Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Необходимо рассчитать количество реализаций N при статистическом моделировании системы S, когда в качестве показателя эффективности используется вероятность р при достоверности (2=0,95 (Гф = 1,96) и точности £=0,01; 0,02;0,05. Так как значения р до проведения статистического моделирования системы5 неизвестны, то вычислим множество оценок JV ДЛЯ диапазона возможных значенийр, т. е. от 0 до 1, с дискретом 0,1. Результаты расчетов с использованием выражения(6.9) представлены в табл. 6.4.
Из таблицы видно, что при переходе от р**0,1 (0,9)к ,р=0,5 количество реализаций N возрастает примерно в три раза, а при переходе от£=0,05 к £=0,01 количество реализаций N возрастает примерно в 25 раз [4].Таблица 6.4Вероятностьр0,10,20,30,40,5(0,9)(0,8)(0,7)(0,6)0,5)0,05140250330380390Точность я0,0290015002100230024000,0136006200840094009800При тактическом планировании машинного эксперимента, когдарешается вопрос о выборе количества реализаций N, значение р неизвестно. Поэтому на практике проводят предварительное моделирование для произвольно выбранного значения N0, определяютp0=mlNQ, а затем по (6.9) вычисляют, используя вместо р значениеPq, необходимое количество реализаций N.
Такая процедура оценкиN может выполняться несколько раз в ходе машинного эксперимента с некоторой системой S.При отсутствии возможности получения каких-либо априорныхсведений о вероятности р использование понятия абсолютной точности теряет смысл. Действительно, можно, например, предварительно задать точность результатов моделирования е = 0,01, а искомая р в результате окажется хотя бы на порядок ниже, т. е./?<0,001. В таких случаях целесообразно задавать относительную230точность результатов моделирования е0. Тогда соотношение (6.9)примет видN=tlp(l-p)/(ph2Q) = tl(l-p)Kelp).(6.10)Соотношение (6.10) наглядно иллюстрирует специфику статистического моделирования систем, выражающуюся в том, что дляоценивания малых вероятностей р с высокой точностью необходимо очень большое число реализаций N. В практических случаях дляоценивания вероятностей порядка 10~ целесообразно количествореализаций выбирать равным 10 .
Очевидно, что даже для сравнительно простых систем метод статистического моделированияприводит к большим затратам машинного времени.Другим распространенным случаем в практике машинных экспериментов с моделью Мм является необходимость оценки показателей эффективности Е системы S по результатам определениясреднего значения некоторой случайной величины. Пусть случайнаявеличина £, имеет математическое ожидание а и дисперсию с2.В реализации с номером i она принимает значение х,. В качествеоценки математического ожидания а используется среднее ариф_Nметическое x=(l/N) £ х,.В силу центральной предельной теоремы теории вероятностейпри больших значениях N среднее арифметическое х будет иметьраспределение, близкое к нормальному с математическим ожиданием а и дисперсией a2/N. Для математического ожидания а точностьоценки E=t9a/y/N, а количество реализацийN= фг2/е2, или N= 1\еЦг\аг).(6.11)Аналогично, если в качествепоказателя эффективности Е систе2мы S выступаетдисперсияа,ав качестве ее оценки используетсявеличина S2, то математическое ожидание и дисперсия соответственно будутM[S2] = (N-l)a2/N;D[S2]=(ji^-^)/N,где цА — центральный момент четвертого порядка случайной величины.Для дисперсии а2 точность оценки E=t(fl •>J(ji4, — o*)jN.Отсюда количество реализаций будетN=t*(nt-a*)/t2,или N=tl[(nJa*)-\]/e%.(6.12)Для частного случая, когда случайная величина имеет нормальное распределение ц4.
= 3а4; получим N —l\2air\г2=2t2^&\.Таким образом, на основании соотношений (6.9) — (6.12) можно231сделать вывод, что количество реализаций при статистическом моделировании существенно зависит от дисперсии оцениваемой случайной величины. Поэтому выгодно выбирать такие оцениваемыепоказатели эффективности Е системы S, которые имеют малыедисперсии.Проблема уменьшения дисперсии оценок характеристик процессафункционирования моделируемых систем. Таким образом, с проблемой выбора количества реализаций при обеспечении необходимойточности и достоверности результатов машинного экспериментатесно связана и третья проблема, а именно проблема уменьшениядисперсии. В настоящее время существуют методы, позволяющиепри заданном числе реализаций увеличить точность оценок, полученных на машинной модели Мм, и, наоборот, при заданной точности оценок сократить необходимое число реализаций при статистическом моделировании. Эти методы используют априорную информацию о структуре и поведении моделируемой системы.
S и называются методами уменьшения дисперсии.Рассмотрим в качестве иллюстрации метод коррелированныхреализаций (выборок), используемый в задачах сравнения двух илиболее альтернатив. При исследовании и проектировании системыS всегда происходит сравнение вариантов Sh z=l, к, отличающихсядруг от друга структурой, алгоритмами поведения и параметрами.Независимо от того, как организуется выбор наилучшего варианта системы S (простым перебором результатов моделированиясистемы Si или с помощью автоматизированной процедуры поиска), элементарной операцией при этом является равнение статистически усредненных критериев интерпретации [18, 21, 29, 33, 53].Сравниваемые статистические показатели Е, вариантов моделируемой системы Sh i = l , к, полученные на машинной модели Мм,можно записать в виде средних значений E,—M[q], i—l, к, критериев г},, характеризующих систему S„ или в виде средних значенийфункции этих критериев fj(ql), /=1—, k,j=\, L.
