Предел, непрерывность и дифференцируемость ФНП - Петрович (1187967), страница 7
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८¡à §®¢ âì ãà ¢¥¨¥x∂z∂zx+y= ,∂x∂yz¯à¨¨¬ ï ξ , η § ®¢ë¥ ¥§ ¢¨á¨¬ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥: ξ = 2x − z 2 ,η = − yz .¤¥áì ®¢ë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ u, v ¢ëà ¦ îâáï ¥ ⮫쪮 ç¥à¥§áâ àë¥ ¯¥à¥¬¥ë¥ x, y, ® ¨ ç¥à¥§ ¥¨§¢¥áâãî äãªæ¨î z .¬¥¥¬∂z∂z ∂ξ∂z ∂η=·+·.∂x∂ξ ∂x ∂η ∂xçâ® ξ ¨ η ¢ëà ¦ îâáï ¥® 㦮 ãç¥áâì,⮫쪮 ç¥à¥§ x, y,® ¨ ç¥à¥§ z , ª®â®à ï ¢ á¢®î ®ç¥à¥¤ì ï¥âáï äãªæ¨¥© ®â x,y . ®í⮬ã∂ξ∂z∂ηy ∂z= 2 − 2z;= 2.∂x∂x∂xz ∂xµ¶∂z∂z y ∂z∂z∂z=2 − 2z ·+··.∂x∂ξ∂x∂η z 2 ∂x ç¨â,®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ à¥è¨¬ ®â®á¨â¥«ì®∂z∂xµ¶∂z∂zy ∂z1 + 2z ·− 2·=2,∂ξ z ∂η∂ξ∂z∂x :®âªã¤ ∂z «®£¨ç®,∂z∂ξ.=2∂z∂z∂x1 + 2z · ∂ξ − y2 · ∂ηz∂z∂z ∂ξ∂z ∂η∂z=·+·=∂y∂ξ ∂y ∂η ∂y∂ξ∂zµ¶∂z∂z y ∂y − z−2z ·+·.∂y∂ηz2®«ã祮¥ ãà ¢¥¨¥ à¥è¨¬ ®â®á¨â¥«ì®∂z∂y∂z∂y :µ¶∂zy ∂z1 ∂z1 + 2z ·− 2·=−,∂ξ z ∂ηz ∂η∂z∂z1∂η=− ·y ∂z .∂z∂yz 1 + 2z ·−·∂ξz 2 ∂η®âªã¤ 44®¤áâ ¢«ïï ¢ ¨á室®¥ ãà ¢¥¨¥, ¨¬¥¥¬â.¥.∂z y ∂zx2x−=∂ξz ∂ηzµ¶∂zy ∂z1 + 2z−,∂ξ z 2 ∂η∂z ³ xy y ´ x= .−∂η z 3zz ª ª ª y = −ηz , x =¨¥ ¯à¨¢¥¤ñâáï ª ¢¨¤ãξ + z22 ,η(z 2 − ξ)â® ¯®á«¥ ¯®¤áâ ®¢ª¨ ãà ¢¥-∂z= z(z 2 + ξ).∂η ¯¨á âì ®¡é¥¥ à¥è¥¨¥ í⮣® ãà ¢¥¨ï ¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢®§¬®¦ë¬, ¯®í⮬ã â ª¨¥ ¯à¨¬¥àë ¨¬¥îâ ç¨áâ® â¥å¨ç¥áª¨© å à ªâ¥à.¯à ¦¥¨¥ 3.1.
