Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967), страница 8
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«®£¨ç®, ª ª ªf (0, 0) = 1, ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«¡√¢cos 3 ∆x · ∆y − 1f (∆x, ∆y) − f (0, 0)lim p= lim p. (3.6)∆x→0∆x→0(∆x)2 + (∆y)2(∆x)2 + (∆y)2∆y→0∆y→0ãªæ¨ï √3 xy¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) ¯®â®¬ã, çâ®√3¢ëà ¦¥¨¥ ∆x∆y ¯®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬∆x = ρ cos ϕ, ∆y = ρ sin ϕ ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 32 ¯® ¯¥à¥¬¥®©ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ ¥ ¬®¦¥â ¨¬¥âì ã«¥¢®© ¯à¥¤¥«. ®à §®áâì ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.6) 㦥 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª4 ¯® ρ (â ª ª ª ¤«ï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¢¥«¨ç¨ë α ¢ëà ¦¥¨¥3cos α − 1 ¨¬¥¥â ¯®à冷ª α2 ). ®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ áâ६«¥¨¥ ªã«î á®åà ¨âáï, ¨, ¯®å®¦¥, ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ¡ã¤¥â ¨¬¥â쬥áâ®.
¥¯¥àì ¤®ª ¦¥¬ íâ® ªªãà â®.®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ®æ¥¨¬ ¬®¤ã«ì¯à ¢®© ç á⨠(3.6):´³¯¯Ãp!3¯ cos p3ρ2 cos ϕ sin ϕ − 1 ¯¯ 22 cos ϕ sin ϕ¯ρ¯ p¯ = sin26¯¯2ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ ¯ ρ¯Ãp!22 3 ρ2 cos ϕ sin ϕ2 ρ4/3166 ·= ρ1/3 .ρ2ρ42®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0 (§¤¥áì¨á¯®«ì§®¢ ë ä®à¬ã« âਣ®®¬¥âਨ 1 − cos α = 2 sin2 α2 ¨¥à ¢¥á⢮ | sin α| 6 |α|, á¯à ¢¥¤«¨¢ë¥ ¯à¨ ¢á¥å § 票ïå α). ç¨â, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.6) à ¢¥ 0, ¨ äãªæ¨ïf (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).50®¯à®¡ã¥¬ ⥯¥àì à §®¡à âìáï ¢ ⮬, ¬®¦® «¨ ¯à¨ 宦¤¥¨¨ í⮣® ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« ¯à¨¬¥ïâì à §«®¦¥¨¥ ª®á¨ãá ¯® ä®à¬ã«¥ ¥©«®à .
§ à ¢¥á⢠(1.2) ¨¬¥¥¬¡ √¢1 √√cos ( 3 xy) = 1 − ( 3 xy)2 + o ( 3 xy)2¯à¨ x → 0, y → 0,2£¤¥ o ¬ «®¥ | ¢ á¬ëá«¥ ¯à¥¤¥« äãªæ¨¨ ¤¢ãå√¯¥à¥¬¥ëå.p2® |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, £¤¥ ρ = x + y2 . ®í⮬ã|( 3 xy)2 | 6 ρ4/3 ,√23 xy)¨ o(( √3 xy)2 ) = α(x, y)( √3 xy)2 = α(x, y) ( 4/3ρ4/3 = o(ρ4/3 ),ρ√( 3 xy)2β(x, y) = α(x, y) 4/3 |ρâ ª ª ª äãªæ¨ï¡¥áª®¥ç® ¬ « ï¯à¨ x → 0, y → 0, ª ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ®£à ¨ç¥ãî. ç¨â, cos( √3 xy) − 1 = − 12 ( √3 xy)2 + o(ρ4/3 ), ¨p√cos( 3 ∆x∆y) − 11 3 (∆x)2 (∆y)2p=− p+ o(ρ1/3 ),22222(∆x) + (∆y)(∆x) + (∆y)(3.7)(¢ p¯®á«¥¤¥¬ à ¢¥á⢥ § ¬¥¨«¨ x ∆x, y ∆y, ρ ==(∆x)2 + (∆y)2 ).
¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®© ç á⨠(3.7)¨¬¥¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ∆x → 0, p∆y → 0 (í⮠ᮮ⢥â3áâ¢ã¥â ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨¨ x2 y2 ¢ â®çª¥ (0, 0) |á¬. ¯à¨¬¥àë 3.5 ¨ 3.14). â®à®¥ â ª¦¥ ¨¬¥¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥«,à ¢ë© ã«î, â ª ª ª ρ1/3 | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ∆x → 0,∆y → 0. ⨬ ¤®ª § ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ f (x, y)¢ â®çª¥ (0, 0). ª®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¥ ¯à®é¥ ¯à¥¤ë¤ã饣®.
