Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

„®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ãîâ: )¢)§ 4.limx→0y→0limx→0y→0x3 y;x + x2 y 2 + y 443x y;x6 + y 2¡)limx3 y;x + y4£)limln(1 + xy).x2 + y 2x→0y→0x→0y→06Ž ¯à¨¬¥­¥­¨¨ ®¤­®¬¥à­®© ä®à¬ã«ë ’¥©«®à ª ¢ëç¨á«¥­¨î ¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢”®à¬ã« ’¥©«®à ¤«ï ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ë宯¨à ¥âáï ­ ¯®­ï⨥ ¤¨ää¥à¥­æ¨ « n-£® ¯®à浪 ¨ ¢®§­¨ª ¥â ¢ ªãàá å ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ §­ ç¨â¥«ì­® ¯®§¦¥,祬 ¯®­ï⨥ ¯à¥¤¥« .

® ­¥ á«¥¤ã¥â § ¡ë¢ âì ® ⮬, çâ®,¯à¨áâã¯ ï ª ¨§ã祭¨î ¬­®£®¬¥à­®£® ­ «¨§ , áâ㤥­âë 㦥§­ ª®¬ë á ä®à¬ã«®© ’¥©«®à ¤«ï ä㭪権 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©, ¨, ¥áâ¥á⢥­­®, ¯ëâ îâáï ¯à¨¬¥­ïâì ¥ñ ª ¢ëç¨á«¥­¨î¤¢®©­ëå ¯à¥¤¥«®¢. ®¯ëâ ¥¬áï ¢ëïá­¨âì, ­ ᪮«ìª® íâ® ¤®¯ãá⨬®. Ž£à ­¨ç¨¬áï ä®à¬ã«®© Œ ª«®à¥­ (à §«®¦¥­¨¥ ¢®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 0).15Š ª ¨§¢¥áâ­®, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ϕ(u) ¨¬¥¥ânPϕ(k) (0) knn ¯à®¨§¢®¤­ëå ¢ â®çª¥ 0, â® ϕ(u) =k! u + o(u ) ¯à¨k=0u → 0 (ä®à¬ã« ’¥©«®à á ®áâ â®ç­ë¬ ç«¥­®¬ ¢ ä®à¬¥ ¥ ­®); íâ® ®§­ ç ¥â, çâ®ϕ(u) −nPϕ(k) (0)k=0unlimu→0k!uk(1.1)= 0.ˆ¬¥¥â ¬¥á⮓⢥ত¥­¨¥ 1.3. (’¥®à¥¬ ® ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯à¥¤¥«ã¯®¤ §­ ª®¬ ­¥¯à¥à뢭®© ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©).

ãáâì äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y) ¨¬¥¥â ¯à¥-¤¥«lim f (x, y) = b,x→x0y→y0 äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) ­¥¯à¥-à뢭 ¢ â®çª¥ b. ’®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ¯à¥¤¥« á«®¦­®© ä㭪樨lim g(f (x, y)) =¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå x→xlim g(f (x, y)) = g(b), â.¥. x→x00= g( x→xlim f (x, y))0y→y0y→y0y→y0(§­ ª ¤¢®©­®£® ¯à¥¤¥« ¨ §­ ª ­¥¯à¥à뢭®©ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ¬®¦­® ¬¥­ïâì ¬¥áâ ¬¨).¤ ãáâì (xk , yk ) | ¯à®¨§¢®«ì­ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì â®ç¥ª¯«®áª®á⨠⠪ ï, çâ® lim (xk , yk ) = (x0 , y0 ), ¯à¨çñ¬ (xk , yk ) 6=k→∞6= (x0 , y0 ). ’®£¤ lim f (xk , yk ) = b, â.¥.

