Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Пусть сравниваемые критерии qit q2 имеют нормальное распределение/(y)=e"°"fl),/(2ffV2^. °=М[Ч), ^=1>М,тогдаDlbB\=2{D\+D\-2B\2)l{N-1),где ВХ1 — ковариация. Использование зависимых испытаний дает выигрыш в точности сравнения дисперсий (£ 12 #0) независимо от знака корреляции. Воспользовавшись оценкойB[AD]=202l+322-2E12)/(N-\),можно организовать последовательную процедуру сравнения дисперсий для вариантов системы S1aSJ.Таким образом, при таком подходе к уменьшению дисперсиизадача состоит в специальном построении моделирующего алгоритма системы S, позволяющего получить положительную корреляцию, например, за счет управления генерацией случайных величин.Вопрос об эффективности использования метода уменьшения дисперсии может быть решен только с учетом необходимости дополнительных затрат машинных ресурсов (времени и памяти) на реализацию подхода, т.
е. теоретическое уменьшение затрат машинного времени на моделирование вариантов системы (при той жеточности результатов) должно быть проверено на сложность машинной реализации модели.Проблема выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента с моделями системы. И наконец, последней изпроблем, возникающих при тактическом планировании имитационных экспериментов, рассмотрим проблему выбора правил автоматической остановки имитационного эксперимента. Простейший способ решения проблемы — задание требуемого количествареализаций N (или длины интервала моделирования Т). Однакотакой детерминированный подход неэффективен, так как в егооснове лежат достаточно грубые предположения о распределении235выходных переменных, которые на этапе тактического планирования являются неизвестными.
Другой способ — задание доверительных интервалов для выходных переменных и остановка прогона машинной модели Мы при достижении заданногодоверительного интервала, что позволяет теоретически приблизитьвремя прогона к оптимальному. При практической реализации введение в модель Мм правил остановки и операций вычислениядоверительных интервалов увеличивает машинное время, необходимое для получения одной выборочной точки при статистическоммоделировании.Правила автоматической остановки могут быть включены в машинную модель такими способами: 1) путем двухэтапного проведения прогона, когда сначала делается пробный прогон из N* реализаций, позволяющий оценить необходимое количество реализаций N (причем если N*pN, то прогон можно закончить, в противном случае необходимо набрать еще N—N* реализаций); 2) путемиспользования последовательного анализа для определения минимально необходимого количества реализаций N, которое рассматривается при этом как случайная величина, зависящая от результатов N— 1 предыдущих реализаций (наблюдений, испытаний) машинного эксперимента.Рассмотрим особенности последовательного планирования машинных экспериментов, построенных на последовательном анализе.В последовательном анализе объем выборки не фиксирован, а послеi-го наблюдения принимается одно из следующих решений: принятьданную гипотезу, отвергнуть гипотезу, продолжить испытания, т.
е.повторить наблюдения еще раз. Благодаря такому подходу можнообъем выборки существенно уменьшить по сравнению со способамиостановки, использующими фиксированный объем выборки. Такимобразом, последовательное планирование машинного экспериментапозволяет минимизировать объем выборки в эксперименте, необходимой для получения требуемой при исследовании системы 5 информации. Построив критерий, можно на каждом шаге решатьвопрос либо о принятии нулевой гипотезы Н0, либо о принятииальтернативной гипотезы Hlt либо о продолжении машинного эксперимента. Последовательное планирование машинного эксперимента использует принцип максимального правдоподобия и последовательные проверки статистических гипотез [18, 21, 33].Пусть распределение генеральной совокупности характеризуетсяфункцией плотности вероятностей с неизвестным параметромY=f(y, в).
Определяются нулевая и альтернативная гипотезы Н0:в~ва и Ну в — вх. Гипотезы проверяют на основании выборкинарастающего объема т. Можно записать: вероятность полученияданной выборки Pom=f(yi, в0)/(уг, 60)../(vm, в0) при условии, чтоверна гипотеза Н0 (правдоподобная выборка); вероятность получения выборки P\m=f(yl, 01)f(y2, Q\)—f(ym> Si) п Р и условии верности236гипотезы Hv Процедура проверки строится на отношении правдоподобия Pim/Po„.Последовательный критерий отношения вероятностей строитсяследующим образом.
На каждом шаге машинного экспериментаопределяются Рш и Р0т, а также проверяется условие:PimС^В, то принимается Н0;J <Аесли — <то эксперимент продолжается;Р0п ) > Д^>ЛЕ, то принимается Ht;где 0<В<1, А>\, m=TTN.Для сходимости критерия необходимо, чтобы A^(l — fi)ja,B^pl(l — а), где а — вероятность ошибки первого рода; /? — вероятность ошибки второго рода.Данный метод позволяет снизить среднее число реализацийв машинных экспериментах по сравнению с использованием фиксированных объемов выборки (при одинаковых вероятностях ошибок). Примером применения метода может служить проверка гипотезы о среднем значении величины, распределенной по нормальному закону.Пример 6.10. Пусть для случайной величины у известна дисперсия сг2 и неизвестно среднее ft. При этом нулевая гипотеза Н0: р=90, альтернативная Нх:ji=0,. Если Н0 верна, то вероятность ее отвергнуть равна а.
