Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

lim f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ).ρ→+0x→x0 +0‚®®¡é¥, ¥á«¨ x→xlim f (x, y0 ) = f (x0 , y0 ), â® £®¢®àïâ ® ­¥¯à¥àë¢0­®á⨠ä㭪樨 f (x, y) ¯® x ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ) (­¥¯à¥à뢭®áâì ¯®­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à (1; 0) | íâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® x á¯à ¢ ).€­ «®£¨ç­®, ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à (0, 1) |íâ® ­¥¯à¥à뢭®áâì ¯® y á¯à ¢ .((x + y)2, x2 + y 2 > 0; ­¥¯à¥à뢭 ”ã­ªæ¨ï f (x, y) =x2 + y 2lim f (x0 + ρ, y0 ) = f (x0 , y0 ),1,x=y=0ª ª ¯® x, â ª ¨ ¯® y ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.1).

â® §­ ç¨â,çâ® ®­ ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ¢¥ªâ®à®¢(1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0, −1). ® ¢á¥¬ ®áâ «ì­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬®­ ­¥ ¡ã¤¥â ­¥¯à¥à뢭®©, â ª ª ª f (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ) = (cos ϕ ++ sin ϕ)2 , íâ® ¢ëà ¦¥­¨¥ à ¢­® 1 ⮫쪮 ¯à¨ ϕ = π2 k ,k ∈ Z,ç⮠ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ ç¥âëàñå 㪠§ ­­ëå ¢¥ªâ®à®¢.22(”ã­ªæ¨ï f (x, y) =x2 y,x + y240,x2 + y 2 > 0; ­¥¯à¥à뢭 ¯®x=y=0(0, 0), ­® ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢-«î¡®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢ â®çª¥­®© ¢ í⮩ â®çª¥ (á¬.

¯à¨¬¥à(1.2).€ ¢®â äã­ªæ¨ï f (x, y) =x2 y,x + y220,x2 + y 2 > 0;x=y=0ï¥âáï­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ (0, 0) (á¬. ¯à¨¬¥à 1.3).…᫨ ä㭪樨 f (x, y) ¨ g(x, y) ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ),â® ¨å á㬬 , ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¨ ç áâ­®¥ â ª¦¥ ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ í⮩â®çª¥ (¢ ¯®á«¥¤­¥¬ á«ãç ¥ ­ ¤® âॡ®¢ âì, ç⮡ë g(x0 , y0 ) 6=6= 0).

®í⮬ã ä㭪樨 ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.1{1.3 ­¥¯à¥àë¢­ë ¢ª ¦¤®© â®çª¥, ®â«¨ç­®© ®â (0, 0); ¯®á«¥¤­ïï ¯®á«¥ ¤®®¯à¥¤¥«¥­¨ï f (0, 0) = 0 áâ ­¥â ­¥¯à¥à뢭®© ¢® ¢á¥å â®çª å ¯«®áª®áâ¨;¯¥à¢ë¥ ¤¢¥, ª ª ¨å ­¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢ â®çª¥ (0, 0), ¢áñ à ¢­® ¡ã¤ãâ ¨¬¥âì ¢ í⮩ â®çª¥ à §àë¢.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.3. ’®çª (x0 , y0 ) ­ §ë¢ ¥âáï â®çª®© à §àë¢ ä㭪樨 f (x, y), ¥á«¨ f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ­¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), ­® ­¥ ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥.ˆ§ ªãàá ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ ¨§¢¥á⭠⥮६ ® ­¥¯à¥à뢭®á⨠᫮¦­®© ä㭪樨.ãáâì äã­ªæ¨ï f (x1 , .

. . , xn ) ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥(x01 , . . . , x0n ), ä㭪樨 x1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn (t1 , . . . , tk )­¥¯à¥àë¢­ë ¢ â®çª¥ (t01 , . . . , t0k ).’®£¤ , ¥á«¨ x01 =0000= x1 (t1 , . . . , tk ), . . . , xn = xn (t1 , . . . , t0k ), â® á«®¦­ ïäã­ªæ¨ï f (x1 (t1 , . .