lim uk = b, £¤¥ uk =k→∞k→∞= f (xk , yk ). ’®£¤ ¨§ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 g(u) ¢ â®çª¥ bá«¥¤ã¥â, çâ® lim g(uk ) = g(b). ’ ª ª ª (xk , yk ) | ¯à®¨§¢®«ì­ ïk→∞¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮áâì â®ç¥ª, áâ६ïé ïáï ª (x0 , y0 ), ¨ â ª ï, çâ®(xk , yk ) 6= (x0 , y0 ), â® x→xlim g(f (x, y)) = g(b).¥0y→y0‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. â ⥮६ ï¥âáï ¥áâ¥á⢥­­ë¬ à á¯à®áâà ­¥­¨¥¬ ­ ¤¢ã¬¥à­ë© á«ãç © ­ «®£¨ç­®© ®¤­®¬¥à­®© ⥮६ë (f ¨ g | ä㭪樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®©), ª®â®à ï ¤®«¦­ ¤®ª §ë¢ âìáï (­®, ª ᮦ «¥­¨î, ­¥ ¢á¥£¤ ¤®ª §ë¢ ¥âáï) ¢ «î¡®¬ ªãàᥠ¬ ⥬ â¨ç¥áª®£® ­ «¨§ .ãáâì ⥯¥àì u(x, y) | äã­ªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå â ª ï,çâ® x→xlim u(x, y) = 0, ¢ ª ç¥á⢥ ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ 0 äã­ª0y→y016樨 ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© g(u) ¢®§ì¬ñ¬g(u) =nPϕ(k) (0) k ϕ(u) −uk!k=0un0,, u 6= 0;u = 0.à¨¬¥­ïï ⮫쪮 çâ® ¤®ª § ­­ãî ⥮६ã, ¨§ (1.1) ¯®«ã稬lim g(u(x, y)) = 0x→x0y→y0ϕ(u(x, y)) =nXϕ(k) (0)k!k=0⇒(u(x, y))k + o((u(x, y))n )¯à¨ x → 0, y → 0.

(1.2)®á«¥¤­¥¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.  ¯à¨¬¥à,2yex=nXx2k y kk=0k!+ o(x2n y n )pãáâì ρ = x2 + y2 . ’®£¤ ⥫쭮, |x2 y| 6 ρ3 . ’ ª ª ª¯à¨x → 0, y → 0.|x| 6 ρ, |y| 6 ρ,¨, á«¥¤®¢ -µ ¶2nµ ¶nxyo(x y ) = α(x, y)·x y = α(x, y)·ρ3n = β(x, y)·ρ3n ,ρρ2n n2n n£¤¥ β(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï äã­ªæ¨ï ¯à¨ x → 0, y → 0,ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî; ¯®í⮬ão(x2n y n ) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρ3n ).

ˆâ ª,ex2y=nXx2k y kk=0k!+ o(ρ3n )¯à¨x → 0, y → 0. ¯à ªâ¨ª¥ ç áâ® ¢áâà¥ç ¥âáï á«ãç ©, ª®£¤ u(x, y) |¬­®£®ç«¥­ ®â ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ¡¥§ ᢮¡®¤­®£® ç«¥­ (¢ í⮬á«ãç ¥ limu(x, y) = 0). Œ®¦­® ¤®ª § âì, çâ® ¯à¨ ρ 6 1 ¨¬¥¥âx→0y→0¬¥áâ® ­¥à ¢¥­á⢮ |u(x, y)| 6 Cρm , £¤¥ C | á㬬 ¬®¤ã«¥© ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¬­®£®ç«¥­ , m | ¬¨­¨¬ «ì­ ï á⥯¥­ì ®¤­®ç«¥­®¢, ¢å®¤ïé¨å ¢ ¤ ­­ë© ¬­®£®ç«¥­; ¯à¨ í⮬ o((u(x, y))n )¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ o(ρmn ). ‚ ®¡é¥¬ ¢¨¤¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮17í⮣® ä ªâ £à®¬®§¤ª®, ¯®íâ®¬ã ¬ë ¡ã¤¥¬ ¢ ª ¦¤®¬ ª®­ªà¥â­®¬ á«ãç ¥ ¯à¨¢®¤¨âì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥­¨¥.à¨¬¥à 1.7.  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î f (x, y) = arctg(xy ++ x2 − y 3 ) ¯® ä®à¬ã«¥ ’¥©«®à ¯à¨ x → 0, y → 0 ¤® o(ρ6 ).ãáâì u(x, y) = xy + x2 − y3 | ¬­®£®ç«¥­; ¬¨­¨¬ «ì­ ïá⥯¥­ì ¢å®¤ïé¨å ¢ ­¥£® ®¤­®ç«¥­®¢ à ¢­ 2.