®í⮬ã,¥á«¨ ¥áâì ¢®§¬®¦®áâì ®¡®©â¨áì ¡¥§ à §«®¦¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥¥©«®à , â® «ãçè¥ í⮩ ¢®§¬®¦®áâìî ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï. ¥¬¥ ¬¥¥¥ ¡ë¢ îâ á«ãç ¨, ª®£¤ ¯à¨¬¥¥¨¥ ä®à¬ã«ë ¥©«®à ï¥âáï ¥¤¨áâ¢¥ë¬ à §ã¬ë¬ ᯮᮡ®¬ ¢ëç¨á«¥¨ï ¤¢®©®£® ¯à¥¤¥« .ਬ¥à 3.20. f (x, y) = √5 xy − sin( √5 xy).¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® f (x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x, ¯®í⮬ã ∂f∂x (0, 0) =¯¯∂fd f (x, 0)¯= dx= 0. «®£¨ç®, ∂y (0, 0) = 0.x=051㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«f (∆x, ∆y) − f (0, 0)lim p= lim∆x→0∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0∆y→0√√5∆x · ∆y − sin( 5 ∆x · ∆y)p.(∆x)2 + (∆y)2§ à ¢¥á⢠(1.2) ¨¬¥¥¬1 √√√√5xy − sin( 5 xy) = ( 5 xy)3 + o(( 5 xy)3 )6p® |x| 6 ρ, |y| 6 ρ, £¤¥ ρ = x2 + y2 ,¯à¨x → 0, y → 0.¯®í⮬ã, «®£¨ç®à áá㦤¥¨ï¬¢¯à¥¤ë¤ã饬¯à¨¬¥à¥,¬®¦®¯®ª § âì, çâ®√o(( 5 xy)3 ) = o(ρ6/5 ).
®£¤ , § ¬¥¨¢ x ∆x, y ∆y , ¯®«ã稬p√√5∆x · ∆y − sin( 5 ∆x · ∆y)1 5 (∆x)3 (∆y)3p= p+ o(ρ1/5 ),22226(∆x) + (∆y)(∆x) + (∆y)(3.8)p£¤¥ ρ =(∆x)2 + (∆y)2 .¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à ¢®©ç á⨠(3.8) ¨¬¥¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« 0 ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0,â ª ª ª ¯à¨ ¯¥à¥å®¤¥ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ∆x = ρ cos ϕ,∆y = ρ sin ϕ, ¨¬¥¥¬¯p¯¯ 5 ρ3 cos3 ϕ · ρ3 sin3 ϕ ¯¯¯¯p¯ 6 ρ1/5 ,¯ ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ ¯ ρ1/5 | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï ¯à¨ ∆x → 0, ∆y → 0. â®à®¥á« £ ¥¬®¥ ¨ ¯®¤ ¢® ¨¬¥¥â ã«¥¢®© ¯à¥¤¥«. ®í⮬㠤¢®©®©¯à¥¤¥« ¢ëà ¦¥¨ï ¢ «¥¢®© ç á⨠(3.8) à ¢¥ ã«î, ¨ äãªæ¨ïf (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).§ ¯à¨¬¥à®¢ 1.8 ¨ 1.9, à¥èñëå ¯à¨ ¯®¬®é¨ à §«®¦¥¨ï¯® ä®à¬ã«¥ ¥©«®à , «¥£ª® ãᬮâà¥âì, çâ® äãªæ¨ï(f (x, y) =x sin y − y sin x,x2 + y 20,x2 + y 2 > 0,x=y=0¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), äãªæ¨ï(f (x, y) =x sin y − y sin x,(x2 + y 2 )3/20,¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).x2 + y 2 > 0,x=y=052ਢ¥¤ñ¬ ¯à¨¬¥àë § ¤ ç, ¯à¥¤« £ ¢è¨åáï áâ㤥⠬ 1ªãàá íª§ ¬¥ 樮ëå ª®â஫ìëå à ¡®â å ¯®¬ ⥬ â¨ç¥áª®¬ã «¨§ã ¢ (¢¥á¥¥¬ ᥬ¥áâà¥.(x2 y 3 )3/522ਬ¥à 3.21.
