Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 52

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 52)

Если выбранная модель плани­рования включает в себя только линейные члены полинома и ихпроизведения, то для оценки коэффициентов модели используетсяплан эксперимента с варьированием всех к факторов на двух уров­нях, т. е. q = 2. Такие планы называются планами типа 2 , гдеN=2 — число всех возможных испытаний.Начальный этап планирования эксперимента для получения ко­эффициентов линейной модели основан на варьировании 'факторовна двух уровнях: нижнем х,я и верхнем х,„— симметрично рас­положенных относительно основного уровня xi0, i'=l, к. Геомет­рическая интерпретация показана на рис.

6.2, а. Так как каждыйфактор принимает лишь два значения xin=xi0—Ах, и x,t=xi0+Ax„то для стандартизации и упрощения записи условий каждого ис­пытания и обработки выборочных данных эксперимента масштабыпо осям факторов выбираются так, чтобы нижний уровень соответ­ствовал — 1, верхний— + 1 , а основной — нулю.

Это легко до­стигается с помощью преобразования видаXi=(x,-x,0)/Ax„ i=T7k,где jc, — кодированное значение г-го фактора; JC, — натуральное зна­чение фактора; х10 — нулевой уровень; Ах,=(х,в—х,„)/2 — интервалварьирования фактора.Пример 6.2. Пусть в качестве г-го фактора выступает такая переменная, кактемпература Г, °С, т. е. х;=Т, причем выбраны основной уровень х,о=100°Си интервал варьирования Ах,=20 °С. Тогда кодированные значения х,< по уровнямсоответственно будут (80—100)/20=-1 для нижнего, (120—100)/20=+1 для верх­него, (100—100)/20=0 для основного.Расположение точек для ПФЭ типа 22 показано на рис.

6.1,а также на рис. 6.2, б. Выписывая комбинации уровней факторов длякаждой экспериментальной точки квадрата, получим план D полно­го факторного эксперимента типа 22:Номер испытаниях,х2Обозначения строк216...1-1-1(1)2+1-1a3-1+1b4+1+1ab5)а)хгЧв3АхгЧа4хг(-'. *»41 °Чно,XхгJx,гV*(-',JX,ч'-Ч)J4,о2• ' )*»(+ ».-»;к-Ик-',-/;1*«х» 'V(-!,-l,*>)Рис. 6.2. Геометрическая интерпрета­ция полного факторногоэкспериментатипа 2 2 :(+U-U+1)Рис. 6.3. Геометрическая интер­претация полного факторногоэксперимента типа 2 3а — без масштабирования; б — при масштабирова­нии по осамПри этом планы можно записывать сокращенно с помощьюусловных буквенных обозначений строк. Для этого порядковыйномер фактора ставится в соответствие строчной букве латинскогоалфавита: х^-*а, х2-*Ь и т. д.Затем для каждой строки плана выписываются латинские буквытолько для факторов, находящихся на верхних уровнях; испытаниесо всеми факторами на нижних уровнях обозначается как (1).

Записьплана в буквенных обозначениях показана в последней строчке.Пример 6.3. Геометрическая интерпретация ПФЭ 2 3 приведена на рис. б.З, а егоплан ниже:Номер испытанияОбозначение строк1 2-1 -1-1 -1- 1 +1(1)с3-1+1-1b4-1+1+1be5+1-1-1а6+1-1+1ас7+1+1-1ab8+1+1+1abcПолный факторный эксперимент дает возможность определить не только коэф­фициенты регрессии, соответствующие линейным эффектам, но в коэффициентырегрессии, соответствующие всем эффектам взаимодействия. Эффект взаимодейст­вия двух (или более) факторов появляется при одновременном варьировании этихфакторов, когда действие каждого из них на выход зависит от уровня, на которыхнаходятся другие факторы.Для оценки свободного члена Ь0 и определения эффектов вза­имодействия Ь12, Ь1Ъ,..., Ь12г,...