. , tk ), . . . , xn (t1 , . . . , tk )) ­¥¯à¥à뢭 ¢â®çª¥ (t01 , . . . , t0k ).Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¢­ãâ७­¨¥ ä㭪樨 x1 , . . . , xn ¬®£ãâ ¡ëâìäã­ªæ¨ï¬¨ ®â à §­®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥­­ëå; ­ ¯à¨¬¥à, x1 == x1 (t1 , t2 ), x2 = x2 (t1 , t2 , t3 ), x3 = x3 (t1 , t2 , . . . , t10 ). ’®£¤ ¢ ª ç¥á⢥ k ¬®¦­® ¢§ïâì ­ ¨¡®«ì襥 ¨§ íâ¨å ç¨á¥«; ¢ ­ 襬á«ãç ¥ k = 10.Žâáî¤ ¨ ¨§ ­¥¯à¥à뢭®áâ¨ í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© á«¥¤ã¥â, çâ® «î¡ ï á㯥௮§¨æ¨ï í«¥¬¥­â à-23­ëå ä㭪権 ®â ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ëå ï¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ «î¡®© â®çª¥, ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠ª®â®à®© ®­ ¢ëà ¦ ¥âáï ä®à¬ã«®© ç¥à¥§ í«¥¬¥­â à­ë¥ ä㭪樨.  ¯à¨¬¥à,f (x, y) = ln(1 + sin2 (exy − 3) − x5 − y 4 ) ­¥¯à¥à뢭 ¢ «î¡®©â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨, ¢ ª®â®à®© ¢ëà ¦¥­¨¥ ¯®¤ §­ ª®¬ «®£ à¨ä¬ ¯®«®¦¨â¥«ì­®.§ 2.ˆáá«¥¤®¢ ­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪権‚ᥠ¯à¨¬¥àë í⮣® ¯ à £à ä ä®à¬ã«¨àãîâáï ®¤¨­ ª®¢®:­ ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤ ­­®© ä㭪樨.

â® §­ ç¨â,çâ® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ (x0 , y0 ) â ª®©, çâ® f (x, y) ®¯à¥¤¥«¥­ ¢­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨, ­ã¦­® ®¯à¥¤¥«¨âì, ï¥âáï «¨f (x, y) ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥ (â.¥. ®¯¨á âì ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¨ â®çª¨ à §àë¢ ).½ 2+ y 2 )xy , x2 + y 2 > 0;à¨¬¥à 2.1. f (x, y) = (x1,x = y = 0.’ ª ª ª ¯à¨ x2 + y2 > 0 f (x, y) = exy ln(x2 +y2 ) , â® ¢ ª ¦¤®© â ª®© â®çª¥ äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ª ª á㯥௮§¨æ¨ïí«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権. Žáâ ñâáï ¨áá«¥¤®¢ âì ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¢ â®çª¥ (0, 0).ãáâì g(x, y) = xy ln(x2 + y2 ). ¥à¥©¤ñ¬ ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬.|g(ρ cos ϕ, ρ sin ϕ)| = |ρ2 cos ϕ · sin ϕ · ln ρ2 | 6 2ρ2 | ln ρ|(§¤¥áì ¬ë ã竨, çâ® ln ρ < 0 ¯à¨ 0 < ρ < 1).Š ª ¨§¢¥áâ­®, lim ρ2 ln ρ = 0, ¯®í⮬ãρ→+0lim g(x, y) = 0.x→0y→0® ⥮६¥ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã ¯®¤ §­ ª®¬ ­¥¯à¥à뢭®©ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© (ã⢥ত¥­¨¥ 1.3), limf (x, y) =x→0= exp( lim g(x, y)) = e0 = 1.(0, 0).x→0y→0y→0‡­ ç¨â, f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ â®çª¥ˆâ ª, f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ½ ¢ «î¡®© â®çª¥ ¯«®áª®áâ¨.1à¨¬¥à 2.2.

f (x, y) = x sin y , y 6= 0; (á¬. ã¯à ¦­¥-­¨¥ 1.2).0,y=024 ) ”ã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0 , y0 ), £¤¥(ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©).¡) „ «¥¥, limx sin y1 = 0 (¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­®x→0y0 6= 0y→0¬ «®©ä㭪樨½x1 , y 6= 0;siny=).0,y=0f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î ϕ(y) =‡­ ç¨â, limf (x, y) = f (0, 0), ¨ äã­ªæ¨ïx→0y→0â®çª¥ (0, 0).¢)  áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, â®çªã (x0 , 0), £¤¥ x0 6= 0. „®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â x→xlim f (x, y).

…᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áã0y→0é¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (xk , yk ) â ª®©, çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , 0) ¨ (xk , yk ) 6= (x0 , 0),k→∞¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à ¢¥­á⢮ lim (xk , yk ) = b. ® ¯®á«¥¤®¢ ⥫ìk→∞000000­®á⨠(xk , yk ) ¨ (xk , yk ), £¤¥ x0k = x0 , yk0 = 2πk1+ π ; x00k = x0 ,yk00 1, k = 1,=2πk − π222, . . . , 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬,f (x0k , yk0 ) = x0 , f (x00k , yk00 ) = −x0 , â.¥. b = x0 = −x0 . ’ ª ª ªx0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â,çâ® f (x, y) à §à뢭 ¢ â®çª¥ (x0 , 0).½ arctg x − arctg y, x 6= y ;x−yà¨¬¥à 2.3. f (x, y) = x0,x = y. ) ”ã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢ «î¡®© â®çª¥ (x0 , y0 ), £¤¥y0 6= x0 (ª ª १ã«ìâ ⠯ਬ¥­¥­¨ï à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨å ®¯¥à 権ª í«¥¬¥­â à­ë¬ äã­ªæ¨ï¬ ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©).¡) ® ⥮६¥ ‹ £à ­¦ ¤«ï «î¡ëå x, y ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ arctg x − arctg y = 1 +1 ξ 2 (x − y), £¤¥ â®çª ξ «¥¦¨â¬¥¦¤ã x ¨ y.

’ ª ª ª 0 < 1 +1 ξ 2 6 1, â® | arctg x−arctg y| 6 |x−− y|«î¡ëå x ¨ y. ’®£¤ f (x, y) = x · ϕ(x, y), £¤¥ ϕ(x, y) =½ ¤«ïarctg x − arctg y, x 6= y ; ‡­ ç¨â, lim f (x, y) = 0 (¯à®¨§¢¥x−y=x→00,x = y.y→0¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î25ϕ(x, y);¨§ ¯à¨¢¥¤ñ­­®© ¢ëè¥ ®æ¥­ª¨ á«¥¤ã¥â, çâ® |ϕ(x, y)| 6 1¯à¨ ¢á¥å x, y).ˆâ ª, limf (x, y) = f (0, 0), ¨ äã­ªæ¨ï f (x, y) ­¥¯à¥à뢭 ¢x→0y→0â®çª¥ (0, 0).¢)  áᬮâਬ, ­ ª®­¥æ, â®çªã (x0 , x0 ), £¤¥ x0 6= 0.

„®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â x→xlim f (x, y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥«0y→x0áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâ¨â®ç¥ª (xk , yk ) â ª®©, çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , x0 ) ¨ (xk , yk ) 6=k→∞6= (x0 , x0 ) ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ë à ¢¥­á⢮ lim f (xk , yk ) = b.k→∞y¡¢x0 , x0 + k1(xk , xk )y0 = x00x0x¨á. 2.3® (á¬. à¨á.

³2.3), ¥á«¨ ´¢§ïâì ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠(xk , xk ),xk = x0 + k1 , ¨ x0 , x0 + k1 , k = 1, 2, . . . , â® ®­¨ 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬. Žâ¬¥â¨¬,çâ®f (xk , xk ) = 0, ´³³lim f x0 , x0 + k1k→∞´arctg x0 + 1 − arctg x0k.= x0 lim1k→∞k®á«¥¤­¨© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ ¯à®¨§¢®¤­®© ä㭪樨 arctg x ¢â®çª¥ x0 , â.¥. 1 +1 x2 . ®í⮬ã b = 0 = 1 +x0x2 . ’ ª ª ª x0 6= 0,00â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f (x, y)à §à뢭 ¢ â®çª¥ (x0 , x0 ). ½x ∈ Q, y ∈ Q;à¨¬¥à 2.4. f (x, y) = xy,0,x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.26‚ ¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ ­ «¨§¥ ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©¢ à §«¨ç­ëå½ ª®­âà¯à¨¬¥à å ¢áâà¥ç ¥âáï äã­ªæ¨ï „¨à¨å«¥:1, x ∈ Q,D(x) = áᬠâਢ ¥¬ ï äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥0, x 6∈ Q.६¥­­ëå ¢ëà ¦ ¥âáï ç¥à¥§ äã­ªæ¨î „¨à¨å«¥: f (x, y) == xyD(x)D(y). )  áᬮâਬ â®çªã, «¥¦ éãî ­ ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå, â.¥.â®çªã (x0 , y0 ) â ªãî, çâ® x0 y0 = 0, â.¥.