®í⮬㠯à¨ρ 6 1 ¨¬¥¥¬|u(x, y)| 6 ρ2 + ρ2 + ρ2 = 3ρ2 ,¨ ¤«ï à §«®¦¥­¨ï f (x, y) ¤® o(ρ6 ) ­ã¦­® ¢§ïâìarctg u ¤® o(u3 ):arctg u = u −’®£¤ à §«®¦¥­¨¥u3+ o(u3 ).3arctg(xy + x2 − y 3 ) =1= xy+x2 −y 3 − (xy+x2 −y 3 )3 +o((xy−x2 −y 3 )3 ), x → 0, y → 0.3‹¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® o((u(x, y))3 ) = α(x, y)(u(x, y))3 =³´u(x, y) 3· ρ6 = o(ρ6 ), â ª ª ª äã­ªæ¨ï β(x, y) == α(x, y) ·ρ2³´u(x, y) 3= α(x, y) ·| ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y → 0,2ρª ª ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ­ ®£à ­¨ç¥­­ãî.Šà®¬¥ ⮣®, ¢ ¬­®£®ç«¥­¥ 31 (xy+x2 −y3 )3 ­ã¦­® ¢ë¡à®á¨âì¢á¥®¤­®ç«¥­ë ᥤ쬮©á⥯¥­¨ ¨ ¢ëè¥, â ª ª ª, ­ ¯à¨¬¥à,¯¯¯1¯2232¯ 3 · 3(xy + x ) · y ¯ 6 (ρ + ρ2 )2 · ρ3 = 4ρ7 , ¨ íâ® á« £ ¥¬®¥ ¥áâìo(ρ6 ).

Žª®­ç ⥫쭮arctg(xy + x2 − y 3 ) =1 3 3(x y + 3x4 y 2 + 3x5 y + x6 ) + o(ρ6 ) =311= xy + x2 − y 3 − x3 y 3 − x4 y 2 − x5 y − x6 + o(ρ6 ).33= xy + x2 − y 3 −‡ ¬ ¥ ç ­ ¨ ¥. ®¤ç¥àª­ñ¬, ¥éñ à §, çâ® ¢ íâ¨åà §«®¦¥­¨ïå ρ ï¥âáï ­¥ ­¥§ ¢¨á¨¬®©¯¥à¥¬¥­­®©, äã­ªp22樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå ρ(x, y) = x + y ; ¯®í⮬ã o(ρ6 ) ­ã¦­®¯®­¨¬ âì ª ª o((x2 + y2 )3 ) ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¤¢ãå18¯¥à¥¬¥­­ëå. ¥¯®­¨¬ ­¨¥ í⮣®, â ª¦¥ ⮣®, çâ® ¢ à ¢¥­á⢥ (1.2) u(x, y) ¤®«¦­ ¡ëâì ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樥©¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå, ¬®¦¥â ¯à¨¢¥á⨠ª ®è¨¡®ç­ë¬ ¢ë¢®¤ ¬.‚ᯮ¬­¨¬, ­ ¯à¨¬¥à, çâ® äã­ªæ¨ï ¨§ ¯à¨¬¥à 1.3 ­¥ ¨¬¥¥â¯à¥¤¥« ¯à¨ x → 0, y → 0, ¨ à áᬮâਬ ®è¨¡®ç­®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ⮣®, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥­ 0.Ÿá­®, çâ® f (x, 0) = 0 ¯à¨ x 6= 0.

…᫨ y 6= 0, â® f (x, y) =x2y=³ 2 ´2 .1 + xy’ ª ª ªlim u(x, y) = 0,ρ→+0− u3 +¨222ϕcos2 ϕu(x, y) = xy = ρρ cossin ϕ = ρ sin ϕ ,f (x, y) =o(ρ3 ); lim f (x, y) = 0.â®u= u(1 − u2 + o(u2 )) = u −1 + u2x→0y→0Žè¨¡ª á®á⮨⠢ ⮬, çâ® äã­ªæ¨ï u(x, y) ¢á¥£® «¨è쨬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ϕ (â.¥.¯à¥¤¥« ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î à ¢¥­ 0) ¨ ­¥ ï¥âáï ¡¥áª®­¥ç­® ¬ «®© ä㭪樥© ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå.  ¯¨á ­­ë¥ o ¬ «ë¥ ®¯ïâì-â ª¨ ¬®¦­® à áᬠâਢ âì «¨èì ª ª o ¬ «ë¥ ¯à¨ρ → +0 ¯à¨ ª ¦¤®¬ 䨪á¨à®¢ ­­®¬ ϕ, ¨ ¢ ¨â®£¥ ¬ë ¤®ª § «¨«¨èì â®, çâ® ¯à¥¤¥« f (x, y) à ¢¥­ 0 ¯® ª ¦¤®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î.à¨¬¥à 1.8.