f (x, y) = x2 − xy + y2 , x + y > 0,0,x = y = 0. ª ª ª ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¨ § ¬¥ ⥫¥ áâ®ïâ ®¤®à®¤ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ®â®á¨â¥«ì® x, y (¢ ç¨á«¨â¥«¥ á⥯¥¨ 3, ¢ § ¬¥ ⥫¥| á⥯¥¨ 2), â® äãªæ¨ï f (x, y) ¨¬¥¥â á⥯¥ì 1 ®â®á¨â¥«ì®ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ áâ६«¥¨¥ ª ã«î 㦥 ¥ ¨¬¥¥â ¬¥áâ . ª¨¥ ¨âã¨â¨¢ë¥ á®®¡à ¦¥¨ï ¯à¨¢®¤ïâ á ª ¬ë᫨ ® ⮬,çâ® f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). ⥯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ªªãà ⮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮. ª ª ª f (x, 0) = 0 ¯à¨ ¢á¥å x (¯à¨ x 6= 0 íâ® á«¥¤ã¥â¨§ ®¡é¥© ä®à¬ã«ë, f (0, 0) â ª¦¥ à ¢ 0), â® ∂f∂x (0, 0) =¯d f (x, 0)¯¯= dx= 0.x=0 «®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0.áâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«lim∆x→0∆y→0f (∆x, ∆y) − f (0, 0)p=(∆x)2 + (∆y)2= lim∆x→0∆y→0((∆x)2 (∆y)3 )3/5p.((∆x)2 − ∆x∆y + (∆y)2 ) (∆x)2 + (∆y)2®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥((ρ cos ϕ)2 (ρ sin ϕ)3 )3/5p=(ρ2 cos2 ϕ − ρ2 cos ϕ sin ϕ + ρ2 sin2 ϕ) ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=(cos ϕ)6/5 (sin ϕ)9/5,1 − cos ϕ sin ϕâ.¥.
®® ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ.।¥«ë ¯® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢â®çª¥ (0, 0).(ਬ¥à 3.22.f (x, y) =532 3 3/5p (x y ),x2 − xy + y 2x2 + y 2 > 0,0,x = y = 0.âã¨â¨¢ë¥ á®®¡à ¦¥¨ï, «®£¨çë¥ ¯à¨¢¥¤ñë¬ ¢ ç «¥ à¥è¥¨ï ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯à¨¬¥à , ¯®ª §ë¢ îâ, çâ®äãªæ¨ï f (x, y) ¨¬¥¥â ¯®à冷ª 32 ®â®á¨â¥«ì® ρ, ¨ ¯®á«¥ ¤¥«¥¨ï ρ ¯à®¤®«¦ ¥â áâ६¨âìáï ª ã«î. ç¨â, ® ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). ¥¯¥àì ¯à¨¢¥¤ñ¬ ªªãà ⮥ ¤®ª § ⥫ìá⢮. «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã, 㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«((∆x)2 (∆y)3 )3/5plim p.∆x→0(∆x)2 − ∆x∆y + (∆y)2 (∆x)2 + (∆y)2∆y→0(3.9)®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬, ¯®«ã稬 ¢ëà ¦¥¨¥((ρ cos ϕ)2 (ρ sin ϕ)3 )3/5pp=ρ2 cos2 ϕ − ρ2 cos ϕ sin ϕ + ρ2 sin2 ϕ ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ=ρ(cos ϕ)6/5 (sin ϕ)9/5√.1 − cos ϕ sin ϕ ª ª ª ¢á¥£¤ 1 − cos ϕ sin ϕ = 1 − 12 sin 2ϕ > 21 , â® è¥ ¢ë√à ¦¥¨¥ ¯® ¬®¤ã«î ¥ ¯à¥¢®á室¨â ρ 2.
¢®©®© ¯à¥¤¥« (3.9)à ¢¥ 0, äãªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).p2/3ਬ¥à 3.23. f (x, y) = x 1 + y¯ .¯d¬¥¥¬: ∂f= 1, ∂f∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯∂y (0, 0) =¯d f (0, y)¯¯= dy= 0,y=0x=0â ª ª ª f (x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x, f (0, y) = 0¯à¨ ¢á¥å y. ஢¥à¨¬, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«p∆x( 1 + (∆y)2/3 − 1)f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − ∆xpp= lim.lim2 + (∆y)2∆x→02 + (∆y)2∆x→0(∆x)(∆x)∆y→0∆y→0®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤pqρ cos ϕ( 1 + (ρ sin ϕ)2/3 − 1)p= cos ϕ( 1 + (ρ sin ϕ)2/3 − 1).ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ54p® ¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«î 1 + ρ2/3 − 1.
