Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Выбор того или иного метода рационально проводить на основе априорной информации о моделируемой системе S.Другая специфическая проблема стратегического планированиямашинных экспериментов — наличие большого количества факторов. Это одна из основных проблем реализации имитационныхмоделей на ЭВМ, так как известно, что в факторном анализеколичество комбинаций факторов равно произведению числа значений всех факторов эксперимента. Например, если число факторовЛ=10 и имеется два значения каждого фактора, т. е.
qt=2, тополный факторный анализ потребует моделирования Т=210= 1024комбинаций. Если факторы xh i = l , к, являются количественными,а реакция у связана с факторами некоторой функцией ф, то в качестве метода обработки результатов эксперимента может быть выбранрегрессионный анализ. Когда при моделировании требуется полныйфакторный анализ, то проблема большого количества факторовможет не иметь решения.
Достоинством полных факторных плановявляется то, что они дают возможность отобразить всю поверхность реакции системы, если количество факторов невелико. Эффективность этого метода существенно зависит от природы поверхности реакции.Так как полные факторные планы изучения даже достаточнопростых моделей приводят к большим затратам машинноговремени, то приходится строить неполные факторные планы,требующие меньшего числа точек, приводя при этом к потередопустимого количества информации о характере' функцииреакции.
В этом случае рациональный подход — построениеплана эксперимента исходя из поверхности реакции (планповерхности реакции), что позволяет по сравнению с факторнымипланами уменьшить объем эксперимента без соответствующихпотерь количества получаемой информации. Методы поверхностиреакции позволяют сделать некоторые выводы из самых221первых экспериментов с машинной моделью Мм. Если дальнейшеепроведение машинного эксперимента оказывается неэкономичным,то его можно закончить в любой момент. Наконец, эти методыиспользуются на начальном этапе постановки эксперимента дляопределения оптимальных условий моделирования исследуемойсистемы S.Следующей проблемой стратегического планирования машинных экспериментов является многокомпонентная функция реакции.В имитационном эксперименте с вариантами модели системы S наэтапе ее проектирования часто возникает задача, связанная с необходимостью изучения большого числа переменных реакции.
Этутрудность в ряде случаев можно обойти, рассматривая имитационный эксперимент с моделью по определению многих реакций какнесколько имитационных экспериментов, в каждом из которыхисследуется (наблюдается) только одна реакция. Кроме того, приисследовании системы 5 часто требуется иметь переменные реакции, связанные друг с другом, что практически приводит к усложнению планирования имитационного эксперимента. В этом случаерационально использовать интегральные оценки нескольких реакций, построенные с использованием весовых функций, функцийполезности и т. д.
[10, 18, 21, 46].Существенное место при планировании экспериментов с имитационными моделями, реализуемыми методом статистического моделирования на ЭВМ, занимает проблема стохастической сходимости результатов машинного эксперимента. Эта проблема возникаетвследствие того, что целью проведения конкретного машинногоэксперимента при исследовании и проектировании системы S является получение на ЭВМ количественных характеристик процессафункционирования системы S с помощью машинной модели Л/„.В качестве таких характеристик наиболее часто выступают средниенекоторых распределений, для оценки которых применяют выборочные средние, найденные путем многократных прогонов моделина ЭВМ, причем чем больше выборка, тем больше вероятностьтого, что выборочные средние приближаются к средним распределений.
Сходимость выборочных средних с ростом объема выборкиназывается стохастической сходимостью.Основной трудностью при определении интересующих характеристик процесса функционирования системы 5 является медленная стохастическая сходимость.
Известно, что мерой флуктуациислучайной величины служит ее нестандартное отклонение. Еслиа — стандартное отклонение одного наблюдения, то стандартноеотклонение среднего N наблюдений будет равно o/y/N. Такимобразом, для уменьшения случайной ошибки в К раз требуетсяувеличить объем выборки в К2 раз, т.
е. для получения заданнойточности оценки может оказаться, что объем необходимой выборкинельзя получить на ЭВМ из-за ограничения ресурса времени и памяти.222Медленная стохастическая сходимость в машинных имитационных экспериментах с заданной моделью Ми требует разработкиспециальных методов решения этой проблемы. Необходимо учитывать, что в машинном эксперименте после того, как модель сформулирована, включение дополнительных факторов для повышенияточности невозможно, так как это потребует изменения конструкции модели Мы.
Основная идея ускорения сходимости в машинныхэкспериментах со стохастическими моделями состоит в использовании априорной информации о структуре и поведении системы S,свойствах распределения входных переменных и наблюдаемых случайных воздействий внешней среды Е. К методам ускорения сходимости относятся методы регрессионной выборки, дополняющейпеременной, расслоенной выборки, значимой выборки [10, 18, 21,Переходя к рассмотрению проблемы ограниченности машинныхресурсов на проведение экспериментов с моделью системы S, необходимо помнить о том, что построение плана эксперимента с использованием различных подходов, рассмотренных в § 6.1, позволяет решить проблему стратегического планирования только с теоретической точки зрения.
