Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 57

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 57)

По­этому при рассмотрении теоретических проблем машинной имитации, относя­щихся в основном к разделу математической статистики, необходимо учиты­вать особенности и возможности текущей обработки экспериментальной инфор­мации на ЭВМ. Успех имитационного эксперимента с моделью системы сущест­венным образом зависит от правильного решения вопросов обработки и после­дующего анализа и интерпретации результатов моделирования. Особенно важ­но решить проблему текущей обработки экспериментальной информации прииспользовании модели для целей автоматизации проектирования систем.7.1. ОСОБЕННОСТИ ФИКСАЦИИ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИРЕЗУЛЬТАТОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ НА ЭВМПосле того как машинный эксперимент спланирован, необходи­мо предусмотреть меры по организации эффективной обработкии представления его результатов.

Вообще, проблема статистическойобработки результатов эксперимента с моделью тесно связанас рассмотренными в гл. 6 проблемами стратегического и тактичес­кого планирования. Но важность этой проблемы и наличие специ­фики в машинной обработке результатов моделирования выделяютее в самостоятельную проблему. При этом надо иметь в виду, чтоприменяемые на практике методы обработки результатов модели­рования составляют только небольшую часть арсенала математи­ческой статистики [7, 11, 18, 21 25, 33].Особенности машинных экспериментов. При выборе методов об­работки существенную роль играют три особенности машинногоэксперимента с моделью системы S.1.

Возможность получать при моделировании системы S наЭВМ большие выборки позволяет количественно оценить харак­теристики процесса функционирования системы, но превращаетв серьезную проблему хранение промежуточных результатов моде­лирования. Эту проблему можно решить, используя рекуррентныеалгоритмы обработки, когда оценки вычисляют по ходу моделиро­вания, причем большой объем выборки дает возможность пользо­ваться при этом достаточно простыми для расчетов на ЭВМ асимп­тотическими формулами.2402. Сложность исследуемой системы S при ее моделировании наЭВМ часто приводит к тому, что априорное суждение о харак­теристиках процесса функционирования системы, например о типеожидаемого распределения выходных переменных, является невоз­можным.

Поэтому при моделировании систем широко используют­ся непараметрические оценки и оценки моментов распределения.3. Блочность конструкции машинной модели Мм и раздельноеисследование блоков связаны с программной имитацией входныхпеременных для одной частичной модели по оценкам выходныхпеременных, полученных на другой частичной модели. Если ЭВМ,используемая для моделирования, не позволяет воспользоватьсяпеременными, записанными на внешние носители, то следует пред­ставить эти переменные в форме, удобной для построения алгорит­ма их имитации.Методы оценки.

Рассмотрим наиболее удобные для про­граммной реализации методы оценки распределений и некоторыхих моментов при достаточно большом объеме выборки (числереализаций N). Математическое ожидание и дисперсия случайнойвеличины £, соответственно имеют видИ=ЩЯ=? xf(x)dx;<x!=D[Z\=M[(x-n()2] =— оосо= J(x-Hi)2f(x)dx,— оогде/(х) — плотность распределения случайной величины <!;, прини­мающей значения х.При проведении имитационного эксперимента со стохастическоймоделью системы S определить эти моменты нельзя, так как плот­ность распределения, как правило, априори неизвестна. Поэтомупри обработке результатов моделирования приходится довольст­воваться лишь некоторыми оценками моментов, полученными наконечном числе реализаций N.

При независимых наблюдениях зна­чений случайной величины ^ в качестве таких оценок используютсяx=fi( = (ljN) £ x,;S2 = a2 = (llN) £i=l(х,-х)2,i= lгде х и Sb2 — выборочное среднее и выборочная дисперсия соответ­ственно. Знак ~ над Д^ и а* означает, что эти выборочные моментыиспользуются в качестве оценок математического ожидания fit и ди­сперсии а2.К качеству оценок, полученных в результате статистической обработки резуль­татов моделирования, предъявляются следующие требования [7, 11, 25]:1) несмещенность оценки, т е равенство математического ожидания оценкиопределяемому параметру М [g\=g, где g — оценка переменной (параметра) g;2) эффективность оценки, т е. минимальность среднего квадрата ошибки данной241оценки М\ii~g]^MKjfi-g)2],где f, — рассматриваемая оценка; g; — любая другаяоценка;3) состоятельность оценки, т.