®ª § âì, çâ® ¤«ï ¤¢ãå ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬ëå äãªæ¨© ¯à®¨§¢®«ì®£® ç¨á« ¯¥à¥¬¥ëå: ) d(uv) = u dv + v du;¡) d(uv ) = uv ln u du + vuv−1 dv ¢ â®çª å, £¤¥ u > 0.¯à ¦¥¨¥ 3.2. ¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥¨¥: ) d(arcsin e−u ), ¥á«¨ u > 0;¡) d(sin3 (u2 v) + ln(1 + arctg2 v)).¯à ¦¥¨¥ 3.3. ëç¨á«¨âì ¤¨ää¥à¥æ¨ « äãªæ¨¨f (x, y) ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ): ) f (x, y) = arctg(x2 − y2 ), (x0 , y0 ) = (1, 1);¡) f (x, y) = x cos xy , (x0 , y0 ) = (π, 2);³√´¢) f (x, y) = arcsin(xy), (x0 , y0 ) = 3, 12 .¯à ¦¥¨¥ 3.4. ८¡à §®¢ âì ãà ¢¥¨¥, ¯¥à¥å®¤ï ª®¢ë¬ ¥§ ¢¨á¨¬ë¬ ¯¥à¥¬¥ë¬. ᫨ 㤠áâáï, ©â¨ ®¡é¥¥à¥è¥¨¥ ãà ¢¥¨ï∂z − x ∂z = 0, ξ = x , η = x2 + y 2 ; ) y ∂x∂y∂z + y ∂z = z , ξ = x , η = y ;¡) x ∂xxp∂yp∂z∂z2¢) x ∂x + 1 + y ∂y = xy, ξ = ln x , η = ln(y + 1 + y2 );∂z − (x − y) ∂z = 0, x = eξ cos η , y = eξ sin η ;£) (x + y) ∂x∂y45¤)∂z + (y + z) ∂z = x + y + z , ξ = x + z , η = y + z .(x + z) ∂x∂y§ 5.áá«¥¤®¢ ¨¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠äãªæ¨¨¢ â®çª¥ ᫨ ä®à¬ã« , ª®â®à®© § ¤ ñâáï äãªæ¨ï ¤¢ãå ¯¥à¥¬¥ëå, ᮤ¥à¦¨â ¬®¤ã«¨, ª®à¨ à §«¨çëå á⥯¥¥©, 䨣ãàë¥áª®¡ª¨ (â.¥.
®¤ ä®à¬ã« ¯à¨ ®¤¨å § 票ïå à£ã¬¥â®¢,¤à㣠ï | ¯à¨ ¤à㣨å), â® ä®à¬ «ì®¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥,ª ª ¯à ¢¨«®, ¥¢®§¬®¦®. ¯¥à¢ãî ®ç¥à¥¤ì 㦮 ¢ëïá¨âì,ï¥âáï «¨ â ª ï äãªæ¨ï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª å, £¤¥®¡à é îâáï ¢ ã«ì ¯®¤ª®à¥ë¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¨«¨ ¢ëà ¦¥¨ï¯®¤ § ª®¬ ¬®¤ã«ï, £¤¥ ¯à®¨á室¨â ý᪫¥©ª þ, â.¥.
¯¥à¥å®¤ ®â®¤®© ä®à¬ã«ë ª ¤à㣮©. ਠí⮬ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ 㤮¡® ¯à¨¤¥à¦¨¢ âìáï á«¥¤ãî饩 áå¥¬ë ¤¥©á⢨©.1) ëïᨬ á ç « , áãé¥áâ¢ãîâ «¨ ¢ ¨áá«¥¤ã¥¬®© â®çª¥(x0 , y0 ) ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥A=∂f(x0 , y0 ),∂xB=∂f(x0 , y0 ).∂y(3.4) ᫨ å®âì ®¤ ¨§ ¨å ¥ áãé¥áâ¢ã¥â | ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì à¥ç¨ ®¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¢ â®çª¥.2) ᫨ ®¡¥ ç áâë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥ A ¨ B áãé¥áâ¢ãîâ, ⮤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ᢮¤¨âáï ª à ¢¥áâ¢ãlim∆x→0∆y→0f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) − A · ∆x − B · ∆yp.(∆x)2 + (∆y)2(3.5) ᫨ äãªæ¨ï ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (x0 , y0 ), â® à ¢¥á⢮ (3.5) ¥ ¢ë¯®«ï¥âáï ¨ ¯à¨ ª ª¨å A, B . ᫨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 | ¢ë¯®«ï¥âáï ¯à¨ A, B , ®¯à¥¤¥«ñëå ¨§ (3.4).®í⮬ã, ¥á«¨ A ¨ B ©¤¥ë ¨§ (3.4), ⮠㦮 ¯à®¢¥à¨âì¢ë¯®«¥¨¥ à ¢¥á⢠(3.5). ¤ «ì¥©è¥¬, ¥á«¨ ¥ ®£®¢®à¥® ¯à®â¨¢®¥, ¬ë ¡ã¤¥¬ ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì äãªæ¨¨ f (x, y) ¢ â®çª¥ (0, 0).46p22 ª ª ª¯ f (x, y) = ¯ x + xy + y .¯¯∂fdd∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯x=0 = dx |x|¯x=0 | ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â®f (x, y) ¥ ï¥âáï ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®© ¢ â®çª¥ (0, 0).ਬ¥à 3.14.