план эксперимента D расширяют доматрицы планирования X путем добавления соответствующей «фик­тивной переменной»: единичного столбца х0 и столбцов произведе­нии х^х2, х^х-^, Х\Х2хг,..., как показано, например, для ПФЭ типа2 3 в табл. 6.1.217Таблица 6.1ПлавПФЭНомериспытания12345678*0+1+1+1+1+1+1+1+1*г-1-1-1-1+1+1+1+1*i-1-1+1+1-1-1+1+1*,-1+1-1+1-1+1-1+1*А*i*i+1-1+1-1-1+1-1+1+1+1-1-1-1-1+1+1*А*+1-1-1+1+1-1-1+1-г •?-1+1+1-1+1-1-1+1РеакцияУУхУгУзУ*.УьУбУ7У»Как видно из рассмотренных планов экспериментов типов 2 2и 2 , количество испытаний в ПФЭ значительно превосходит числоопределяемых коэффициентов линейной модели плана эксперимен­та, т. е. ПФЭ обладает большой избыточностью и поэтому возника­ет проблема сокращения их количества.Рассмотрим построение планов так называемого дробного фак­торного эксперимента. Пустьимеется простейший полный фактор­ный эксперимент типа 22.

Используя матрицу планирования, приве­денную в табл. 6.2, можно вычислить коэффициенты и представитьрезультаты в виде уравненияy=b0+bixi+b2x2+bl2x1x2.3Таблица 6.2План ПФЭНомер испытания1234*о*i*2(**)*,*,Реакция.)'+1+1+1+1-1+1-1+1-1-1+1+1+1-1-1+1У1УгУзУ*Если в выбранных интервалах варьирования уровня процессможно описать линейной моделью, то достаточно определить трикоэффициента: b0, bt и Ь2. Таким образом, остается одна степеньсвободы, которую можно использовать для минимизации числаиспытаний.

При линейном приближении b12-*Q и вектор-столбецххх2 (табл. 6.2) можно использовать для нового фактора Jc3. Поста­вим в табл. 6.2 этот фактор в скобках над взаимодействием ^1х,2В этом случае раздельных оценок, которые имели место в ПФЭтипа 2 , уже не будет и оценки смещаются следующим образом:bi-*Pi+P23> b2->f}2 + Pi3, b3-*P3 + f}12.При постулировании линейной модели все парные взаимодейст­вия не учитывают. Таким образом, вместовосьми испытаний в пол­ном факторном эксперименте типа 23 необходимо провести только218четыре.

Правило проведения дробного факторного экспериментаформулируется так: для сокращения числа испытаний новому фак­тору присваивается значение вектор-столбца матрицы, принадлежа­щего взаимодействию, которым можно пренебречь.При проведении эксперимента из четырех испытаний для оценкивлияния трех факторов пользуются половиной ПФЭ типа 2Э, такназываемой «полурепликой». Если приравнять х3 и —х1х2, то мож­но получить вторую «полуреплику». Для обозначения дробныхреплик, в которых d линейных эффектов приравнены к эффектамвзаимодействия, пользуютсяусловным обозначением2 ~ .

Напри­66 1мер, «полуреплика»от2записываетсяввиде2",а «четвертьреплика» — 2 б ~ 2 .Пример 6.4. При построении «полуреплики» 23"1 Х3 можно приравнять к XtX3или —Х^. Две «полуреплики» 21'1 показаны в табл. 6.3. Для произведения трехстолбцов левой матрицы выполняется соотношение -I-1 ••Х1Х2Х3, а правой матрицы- U i ] i , j f 3 , т. е. все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случаеравны +1, а во втором — 1.Кроме симметричных двухуровневых планов типа 2 при плани­ровании экспериментов применяют также многоуровневые планы,в которых факторы варьируются на 3, 4, ..., «i-м уровнях и обозна­чаются соответственно как 3 , 4 , ..., т -планы. Многоуровневыенесимметричные планы, в которых факторы варьируются на раз­личных уровнях, строятся различными способами: комбинировани­ем полных и дробных факторных планов типа 2 , методом преоб­разования симметричных планов в несимметричные и т.