е. сходимость по вероятности при ЛГ-юо к оцени­ваемому параметруlim P{\g-g\>e)=Q, е>0,либо, учитывая неравенство Чебышева, достаточное (но не обязательно необходи­мое) условие выполнения этого неравенства заключается в том, чтобыРассмотрим оценку выборочного среднего значения х. Математическое ожида­ние выборочного среднего значения х составитт. е. оценка /1;=х является несмещенной.С учетом независимости значений xt средний квадрат ошибки*i<*-«n-*D| <*-«>']-И(! <*-«>*)]-^ 4т.

е. оценка #{=х состоятельна. Можно показать, р о эта оценка также и эффективна.Рассмотрим оценку выборочной дисперсии Si. Математическое ожидание выбо­рочной дисперсииУчитывая, что£ (*,-*)*= I <*i—яе>*—-wis—меЛi-ii-i* К*-*)*!-»!.

^ P - « ) J ] = « T ? / ^ ,получим M[Sb] = (Na$—trf)/N=(N—l)0{/N, т. e. оценка ff| = Sj является смещенной.Можно показать, что эта оценка состоятельна и эффективна.Несмещенную оценку дисперсии oj можно получить, вычисляя выборочнуюдисперсию видаЭта оценка также удовлетворяет условиям эффективности и состоятельности.Статистические методы обработки. Рассмотрим некоторые осо­бенности статистических методов, используемых для обработкирезультатов моделирования системы 5. Для случая исследованиясложных систем при большом числе реализаций N в результатемоделирования на ЭВМ получается значительный объем инфор­мации о состояниях процесса функционирования системы.

Поэтомунеобходимо так организовать в процессе вычислений фиксациюи обработку результатов моделирования, чтобы оценки для ис242комых характеристик формировались постепенно по ходу модели­рования, т. е. без специального запоминания всей информациио состояниях процесса функционирования системы S.Если при моделировании процесса функционирования конкрет­ной системы S учитываются случайные факторы, то и среди резуль­татов моделирования присутствуют случайные величины. В качест­ве оценок для искомых характеристик рассчитывают средние значе­ния, дисперсии, корреляционные моменты и т.

д.Пусть в качестве искомой величины фигурирует вероятностьнекоторого события А. В качестве оценки для искомой вероятностир=Р(А) используется частость наступления события m/N, где т —число случаев наступления события А; N — число реализаций.Такая оценка вероятности появления события А является состо­ятельной, несмещенной и эффективной. В случае необходимостиполучения оценки вероятности в памяти ЭВМ при обработке ре­зультатов моделирования достаточно накапливать лишь числот (при условии, что N задано заранее).Аналогично при обработке результатов моделирования можноподойти к оценке вероятностей возможных значений случайнойвеличины, т.

е. закона распределения. Область возможных значенийслучайной величины г\ разбивается на и интервалов. Затем накап­ливается количество попаданий случайной величины в эти интерва­лы Шк, к = \, п. Оценкой для вероятности попадания случайнойвеличины в интервал с номером к служит величина mk/N. Такимобразом, при этом достаточно фиксировать л значений тк приобработке результатов моделирования на ЭВМ.Для оценки среднего значения случайной величины г\ накаплива­ется сумма возможных значений случайной величины ук, к=\, N,которые она принимает при различных реализациях. Тогда среднеезначениеу=(1/Л0 £ > .Jfc-IПри этом ввиду несмещенности и состоятельности оценкиМ\у] = M[rj\ = W Л М = Л [r,]/N= allN.В качестве оценки дисперсии случайной величины у при обработ­ке результатов моделирования можно использоватьSt=i(yk-J)2/N.к-\Непосредственное вычисление дисперсии по этой формуле нера­ционально, так как среднее значение у изменяется в процессе накоп­ления значений ук.