f (x, y) = |x|¯α |y|β , £¤¥ α > 0, β > 0.¯d¬¥¥¬ ∂f= 0, â ª ª ª f (x, 0) = 0 ¯à¨∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯à¨¬¥à 3.13.x=0¢á¥å x. «®£¨ç®, ∂f∂y (0, 0) = 0.áâ ñâáï ¯à®¢¥à¨âì ¢ë¯®«¥¨¥ à ¢¥á⢠(3.5) ¯à¨ x0 == y0 = 0, f (0, 0) = 0, A = B = 0, â.¥. ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î|∆x|α |∆y|β= lim p.∆x→0(∆x)2 + (∆y)2(∆x)2 + (∆y)2∆y→0lim p∆x→0∆y→0f (∆x, ∆y) ᫨ ¢¢¥á⨠¯®«ïàë¥ ª®®à¤¨ âë ∆x = ρ cos ϕ, ∆y = ρ sin ϕ,â® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ρα | cos ϕ|α ρβ | sin ϕ|βp= ρα+β−1 | cos ϕ|α | sin ϕ|β .ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕ ᫨ α + β > 1, â® ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥, ¡ã¤ãç¨ ¥®âà¨æ ⥫ìë¬, ¥ ¯à¥¢®á室¨â ρα+β−1 . ®á«¥¤ïï äãªæ¨ï ®â ρáâ६¨âáï ª ã«î ¯à¨ ρ → +0.
®®â¢¥âáâ¢ãî騩 ¤¢®©®©¯à¥¤¥« à ¢¥ 0, ¨ äãªæ¨ï f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0). ᫨ α + β = 1, ⮠ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ à ¢®| cos ϕ|α | sin ϕ|β , â.¥. ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ. ।¥«ë ¯® à §ë¬ -¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). ª®¥æ, ¥á«¨ α + β < 1, â® ¯à¨ ϕ 6= πk2 , k ∈ Z, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ¢ëà ¦¥¨¥ ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë© ¯à¥¤¥« ¯à¨ ρ → +0.¥¬ ¡®«¥¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â ¤¢®©®© ¯à¥¤¥«, ¨ äãªæ¨ï f (x, y) ¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). áâë¥ á«ãç ¨ ¯à¨¬¥à 3.14 ¡ë«¨ à áᬮâà¥ë ¢ëè¥. ᫨ α = β = 21 , â® f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.4), ¥á«¨ α = β = 23 | ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 (¯à¨¬¥à 3.5). ᫨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 3.14 α ¨ β ïîâáï à 樮 «ì묨ç¨á« ¬¨, ¢ëà ¦¥ë¬¨ ¤à®¡ï¬¨ á ¥çñâë¬ § ¬¥ ⥫¥¬, â®47p¬®¤ã«¨ ¢ ãá«®¢¨¨ ¬®¦® ®¯ãáâ¨âì.
¯à¨¬¥à, f (x, y) = 3 x2 y¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (α = 32 , β = 13 ), f (x, y) =p= 5 x3 y 4 | ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 (α = 53 , β = 45 ).pਬ¥à 3.15. f (x, y) = 3 x3 + y3 . ¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) =d f (x, 0) = 1,= dxâ ª ª ª f (x, 0) = x ¯à¨ ¢á¥å x. «®£¨ç®,∂f∂y (0, 0) = 1.㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«lim∆x→0∆y→0f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − ∆x − ∆yp=(∆x)2 + (∆y)2p3(∆x)3 + (∆y)3 − ∆x − ∆yp.= lim∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0®á«¥ ¢¢¥¤¥¨ï ¯®«ïàëå ª®®à¤¨ â ∆x = ρ cos ϕ,= ρ sin ϕ, ¯®á«¥¤¥¥ ¢ëà ¦¥¨¥ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥∆y =p3ρ3 cos3 ϕ + ρ3 sin3 ϕ − ρ cos ϕ − ρ sin ϕp=ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕq3= cos3 ϕ + sin3 ϕ − cos ϕ − sin ϕ.®¥ç®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ § ¢¨á¨â ®â ρ, ¯à¥¤¥«ë ¯® à §ë¬ ¯à ¢«¥¨ï¬ à §«¨çë, ¤¢®©®© ¯à¥¤¥« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).p33ਬ¥à 3.16.
f (x) = x + y4 .d¬¥¥¬: ∂f∂x (0, 0) = dx f (x, 0) = 1, â ª ª ª f (x, 0) =¯ x ¯à¨p¯d¢á¥å x. «¥¥, f (0, y) = 3 y4 ¨ ∂f=∂y (0, 0) = dy f (0, y)¯= lim∆y→0p3y=0(∆y)4= 0.∆y㦮 ¯à®¢¥à¨âì, à ¢¥ «¨ ã«î ¯à¥¤¥«f (∆x, ∆y) − f (0, 0) − ∆xplim= lim∆x→0∆x→0(∆x)2 + (∆y)2∆y→0∆y→0p3(∆x)3 + (∆y)4 − ∆xp.(∆x)2 + (∆y)248ᯮ¬¨¬, çâ® íâ®â ¯à¥¤¥« à ¢¥ 0 (á¬. ¯à¨¬¥à 1.6; ¤®ª § ⥫ìá⢮ í⮣® ã⢥ত¥¨ï ¤®áâ â®ç® á«®¦®).