Например, еслиfl система S/ удовлетворяет требованиям;[О в противном случае,то показатели Е, являются вероятностями нормальной работы системы St. Еслиfj(q,) = (Aqi-M[Aq])2,i=TTk,j=T7L,то показатель Е, является дисперсией значения контролируемойвеличины и т. д. Здесь Aq, = \q,— qai\— отклонение значения контролируемой для системы 5", величины q, от истинной #„,.232В дальнейшем, поскольку при сравнении характеристик, полученных на машинной модели Мм, всегда рассматриваются дваконкурирующих варианта моделируемой системы, будем сопоставлять только две системы: 5Х и S2. Существенной особенностьюоперации сравнения вариантов систем S1 и S2 является повышениетребований к точности статистических оценок Ё х , Ё 2 показателейEj, Е2 при уменьшении разности АЕ = |Е1—Е2|. Это обстоятельствотребует разработки специальных приемов получения статистическизависимых оценок для уменьшения дисперсии.Рассмотрим наиболее характерные случаи, имеющие место приимитационных экспериментах, когда в качестве оценок выступаютсредние значения, вероятности и дисперсии [29, 53].Если полученные в результате имитационного экспериментас вариантами модели системы Sx и S2 оценки а1г а2 среднихзначений критериев qv q2, fl1 = iW[g1], a2 = M[q2] имеют дисперсииD [aj, D [a2] и коэффициент корреляции оценок at, a2 равен R [аи а2],то дисперсию погрешности оценки 3=а1 — а2 разности d=at — a2можно найти из соотношенияZ)fd]=i)[5 1 -aJ = Z)[fl1]+Z>[fl2]-2J?[c1, aj^ffj,(6.13)где 0i = л/D[aj, o2=y/D[a2] — средние квадратические отклоненияоценок.При независимом моделировании вариантов системы с использованием различных реализаций псевдослучайных последовательностей коэффициент корреляции оценок R=[auaj =0иА,[<3]=2)[<г1]+Я[52].При моделировании удается получить положительный коэффициент корреляции R[au 3^0, т.
е. D[3]<D„[3], когда при имитационных экспериментах с вариантами системы St и 5 2 используются,например, одни и те же псевдослучайные последовательности.Рассмотренные соотношения для дисперсии D[3] не связанысо специальными предположениями о способе получения оценока1г а2.Пример 6.8. Рассмотрим полученные при машинном моделировании реализацииу^ (гДг), у2 (Mf), r= =0, N, критериев qlt q2 как выборку из двухмерного векторногостационарного процесса q (0— ll?i (')> Яг (Oil с° средним значением \\а^ я2]| и матричной корреляционной функцией„,ч5п(т)В12(г)Я«(т)B22{i)где В„ (т) — автокорреляционная функция i = 1, 2; Вч (т) = BJt (т)взаимная корреляционная функция компонентов q (f), «.7=1.
2, iV/233Тогда можно показать, что1>Й=11/(^+1)](Ли(0)+В„(0)-4В1г(0) +JV+1+ I ll-rl(N+l)UBn(rAt)+{B2i(rAi)-2[B12(rAt)+B2l(.rbt)]}).Эту формулу применяют для расчета точности оценки d при заданной матричной корреляционной функции В (т).Вероятностиpt,p2 событий Л,, А2, характеризующих сравниваемые варианты модели систем 5^ и S2, можно представить каксредние значения двоичных случайных величин qu q2 с распределением вероятностей P{qi = l}=pl; P{qi = 0}=l—Pi', Р\Я2 = 1}=Р2>P{<h=0) = l-P2Поэтому для оценки разности вероятностей A/J=/J 1 — p2 =—M[q^\—Mlq^ можно использовать все выражения, полученныеранее при сравнении средних значений, видоизменив в них'обозначения с учетом того, что двухмерное распределение вектора (qu q2),описывающее зависимость между событиями А1г .42^_имеет видP{4i = h Чг = 1}=Р(АиАг)=Рл> ^{?i = 0, q2^0} = P{Alt Л2)=рв;Р{Я=1 q2 = 0} = P(A1, A2)=pc; P{q, = 0, q2 = l} = P(Alt A2)=pD,причемрл+Рс=рх, PA+PD=PI- В частности, для повторной выборки объемом N получим, что оценкаДр =Pi~р2=mJN-mJN,где т1г т2 — количество наступлений событий Ах, А2, полученныхпри независимых прогонах модели.
Учитывая, что между qx, q2ковариация B12=pA—pj>2, найдем дисперсию оценкиD [АЙ = \рс +pD - (рс -pD)2]/N,что следует из (6.13).Если в процессе проведения имитационных экспериментов с моделью фиксируются эмпирические частоты рс, pD событий С, D, тодля дисперсии D[Ap\ при достаточно большом N можно воспользоваться несмещенной оценкойD[AP)=[PC+PD-(PC-PD)Z]/(X-1)-И наконец, рассмотрим случай, когда в качестве оценки варианттов систем St и S2 выступает дисперсия. В этом случае оценка АЛразности LD = Dl—D2 дисперсией критериев qu q2 вычисляется понезависимым реализациям вектора (qu q2) с помощью формулыAD = Dl — D2, где Л 1( 32 — эмпирические дисперсии критериев qx,q2, рассчитываемые по формулеЛ,= £ (q-M[q])2i(N-l).1=1234Для оценки AD дисперсияD[AS\=D[3^+D[3^-2B[5lt£j,где дисперсии эмпирических дисперсий D[D{\, D[D^\ вычисляютсяпо формулеZ)[^]=iV[(/f4-i)5)/iVr-20i4-2i)J)/iV2 + 0 i4 -3^ 2 )/iSr 3 ]/(Ar-l) }где H4 = MA[q]=M[(q—M[q])*] —центральный момент распределения четвертого порядка.КовариацияВ[бх, ВА*М[(91-М[Ч1))2(q2-M[q])2]/N.Пример 6.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
