì­®¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à®¢ ­¨¥ ¯à¨¬¥­ï¥âáï ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ § ¬¥­ë ¯¥à¥¬¥­­ëå ¢ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ëå ãà ¢­¥­¨ïå áç áâ­ë¬¨ ¯à®¨§¢®¤­ë¬¨.41à¨¬¥à 3.10.

à¥®¡à §®¢ âì ãà ¢­¥­¨¥, ¯à¨­¨¬ ï ξ , η § ­®¢ë¥ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥­­ë¥:∂z∂z=,∂x∂yξ = x + y,η = x − y.„«ï í⮣® ­ã¦­® ¢ëà §¨âì ç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ®â ä㭪樨 z ¯® ýáâ àë¬þ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ x, y ç¥à¥§ ¥ñç áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥ ¯® ý­®¢ë¬þ ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥­­ë¬ ξ ,η . ® ä®à¬ã«¥ ç áâ­ëå ¯à®¨§¢®¤­ëå á«®¦­®© ä㭪樨 ¨¬¥¥¬∂z∂z ∂ξ∂z=+∂x∂ξ ∂x ∂η∂z∂z ∂ξ∂z=+∂y∂ξ ∂y ∂η∂η∂z ∂z=+;∂x∂ξ ∂η∂η∂z ∂z=−.∂y∂ξ ∂珮¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢­¥­¨¥, ¯®«ã稬∂z ∂z∂z ∂z+=−.∂ξ ∂η∂ξ ∂η‚ ­®¢ëå ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ãà ¢­¥­¨¥ ¨¬¥¥â ¢¨¤∂z∂η = 0.¥è¥­¨ï¬¨ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨àã¥¬ë¥ ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ξ , ¯®í⮬㠮¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ãà ¢­¥­¨ï ¯à¨­ïâ® § ¯¨áë¢ âì ¢ ¢¨¤¥ z = f (x + y), £¤¥ f |¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.‡ ¤ ç ­¥áª®«ìª® ãá«®¦­ï¥âáï, ¥á«¨ ® § ¤ ­® ¢ëà ¦¥­¨¥ ýáâ àëåþ ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå ç¥à¥§ ­®¢ë¥, ®¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ ¢ ®¬ ¢¨¤¥ ­ ¯¨á âì á«®¦­® ¨«¨ ­¥ 㤠ñâá®¡é¥.∂uà¨¬¥à 3.11.

¥è¨âì ãà ¢­¥­¨¥ x ∂u∂y − y ∂x = 0, ¯à¥®¡à §®¢ ¢ ¥£® ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ x = r cos ϕ, y = r sin ϕ.Ž¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ r, ϕ ç¥à¥§ x, y £à®¬®§¤ª® ¨ ­¥®¤­®∂u∂u∂u§­ ç­®, ¯®í⮬㠢ëà §¨¬ á­ ç « ∂u∂r ¨ ∂ϕ ç¥à¥§ ∂x ¨ ∂y , ¯®â®¬ ¯®«ã稬 ®¡à â­®¥ ¢ëà ¦¥­¨¥ (§¤¥áì ¯à¨¤ñâáï à¥è âì42㦥 «¨­¥©­ãî á¨á⥬ã ãà ¢­¥­¨©). ˆ¬¥¥¬∂u∂u ∂x ∂u=+∂r∂x ∂r∂y∂u∂u ∂x ∂u=+∂ϕ∂x ∂ϕ ∂y∂y∂u∂u=cos ϕ +sin ϕ;∂r∂x∂y∂y∂u∂u=−· r sin ϕ +· r cos ϕ.∂ϕ∂x∂y(3.3)“¬­®¦¨¬ ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.3) ­ r sin ϕ, ¢â®à®¥ ­ cos ϕ, § ⥬ á«®¦¨¬ ¯®«ã祭­ë¥ à ¢¥­á⢠.

®«ã稬:râ.¥.∂u∂u∂u= r sin ϕ ·+ cos ϕ ·,∂y∂r∂ϕ∂u∂u cos ϕ ∂u= sin ϕ ·+.∂y∂rr ∂ϕ…᫨ ⥯¥àì 㬭®¦¨âì ¯¥à¢®¥ ¨§ à ¢¥­á⢠(3.3) ­ r cos ϕ, ¢â®à®¥ ­ sin ϕ, § ⥬ ¢ëç¥áâì ¨§ ¯¥à¢®£® ¢â®à®¥, â® ¯®«ã稬r∂u∂u∂u= r cos ϕ ·− sin ϕ ·,∂x∂r∂ϕ∂u∂u sin ϕ ∂u= cos ϕ ·−.∂x∂rr ∂ϕâ.¥.®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室­®¥ ãà ¢­¥­¨¥, ¨¬¥¥¬x sin ϕ∂u y sin ϕ ∂u∂u x cos ϕ ∂u+− y cos ϕ+= 0.∂rr∂ϕ∂rr∂ϕ’ ª ª ª x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, â® ç«¥­ë, ᮤ¥à¦ 騥㭨ç⮦ âáï, ¨ ãà ¢­¥­¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤∂u ,∂r∂u= 0.∂ϕ¥è¥­¨¥¬ í⮣® ãà ¢­¥­¨ï ïîâáï ¢á¥ ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬ë¥ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© r, ¯®í⮬㮡饥 à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥p­¨ï § ¯¨áë¢ ¥âáï ¢ ¢¨¤¥ u = f ( x2 + y2 ), ¨«¨, çâ® ¯à®é¥, u == f (x2 + y 2 ), £¤¥ f | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¤¨ää¥à¥­æ¨à㥬 ï äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©.ˆ­®£¤ ¢ ãà ¢­¥­¨ïå ᮢ¥àè îâáï ¡®«¥¥ á«®¦­ë¥ § ¬¥­ë,ª á î騥áï ­¥ ⮫쪮 ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ­® ¨ ­¥¨§¢¥áâ­ëå ä㭪権.43à¨¬¥à 3.12.

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