д. Рассмот­ренные планы носят название планов регрессионного анализа длямногофакторного эксперимента [10, 22].Таблица 6.3Номериспытания12342 =2 S312*i*2*Э+1-1+1-1+1-1-1+1+1+1-1-1jjfjj]+1+1+1+1Номериспытания1234*»-- -*А*i*2*гSjijij+1-1+1-1+1-1-1+1+1+1-1-1-1-1-1-1Когда модель планирования анализируется методами дисперси­онного анализа, применяют планы дисперсионного анализа. Еслипри постановке эксперимента реализуются все возможные совокуп­ности условий, то говорят о полных классификациях дисперсион­ного анализа.

Если проводится сокращение перебора вариантов —это неполная классификация дисперсионного анализа. Сокращениеперебора может проводиться случайным образом (без ограниченияна рандомизацию) или в соответствии с некоторыми правилами (сограничениями на рандомизацию). Чаще всего в качестве таких219планов используют блочные планы и планы типа латинского квад­рата [10, 18, 21].Перейдем далее к рассмотрению вопросов, связанных непосред­ственно с планированием экспериментов с машинной модельюМы конкретной системы S.6.2. СТРАТЕГИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХЭКСПЕРИМЕНТОВ С МОДЕЛЯМИ СИСТЕМПрименяя системный подход к проблеме планирования машин­ных экспериментов с моделями систем, можно выделить две состав­ляющие планирования: стратегическое и тактическое планирование[46].Стратегическое планирование ставит своей целью решение зада­чи получения необходимой информации о системе S с помощьюмодели Мы, реализованной на ЭВМ, с учетом ограничений наресурсы, имеющиеся в распоряжении экспериментатора.

По своейсути стратегическое планирование аналогично внешнему проекти­рованию при создании системы S, только здесь в качестве объектавыступает процесс моделирования системы.Тактическое планирование представляет собой определение спо­соба проведения каждой серии испытаний машинной модели Мм,предусмотренных планом эксперимента. Для тактического планиро­вания также имеется аналогия с внутренним проектированием си­стемы S, но опять в качестве объекта рассматривается процессработы с моделью Ми.Проблемы стратегического планирования. При стратегическомпланировании машинных экспериментов с моделями систем воз­никает целый ряд проблем, взаимно связанных как с особенностямифункционирования моделируемого объекта (системы 5), так и с осо­бенностями машинной реализации модели Мм и обработки резуль­татов эксперимента.

В первую очередь к таким относятся пробле­мы построения плана машинного эксперимента; наличия большогоколичества факторов; многокомпонентной функции реакции; стоха­стической сходимости результатов машинного эксперимента; огра­ниченности машинных ресурсов на проведение эксперимента.Рассмотрим существо этих проблем, возникающих при стратеги­ческом планировании машинных экспериментов, и возможные ме­тоды их решения. При построении плана эксперимента необходимопомнить, что целями проведения машинных экспериментов с моде­лью Мм системы S являются либо получение зависимости реакцииот факторов для выявления особенностей изучаемого процесса фун­кционирования системы 5, либо нахождение такой комбинациизначений факторов, которая обеспечивает экстремальное значениереакции.

Другими словами, экспериментатору на базе машинной220модели Мм необходимо решить либо задачу анализа, либо задачусинтеза системы S [7, 17, 33, 46].Очевидно, что при реализации полного факторного плана раз­личия между машинными экспериментами для достижения той илииной цели стираются, так как оптимальный синтез сводится к выбо­ру одного из вариантов, полученного при полном факторном ана­лизе. Но полный факторный эксперимент эквивалентен в этомслучае полному перебору вариантов, что нерационально с точкизрения затрат машинных ресурсов. Для более эффективного (сточки зрения затрат машинного времени и памяти на моделирова­ние) нахождения оптимальной комбинации уровней факторов мож­но воспользоваться выборочным методом определения оптимумаповерхности реакции (систематическая или случайная выборка),методы систематической выборки включают в себя, факторный (методравномерной сетки), одного фактора, предельного анализа, наиско­рейшего спуска.

Характеристики

Список файлов книги