Вели верна гипотеза# ! , то вероятность принять ее равна р . В случае dB<fi<01 ни одна из гипотезне принимается.Для нормального распределенияi-1*-— I bi-eo1Рш=°е 2 Ky/2n<rf,-— Е 0-,-во)1Рот=е *" - 'l(y/2naf,— Г£(у1-о.)1-ЕО'1-ео):]Pim!Pam=e2'"Критерий проверки гипотезы строится по следующему правилу:если11пВ=Ь<2аГ" inm\ £ (у,-в1)/1-'£.4-1(У.-»о)2 <а = \пА,-1то наблюдение продолжается.237Можно упростить процедуру, если использовать логарифмическую функциюправдоподобия. В этом случаеIn (PiJPoJ=K0, - во)/*1] Г Z У,- 0,5т (0, + ад],а=ЫА=Ы[(1-Р)/я],Ь=ЫВ=ЫЩ\-а)].Тогда на каждом шаге т проверяется выполнение неравенств:еслиж£ у,>аа1/(в1-во)+0,5т(01+во),i-iто принимается # 0 ;если£ j*<toa/(fl1-0o)+O,5«(0,+eoXто принимается Яд;еслиiff2-да1+0,5т(в,-(-б0)< £ >>,<—^-+0,5^(^+60),то машинный эксперимент продолжается.Для математического ожидания числа наблюдений при условии верности Н1и Я 2 соответственно можно записатьМЩН0]=[Ь(\ -а)+ааУМ[г1НД,где N — число наблюдений; z=b\f(y, 6Ж(у,0О)]= -[(у-в^+^у-воУЩЬт1).Можно записать ММНД^ф^О^КЪг1),Mlz/H^fa-O^/Cb?),так какМ\у]=0О Д™ гипотезы Я 0 и Af [у] =0, для гипотезы Нх.ТогдаЛ/ [tf/tfj = - [Ъ (1 - а)+аа] 2*а/(в, - 0О)2.мщндшм+а(\ -дмг^/р, -ад2.Применение данного метода по сравнению с фиксированнымобъемом выборки N дает уменьшение числа реализаций при статистическом моделировании более чем в два раза.Для проверки гипотезы о среднем для случайных величин с нормальным законом распределения, неизвестным средним ц и неизвестной дисперсией а можно использовать следующую процедуру.Проверяют гипотезы Н0: ц<ц0 и Н^.
ц>ц0. Необходимо, чтобывероятность отвергнуть Н0 при ц^ц0 была Р^а и вероятностьпринять # 0 при ц>ц + А была Р</?.На первом шаге берут выборку размером m и вычисляют выборочную дисперсию238tf=£ (»-5Da/(»-i);здесь число т выбрано таким, чтобы выполнялось условиеа (8) < 1,25 log (1/(5),где fl(i5)=[(l/«5)w-l]/72, <5=min(a, F),f=m-1.Затем последовательно проводят по одному эксперименту. Привыполнении условия£ (у | -^ 0 -Д/2)>5Ь(а)/(2^-ЛГ(А/2-^)эксперимент прекращают и гипотезу Н0 отвергают.Гипотезу Я 0 принимают, если£(yj-H0-A/2)<N(AI2-d)-Sh(fi)l(2d),где^=ЗД/8.Таким образом, чем сложнее машинная модель Мы, тем важнееэтап тактического планирования машинного эксперимента, выполняемый непосредственно перед моделированием на ЭВМ системы 5.Процесс планирования машинных экспериментов с модельюМы итерационен, т.
е. при уточнении некоторых свойств моделируемой системы S этапы стратегического и тактического планирования экспериментов могут чередоваться.Контрольные вопросы6.1. Каковы характером особенности машинного эксперимента по сравнениюс другими видами экспериментов?6.2. Какие виды факторов бывают в имитационном эксперименте с моделямисистем?6.3. Что называется полным факторным экспериментом?6.4. Какова цель стратегического планирования машинных экспериментов?6.5. Какие проблемы стратегического планирования машинных экспериментовс моделями систем являются основными?6.6. Какова цель тактического планирования машинных экспериментов?6.7. Что называется точностью н достоверностью результатов моделированиясистем на ЭВМ?6.8. Как повысить точность результатов статистического моделирования системыв условиях ограниченности ресурсов инструментальной ЭВМ?ГЛАВА 7ОБРАБОТКА И АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВМОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМКонцепция статистического моделирования систем в реализационном планенеразрывно связана с ограниченностью ресурсов инструментальных ЭВМ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