 áᬮâਬ äã­ªæ¨îf (x, y) =x sin y − y sin x,(x2 + y 2 )3/2x2 + y 2 > 0.33sin y = y − y6 + o(y 3 ) = y − y6 + o(ρ3 ); sin x = x −33− x6 + o(x3 ) = x − x6 + o(ρ3 ) (§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­® â®, çâ®|x| 6 ρ, |y| 6 ρ, ¨ o(ρ3 ) ¯®­¨¬ ¥âáï ª ª o((x2 + y 2 )3/2 ) ¢ á¬ëá«¥x sin y − y sin x =¯à¥¤¥« ¯¥à¥¬¥­­ëå).’®£¤ ³ ä㭪樨 ¤¢ãå´³´’ ª ª ª33= x y − y6 + o(ρ3 ) − y x − x6 + o(ρ3 )3xy 3= yx −+ o(ρ4 );6§¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ­® â®, çâ® x · o(ρ3 ) = x · α(x, y) · ρ3 = β(x, y) · ρ4 ,£¤¥ β(x, y) = xρ · α(x, y) | ¡¥áª®­¥ç­® ¬ « ï ¯à¨ x → 0, y →¯ 3¯¯xy 3 ¯ρ4→ 0; ­ «®£¨ç­®, y · o(ρ3 ) = o(ρ4 ). ’ ª ª ª ¯ yx −¯6 3,619¡¢â® x sin y − y sin x = o(ρ3 ) + o(ρ4 ) = o(ρ3 ) = o (x2 + y2 )3/2 ,lim f (x, y) = 0.x→0y→0à¨¬¥à 1.9.

„®ª ¦¥¬, çâ®xlim x sin 2y − y2sin2x→0y→0¢ã¥â. ‚ á ¬®¬ ¤¥«¥, x sin y − y sin x =(x + y )¨­¥ áãé¥áâ-yx3 − xy 3+ o(ρ4 ),6¯®í⮬ãx sin y − y sin xyx3 − xy 3o((x2 + y 2 )2 )=+.(x2 + y 2 )26(x2 + y 2 )2(x2 + y 2 )2‚â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© ­ã«î; ¯®í⮬㠤®áâ â®ç­® ¤®ª § âì, çâ® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥« ¯à¨x → 0, y → 0. ¥à¥å®¤ï ª ¯®«ïà­ë¬ ª®®à¤¨­ â ¬ x = ρ cos ϕ,y = ρ sin ϕ, ¨¬¥¥¬sin ϕ cos3 ϕ − cos ϕ · sin3 ϕρ4 sin ϕ · cos3 ϕ − ρ4 cos ϕ · sin3 ϕ=.266ρ4 (cos2 ϕ + sin ϕ)2® à §­ë¬ ­ ¯à ¢«¥­¨ï¬ | à §­ë¥ ¯à¥¤¥«ë, §­ ç¨â, ¤¢®©­®©¯à¥¤¥« ®â ¯¥à¢®£® á« £ ¥¬®£® ¯à¨ x → 0, y → 0 ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â.“¯à ¦­¥­¨¥ 1.6.

„®ª § âì, çâ®ln(1 + x3 + y 3 ) ) lim= 0;x→0x2 + y 2y→0¡)limx→0y→0sh x · ln(y +p1 + y 2 ) − sin y · arcsin x= 0.(x2 + y 2 )5/2“¯à ¦­¥­¨¥ 1.7. „®ª § âì, çâ® ­¥ áãé¥áâ¢ãîâ: )¡)1 − cos(x3 + y 3 );x→0x6 + y 6y→0psh x · ln(y + 1 + y 2 ) − sin y · arcsin xlim.x→0(x2 + y 2 )3limy→0II. ……›‚Ž‘’œ ”“Š–ˆˆ…‘ŠŽ‹œŠˆ• ……Œ…›•§ 1.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¨ á¢ï§ì á ¯®­ï⨥¬ ¯à¥¤¥« ¥¯à¥à뢭®áâì ¢ â®çª¥ ä㭪樨 ­¥áª®«ìª¨å ¯¥à¥¬¥­­ë宯।¥«ï¥âáï â ª ¦¥, ª ª ¨ ¢ ®¤­®¬¥à­®¬ á«ãç ¥.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1.