Но при планировании машинных экспериментов на практическую реализуемость плана существенноевлияние оказывают имеющиеся в распоряжении экспериментатораресурсы. Поэтому планирование машинного эксперимента представляет собой итерационный процесс, когда выбранная модель планаэксперимента проверяется на реализуемость, а затем, если это необходимо, вносятся соответствующие коррективы в исходную модель[46]^_Этапы стратегического планирования. Применяя системный подход к проблеме стратегического планирования машинных экспериментов, можно выделить следующие этапы: 1) построение структурной модели; 2) построение функциональной модели. При этомструктурная модель выбирается исходя из того, что должно бытьсделано, а функциональная — из того, что может быть сделано.Структурная модель плана эксперимента характеризуетсячислом факторов и числом уровней для каждого фактора.
Числоэлементов экспериментагде к — число факторов эксперимента; q, — число уровней /-го фактора, i = l, к. При этом под элементом понимается структурныйблок эксперимента, определяемый как простейший экспериментв случае одного фактора и одного уровня, т. е. Л= 1, ^= 1, iVc=l.Вопрос о виде и числе необходимых факторов следует рассматривать с различных точек зрения, причем основной является цельпроводимого машинного эксперимента, т. е. в первую очередьрешается вопрос о тех реакциях, которые надо оценить в результатеэксперимента с машинной моделью Мм системы S.
При этом надо223найти наиболее существенные факторы, так как из опыта известно,что для большинства систем 20% факторов определяют 80%свойств системы S, а остальные 80% факторов определяют лишь20% ее свойств [46].Следующий шаг в конструировании структурной модели планасостоит в определении уровней, на которых следует устанавливатьи измерять каждый фактор, причем минимальное число уровнейфактора, не являющегося постоянным, равно двум. Число уровнейследует выбирать минимальным, но достаточным для достиженияцели машинного эксперимента. При этом надо помнить, что каждый дополнительный уровень увеличивает затраты ресурсов нареализацию эксперимента на ЭВМ.Анализ результатов существенно упрощается, если уровни равноотстоят друг от друга, т.
е. ортогональное разбиение упрощаетопределение коэффициентов аппроксимации. Можно получить значительные аналитические упрощения, если принять число уровнейвсех факторов одинаковым. Тогда структурная модель будет симметричной и примет вид Nc=q , где q = qc, г— 1, к.Функциональная модель плана эксперимента определяет количество элементов структурной модели Щ, т. е. необходимоечисло различных информационных точек. При этом функциональная модель может быть полной и неполной.
Функциональная модель называется полной, если в оценке реакции участвуют всеэлементы, т. е. N$=NC, и неполной, если число реакций меньшечисла элементов, т. е. N$<NC. Основная цель построения функциональной модели — нахождение компромисса между необходимыми действиями при машинном эксперименте (исходя из структурноймодели) и ограниченными ресурсами на решение задачи методоммоделирования.Для более быстрого нахождения компромиссного решения можно при предварительном планировании машинного экспериментаиспользовать номограмму, построенную при варьировании числафакторов к, числа уровней факторов q, повторений эксперимента р,а также затрат времени на прогон модели т и стоимости машинноговремени с.
Вид такой номограммы показан на рис. 6.4, причем приее построении предполагалось, что полное число прогонов, необходимых при симметрично повторяемом эксперименте,N=pq\(6.4)Рассмотрим особенности пользования такой номограммой напримере.Пример 6.5. Пусть необходимо спланировать машинный эксперимент при наличии трех факторов к= 3, каждый из которых имеет три уровня ? = 3, причем требуется />= 15 повторений с затратами т= 120 с машинного времени на один прогон пристоимости 1 ч машинного времени с = 100 руб. Кроме того, предполагается, что224в день на моделирование даннойW3,py5системы S выделяется 60 минмашинного времени, т.
е.на моделирование требуетсяк=№/3600 дней. Такой машинный эксперимент потребует около 400 прогонов, затрат примерно Т£= 13 ч машинного времени,около 7*= 13 дней на получениерезультатовмоделированияи 1304 руб. для оплаты машинднейного времени.Сравним случай, рассмотренный в примере, при условии,что число уровней факторовуменьшено до двух, т. е.
q = 2.Такой машинный экспериментпотребует только 135 прогонов;4,5 ч машинного времени; 4,50 W Z0 30WZZ,4дня на получение результатов Н-10'и всего 450 руб. затрат для опла Рис. 6.4. Номограмма предварительного планиты машинного времени, т. е.рования машинного экспериментаимеет место сокращение затратна 265%.Такая номограмма (рис. 6.4) может быть использована и для других входов,например при фиксированной величине денежных средств, отводимых на машинныйэксперимент.Для более детального анализа имеющихся у экспериментаторавозможностей при планировании эксперимента рассмотрим попарно относительное влияние числа факторов к, числа уровней q и числа повторений р на количество необходимых машинных прогоновмодели N. Предполагая эти величины непрерывными, проанализируем, какая из трех величин дает наибольшее сокращение полногоколичества прогонов.
Для этого продифференцируем уравнение(6.4):dN IdNdkj dq'q\nqq_ 8NJ8Ndpi Sq 'kP dpi 8k' p\nqdN IdN(6.5)Из этих уравнений видно, что: 1) если kp>q и k>q]nq,тодоминирует (оказывает наибольшее влияние на число машинныхпрогонов N) изменение числа уровней q; 2) если kp>q и k>q In q,то доминирует число факторов к; 3) если p<q и p\nq<\,тодоминирует число повторений р.Такой анализ позволяет дать наглядную графическую интерпретацию определения доминирующей для данного машинного эксперимента с моделью системы S переменной: к, q шшр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