å®âï ¡ë ®¤­® ¨§ §­ 祭¨© x0 ¨«¨ y0 ®¡à é ¥âáï ¢ ­ã«ì. ãáâì, ¤«ï ®¯à¥¤¥«ñ­­®áâ¨,x0 = 0. ’®£¤ , ¥á«¨ ¢§ïâì ®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨ (0, y0 ) à ¤¨ãá 1,â® ¢ ­¥© |y| < |y0 | + 1, ¨ |yD(x)D(y)| < |y0 | + 1. ®í⮬ã äã­ªæ¨ï f (x, y) ¥áâì ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樨 x ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî äã­ªæ¨î yD(x)D(y). ‡­ ç¨â, limf (x, y) = 0 =x→0= f (0, y0 ).”ã­ªæ¨ïf (x, y)y→y0­¥¯à¥à뢭 ¢ à áᬠâਢ ¥¬®©â®çª¥.¡)  áᬮâਬ â®çªã, ­¥ «¥¦ éãî ­ ª®®à¤¨­ â­ëå ®áïå,â.¥. â®çªã (x0 , y0 ) â ªãî, çâ® x0 y0 6= 0. „®ª ¦¥¬, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â x→xlim f (x, y). …᫨ ¡ë íâ®â ¯à¥¤¥« áãé¥á⢮¢ « ¨ à ¢0y→y0­ï«áï b, â® ¤«ï «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (xk , yk ) â ª®©,çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , y0 ) ¨ (xk , yk ) 6= (x0 , y0 ), ¢ë¯®«­ï«®áì ¡ëk→∞à ¢¥­á⢮ lim f (xk , yk ) = b.

® ¤«ï «î¡ëå ¤¥©á⢨⥫ì­ëåk→∞ç¨á¥« x0 , y0 ­ ©¤ãâáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠à 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« x0k , yk0 , ¨àà 樮­ «ì­ëå ç¨á¥« x00k , yk00 â ª¨¥, çâ® lim x0k =k→∞= x0 , lim x00k = x0 , x0k 6= x0 , x00k 6= x0 ; lim yk0 = y0 , lim yk00 =k→∞k→∞k→∞= y0 , yk0 6= y0 , yk00 6= y0 . ’®£¤ ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª (x0k , yk0 )¨ (x00k , yk00 ) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ­ã¦­ë¬ ãá«®¢¨ï¬; f (x0k , yk0 ) = x0k yk0 ;lim f (x0k , yk0 ) = x0 y0 , f (x00k , yk00 ) = 0. ®í⮬ã b = x0 y0 = 0.k→∞’ ª ª ª x0 y0 6= 0, â® ¬ë ¯®«ã稫¨ ¯à®â¨¢®à¥ç¨¥, ª®â®à®¥¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® f (x, y) à §à뢭 ¢ â®çª¥ (x0 ; y0 ).“¯à ¦­¥­¨¥ 2.1.  ©â¨ ¢á¥ â®çª¨ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¤ ­­®© ä㭪樨: ( ³´x+yp32 + y2x, x2 + y 2 > 0, ) f (x, y) =0,x = y = 0;27½¡) f (x, y) =¢) f (x, y) =£)(x2 + y 2 ) cos 12 , x 6= 0,xx = 0;( 0,x3 y − x2 y 2,x3 − y 3½ 0,2x + y2,f (x, y) =0,x 6= y ,x = y;x ∈ Q, y ∈ Q,x 6∈ Q ¨«¨ y 6∈ Q.III. „ˆ””……–ˆ“…ŒŽ‘’œ ”“Š–ˆˆ…‘ŠŽ‹œŠˆ• ……Œ…›•§ 1.— áâ­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3.1.

Характеристики

Список файлов книги