”ã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a ∈ Rn , ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢â®çª¥ ~a, ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â lim f (~x) = f (~a).~x→~a…᫨ ¢ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à¥¤¥« ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® äã­ªæ¨ï®¯à¥¤¥«¥­ ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ­®á⨠~a, ¢ á ¬®© â®çª¥ ¬®¦¥â¡ëâì ­¥ ®¯à¥¤¥«¥­ ¢®¢á¥, ⮠⥯¥àì ®­ ¤®«¦­ ¡ëâì ®¯à¥¤¥«¥­ ¨ ¢ á ¬®© â®çª¥ ~a, ¯à¨çñ¬ ¯à¥¤¥« ¤®«¦¥­ ¡ëâì à ¢¥­ §­ 祭¨î ä㭪樨 ¢ â®çª¥.  ¯®¬­¨¬, çâ® δ -®ªà¥áâ­®áâì â®çª¨~a | íâ® ¬­®¦¥á⢮ â®ç¥ª ~x â ª¨å, çâ® ρ(~x,~a) < δ ; ¥á«¨ ¨§í⮩ δ -®ªà¥áâ­®á⨠㤠«¨âì â®çªã ~a | ¯®«ã稬 ¯à®ª®«®âãà¥áâ­®áâì. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠¬®¦­® à áè¨ä஢ âì ª ª ¢ â¥à¬¨­ å Š®è¨, â ª ¨ ¢ â¥à¬¨­ å ƒ¥©­¥.® Š®è¨: äã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®£® ¯®«®¦¨â¥«ì­®£® ç¨á« ε ­ ©¤ñâáï â ª®¥ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¥ ç¨á«® δ , çâ® ¤«ï ¢á¥å ~x ¨§ δ -®ªà¥áâ­®á⨠~a ¢ë¯®«­ï¥âáï­¥à ¢¥­á⢮ |f (~x) − f (~a)| < ε. ï§ëª¥ ª¢ ­â®à®¢:∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀ x, ρ(~x,~a) < δ→|f (~x) − f (~a)| < ε.® ƒ¥©­¥: äã­ªæ¨ï f (~x), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ ~a, ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ â®çª¥ ~a, ¥á«¨ ¤«ï«î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠~xk â ª®©, çâ® lim ~xk = ~a, ¢ë¯®«k→∞­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ lim f (~xk ) = f (~a).k→∞Ž£®¢®àª ~xk 6= ~a ¢ í⮬ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ­¥ ­ã¦­ .Š ª ¨ ¯à¨ ®¯à¥¤¥«¥­¨¨ ¯à¥¤¥« , ¢á¥ ¯à¨­æ¨¯¨ «ì­ë¥ ®â«¨ç¨ï ¬­®£®¬¥à­®£® á«ãç ï ®â ®¤­®¬¥à­®£® ¯à®ï¢«ïîâáï 㦥21¯à¨ n = 2, ¯®í⮬㠢 ¤ «ì­¥©è¥¬ ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âìä㭪樨 ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥­­ëå f (x, y).Ž¡êñ¬ ­ áâ®ï饣® ¯®á®¡¨ï ­¥ ¯®§¢®«ï¥â ­ ¬ ­¥áª®«ìª®ãá«®¦­¨âì ®¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.1 ¨ à áᬮâà¥âì ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 ¢ â®çª¥ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã (â ª ¦¥, ª ª ¨ ¯®­ï⨥ ¯à¥¤¥« ä㭪樨 ¢ â®çª¥ ¯® ¬­®¦¥áâ¢ã); ¬ë ¡ã¤¥¬ à áᬠâਢ âì ⮫쪮 ä㭪樨, ®¯à¥¤¥«ñ­­ë¥ ¢ ­¥ª®â®à®© δ ®ªà¥áâ­®á⨠ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 â®çª¨ ~a (¢ ¤¢ã¬¥à­®¬ á«ãç ¥ |â®çª¨ (x0 , y0 )).€­ «®£¨ç­® ®¯à¥¤¥«¥­¨î 1.3, ¢¢¥¤ñ¬ ¯®­ï⨥ ­¥¯à¥à뢭®á⨠ä㭪樨 ¯® ¤ ­­®¬ã ­ ¯à ¢«¥­¨î.Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2.2.

ãáâì ~l = (cos ϕ, sin ϕ) | ¥¤¨­¨ç­ë©¢¥ªâ®à. ”ã­ªæ¨ï f (x, y), ®¯à¥¤¥«ñ­­ ï ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ (x0 , y0 ), ­ §ë¢ ¥âáï ­¥¯à¥à뢭®© ¢ í⮩ â®çª¥ ¯®­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à ~l, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ®¤­®© ¯¥à¥¬¥­­®© ρf (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ)­¥¯à¥à뢭 á¯à ¢ ¢ â®çª¥ 0, â.¥.lim f (x0 + ρ cos ϕ, y0 + ρ sin ϕ) = f (x0 , y0 ).ρ→+0¥¯à¥à뢭®áâì ¯® ­ ¯à ¢«¥­¨î ¢¥ªâ®à (1, 0) ®§­ ç ¥â, çâ®â.¥.

Характеристики

Список файлов книги