ç¨â,f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).®£¤ ¯à¨ ¨áá«¥¤®¢ ¨¨ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠¯®«¥§®¯à¨¬¥ïâì ⥮६㠮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠᫮¦®©äãªæ¨¨.p423ਬ¥à 3.17. f (x, y) = pln(3 + cos(xy) + x |y| ).ᯮ¬¨¬, çâ® äãªæ¨ï 4 x2 |y|3 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥(0, 0) (¯à¨¬¥à 3.14 ¯à¨ α = 12 , β = 34 ). ª ª ª äãªæ¨ï3 + cos(xy) § ¢¥¤®¬® ¥¯à¥à뢮 ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ «î¡®©p423â®çª¥, â® äãªæ¨ï u(x, y) = 3 + cos(xy) + x |y| ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0), ¯à¨çñ¬ u(0, 0) = 4. ª ª ª ¢¥èïïäãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© ln u ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u == 4, â® á«®¦ ï äãªæ¨ï f (x, y) = ln u(x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0).pਬ¥à p3.18.
f (x, y) = sin(ex+y + 3 x3 + y3 ).ãªæ¨ï 3 x3 + y3 ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (¯à¨¬¥à 3.15). «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®á⨠f (x, y)¡ã¤¥¬ à áá㦤 âì ®â ¯à®â¨¢®£®. ãáâì f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥p (0, 0), f (0, 0) = sin 1. ®£¤ äãªæ¨ï g(x, y) == ex+y + 3 x3 + y 3 = arcsin f (x, y) â ª¦¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). á ¬®¬ ¤¥«¥, ¢¥èïï äãªæ¨ï ®¤®© ¯¥à¥¬¥®© arcsin u ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u = sin 1, ¯®í⮬ãá«®¦ ï äãªæ¨ï g(x,py) = arcsin f (x, y) ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢3â®çª¥ (0, 0). ® ⮣¤ x3 + y3 = g(x, y) − ex+y | ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ï äãªæ¨ï ¢ â®çª¥ (0, 0), íâ® ¥ â ª.
®«ã祮¥¯à®â¨¢®à¥ç¨¥ ¯®ª §ë¢ ¥â, çâ® äãªæ¨ï f (x, y) ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0). ¬ ¥ ç ¨ ¥. ãªæ¨¨ ¨§ ¯à¨¬¥à®¢ 3.17 ¨ 3.18¬®¦® ¨áá«¥¤®¢ âì ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì ¨ ¯® ®¡é¥© á奬¥,® â ª¨¥ à áá㦤¥¨ï ¤®áâ â®ç® £à®¬®§¤ª¨ ¨ âॡãîâ ¥ª®â®à®© ¨§¢®à®â«¨¢®áâ¨. ਢ¥¤ñë¥ ¦¥ ¢ëè¥ à¥è¥¨ï íâ¨å¯à¨¬¥à®¢ ¯à®áâë ¨ áâ ¤ àâë.ਬ¥à 3.19. f (x, y) = cos( √3 xy).ãªæ¨ï √3 xy ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ (0, 0) (¯à¨¬¥à 3.14 ¯à¨ α = β = 13 ). § «®áì ¡ë, «®£¨ç® ¯à¨-49¬¥àã 3.18, ¬®¦® ¤®ª § âì ¥¤¨ää¥à¥æ¨à㥬®áâì á«®¦®©äãªæ¨¨ f (x, y). ® §¤¥áì ¯®å®¦¥¥ à áá㦤¥¨¥ ¥ ¯à®©¤ñâ,¯®â®¬ã çâ® f (0, 0) = 1, äãªæ¨ï arccos u ¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à㥬 ¢ â®çª¥ u = 1 (íâ äãªæ¨ï ®¯à¥¤¥«¥ «¨èì ®â१ª¥[−1, 1], ¢ ª®æ å ¥£® ¨¬¥¥â ¡¥áª®¥çë¥ ¯à®¨§¢®¤ë¥). ਤñâáï ¯à¨¬¥¨âì ®¡éãî á奬ã.¯∂fd¥£ª® ¢¨¤¥âì, çâ® ∂x (0, 0) = dx f (x, 0)¯¯= 0, â ª ª ªx=0∂f∂y (0, 0) = 0.f (x, 0) = 1 ¯à¨ ¢á¥å x.
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