Это приводит к необходимости запоминаниявсех N значений ук. Поэтому более рационально организовать фик-сацию результатов моделирования для оценки дисперсии с исполь­зованием следующей формулы:*М-Н-[£ *-(£*,)*/*]/(*-ОТогда для вычисления дисперсия достаточно накапливать двесуммы: значений ук и их квадратов у*2.Для случайных величин £ и т\ с возможными значениямихк и ук корреляционный моментк(ч=\ Д (хк-х)(ук-у)\ Num.^ = ( Д ^*-(]/Л0 £ хк ^ *J/(#-1). *Последнее выражение вычисляется при запоминании в процессемоделирования небольшого числа значений.Если при моделировании системы S искомыми характеристи­ками являются математическое ожидание и корреляционная функ­ция случайного процесса у (t) [в интервале моделирования (О, Т)], тодля нахождения оценок этих величин указанный интервал разбива­ют на отрезки с постоянным шагом А/ и накапливают значенияпроцесса ук (t) для фиксированных моментов времени t=t„=mAt.При обработке результатов моделирования математическоеожидание и корреляционную функцию запишем так:J(tm)= t УМ/КB(U, Z)= £(yk/u)-y(u))(yk(z)-y(z))KN-l),где и и z пробегают все значения tm.Для уменьшения затрат машинных ресурсов на хранение проме­жуточных результатов последнее выражение также целесообразнопривести к следующему виду:£(u,z)=(£Ук(и)ук(г)-(ЦЩ£Ук1(и)£ Mz)W-l).Отметим особенности фиксации и обработки результатов моде­лирования, связанные с оценкой характеристик стационарных слу­чайных процессов, обладающих эргодическим свойством.

Пустьрассматривается процесс y(t). Тогда с учетом этих предположенийпоступают в соответствии с правилом: среднее по времени равносреднему по множеству. Это означает, что для оценки искомыххарактеристик выбирается одна достаточно продолжительная ре244ализация процесса y(t), для которой целесообразно фиксироватьрезультаты моделирования. Для рассматриваемого случая запишемматематическое ожидание и корреляционную функцию процесса:Г-tТy=]im (1/7) \y(t)dt; B(t)= lim [1/(Г-т)] fy(t)y(t+x)dt-y\На практике при моделировании на ЭВМ системы S интервал (О,Т) оказывается ограниченным и, кроме того, значения y(t) удаетсяопределить только для конечного набора моментов времени tm. Приобработке результатов моделирования для получения оценок"у я В(х) используем приближенные формулыT/&Jy=(At/T)£ y(tm);B(x) = [At/(T-x)]ra=l(Г-т)/Дг£y{Uby{tm+x)-y*.m=lкоторые целесообразно преобразовать к виду, позволяющему эф­фективно организовать порядок фиксации и обработки результатовмоделирования на ЭВМ [4].Задачи обработки результатов моделирования.

При обработкерезультатов машинного эксперимента с моделью Мм наиболее ча­сто возникают следующие задачи: определение эмпирического зако­на распределения случайной величины, проверка однородности рас­пределений, сравнение средних значений и дисперсий переменных,полученных в результате моделирования, и т. д. Эти задачи с точкизрения математической статистики являются типовыми задачамипо проверке статистических гипотез.Задача определения эмпирического закона распределения слу­чайной величины наиболее общая из перечисленных, но для пра­вильного решения требует большого числа реализаций N.

В этомслучае по результатам машинного эксперимента находят значениявыборочного закона распределения F3(y) (или функции плотности/э (у)) и выдвигают нулевую гипотезу Н0, что полученное эмпиричес­кое распределение согласуется с каким-либо теоретическим рас­пределением. Проверяют эту гипотезу Н0 с помощью статистичес­ких критериев согласия Колмогорова, Пирсона, Смирнова и т.

Характеристики

Список файлов книги