â äãªæ¨ï®â ρ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0. ¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0,äãªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).p34ਬ¥à 3.24. f (x, y) = sin x + cos4 y.⬥⨬, çâ® f (0, 0) = 1. «¥¥,¯¯∂fdd¯¯(0, 0) =f (x, 0)¯=(sin x)4/3 ¯=∂xdxdxx=0x=0¯4¯= (sin x)1/3 cos x¯= 0,3x=0¯¯∂fdd¯¯(0, 0) =f (0, y)¯=(cos y)4/3 ¯=∂ydydyy=0y=0¯4¯= (cos y)1/3 (− sin y)¯= 0.3y=0⬥⨬, çâ® ¢ëç¨á«¥¨¥ â ª¨¬ ᯮᮡ®¬ ¢â®à®© ¨§ íâ¨å¯à®¨§¢®¤ëå ¢¯®«¥ § ª®®, ¢®â ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯¥à¢®© ¨§ ¨å,áâண® £®¢®àï, 㦮 ¡ë«® ¡ë ¯à®¢®¤¨âì ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î. ¥¬d (x4/3 ) = 4 x1/3 ¯à¨¥ ¬¥¥¥ ¬®¦® áç¨â âì ¨§¢¥áâë¬, çâ® dx3√1/33¢á¥å ¤¥©á⢨⥫ìëå x, £¤¥ x = x, ¨ ¢ëç¨á«¥¨¥ ¯¥à¢®©¨§ ç áâëå ¯à®¨§¢®¤ëå ⮦¥ áç¨â âì ®¡®á®¢ ë¬.㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«f (∆x, ∆y) − f (0, 0)lim p= lim∆x→02 + (∆y)2∆x→0(∆x)∆y→0∆y→0p3sin4 ∆x + cos4 ∆y − 1p.(∆x)2 + (∆y)2®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ®æ¥¨âáï ¯® ¬®¤ã«î ᢥàåã á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬:¯¯p¯ 3 sin4 (ρ cos ϕ)+ cos4 (ρ sin ϕ) − 1 ¯ |A − 1||A3 − 1|¯¯p===¯¯¯¯ρρ(1 + A + A2 )ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ| sin4 (ρ cos ϕ) + cos4 (ρ sin ϕ) − 1|6ρ(1 + A + A2 )| sin4 (ρ cos ϕ)| + |1 − cos4 (ρ sin ϕ)|ρ4 + 2 sin2 (ρ sin ϕ)666ρρρ4 + 2ρ26= 2ρ + ρ3 .ρ=55®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ áâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0, ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0, f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).
¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ ®ç¥¢¨¤ ï 楯®çª âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨å á®®â®è¥¨© 1 − cos4 α = (1 + cos2 α)(1 −− cos2 α) 6 2 sin2 α.¶( µxਬ¥à 3.25. f (x, y) = y 1 − cos p|y| , y 6= 0,0,y = 0. ª ª ª f (x, 0) =¯ 0 ¯à¨ ¢á¥å x, f (0, y) = 0 ¯à¨¯ ¢á¥å y , ⮯¯∂f∂fdd∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯x=0 = 0, ∂y (0, 0) = dy f (0, y)¯y=0 = 0.㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«¶µ∆xp∆y 1 − cosf (∆x, ∆y) − f (0, 0)|∆y|plim p= lim=∆x→022∆x→022(∆x)+(∆y)(∆x)+(∆y)∆y→0∆y→0¶µ∆x2p∆y · 2 sin2 |∆y|p= lim.∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ ¯à¥¢®á室¨â ¯® ¬®¤ã«îµ2|∆y|p∆x2 |∆y|ρ¶2=(∆x)2ρ2ρ6= .2ρ2ρ2 ¯à¨¢¥¤ñ®© 楯®çª¥ ¯à¥®¡à §®¢ ¨© áç¨â «®áì, çâ®6= 0, ® ®ª®ç ⥫ì ï ®æ¥ª ∆y 6=¯¯¯ f (∆x, ∆y) − f (0, 0) ¯ ρ¯¯¯ p¯6 ,22¯(∆x) + (∆y) ¯ 2£¤¥p(∆x)2 + (∆y)2 ,á¯à ¢¥¤«¨¢ , ®ç¥¢¨¤®, ¨ ¯à¨ ∆y == 0.
ਠí⮬ ¤ ¦¥ ¥ ¯à¨è«®áì ä®à¬ «ì® ¯¥à¥å®¤¨âì ª¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬. ã¦ë© ¬ ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« à ¢¥0, f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).³ ´2(x + y) arctg xy , y 6= 0,ਬ¥à 3.26. f (x, y) = πy = 0.2 x,ρ=56 ª ª ª f (x, 0) =πx2¯¯à¨ ¢á¥å x, f (0, y) = 0 ¯à¨ ¢á¥å y,¯¯¯∂fπ ∂fdd∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯x=0 = 2 , ∂y (0, 0) = dy f (0, y)¯y=0 = 0.â® ª ª ª f (0, 0) = 0, ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − π2 ∆xplim=∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0´2³(∆x + ∆y) arctg ∆x− π2 ∆x∆yp.= lim∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0®á«¥ ¯¥à¥å®¤ ª ¯®«ïàë¬ ª®®à¤¨ â ¬ ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤³´ϕ 2(ρ cos ϕ + ρ sin ϕ) arctg ρρ cos− π2 ρ cos ϕsin ϕp=ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ= (cos ϕ + sin ϕ) arctg(ctg2 ϕ) −πcos ϕ,2â.¥.
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