Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Возможна ситуация, когда случайные £, и ц стохастическизависимы, хотя причинно они являются для системы S независимы­ми. При статистическом моделировании наличие такой зависимо­сти может иметь место, например, из-за коррелированности после­довательностей псевдослучайных чисел, используемых для имита­ции событий, положенных в основу вычисления значений х и у.Таким образом, корреляционный анализ устанавливает связьмежду исследуемыми случайными переменными машинной модели249и оценивает тесноту этой связи.

Однако в дополнение к этомужелательно располагать моделью зависимости, полученной послеобработки результатов моделирования.Регрессионный анализ результатов моделирования. Регрессион­ный анализ дает возможность построить модель, наилучшим об­разом соответствующую набору данных, полученных в ходе машин­ного эксперимента с системой S. Под наилучшим соответствиемпонимается минимизированная функция ошибки, являющаяся раз­ностью между прогнозируемой моделью и данными эксперимента.Такой функцией ошибки при регрессионном анализе служит суммаквадратов ошибок.Пример 7.2. Рассмотрим особенности регрессионного анализа результатов моде­лирования при построении линейной регрессионной модели.

На рис. 7.2, а показаныточки jf„ у„ ;'=Т7Д полученные в машинном эксперименте с моделью Мы системы S.Делаем предположение, что модель результатов машинного экс­а)перимента графически можетбыть представлена в виде прямойу=<р{х)=Ь0+Ъ1х,где $ — величина, предсказы­ваемаярегрессионноймоде­лью.Требуется получить такие зна­чения коэффициентов Ь0 я Ьи приРис. 7.2. Построение линейной регрессионной которых сумма квадратов ошибокмоделиявляется минимальной.

На рисун­ке ошибка ей / = 1 , N, для каждойэкспериментальной точки определяется как расстояние по вертикали от этой точкидо линии регрессии у=q> (x).Обозначим y,=b0+b1Xi, / = 1 , N Тогда выражение для ошибок будет иметь видкe,=yi-yi=b0+b1x,-yl,а функция ошибки F 0 = £ {Ьо+Ьп-уЩ1.i-iДля получения Ь0 и Ьх, при которых функция F0 является минимальной, применя­ются обычные методы математического анализа. Условием минимума являетсяdFJ3b0=6;dF0ldbL=0.Дифференцируя F0, получаемdFal8b0 = d £ (i 0 +6 1 x,-^ I ) J /5i 0 = 2 ( M 0 + i 1 £(«1dFJdb^d\i-lJC,-5>,)-0,i-l£ {Ь0 + Ь1Х1-у,)2!дЬ1=2Ь0 £ X.+2A, £ xf-2/£ад=0Решая систему этих двух линейных алгебраических уравнений, можно получитьзначения Ь0 и bL В матричном представлении эти уравнения имеют вид250КJ»NI**0I*?1-1h1-1кI*.—I.

У.1-1Ni-11-2Решая это уравнение, получаем*о-(I У. I *?-1 *. I *.)/[* I *?-(£*)}*i=(* 1 ья-! * ji *)/[* i x>-(i *<)2}где N — число реализаций при моделировании системы.Соотношения для вычисления Ьа и Ь1 требуют минимального объемапамяти ЭВМ для обработки результатов моделирования. Обычно мерой ошибкирегрессионной модели служит среднее квадратичное отклонение* - [ ( £ «?)/(АГ-2)],/2-|[1 (*о-А1*1-л)я]^-2)|"2.Для нормально распределенных процессов приблизительно 67% точек находитсяв пределах одного отклонения ае от линии регрессии и 95% — в пределах 2в> (трубкиА в В соответственно на рис.

7.2, 6). Для проверки точности оценок Ь0 и Ь.регрессионной модели могут быть использованы, например, критерии Фишера (Fраспределение) и Стьюдента (/-распределение). Аналогично могут быть оцененыкоэффициенты уравнения регрессии и для случая нелинейной аппроксимации.Дисперсионный анализ результатов моделирования.

При обработ­ке и анализе результатов моделирования часто возникает задачасравнения средних выборок. Если в результате такой проверкиокажется, что математическое ожидание совокупностей случайныхпеременных {Ух)}, {/2)}, •••, {Уп)} отличается незначительно, тостатистический материал, полученный в результате моделирования,можно считать однородным (в случае равенства двух первых моме­нтов). Это дает возможность объединить все совокупности в однуи позволяет существенно увеличить информацию о свойствах ис­следуемой модели Мм, а следовательно, и системы S. Попарноеиспользование для этих целей критериев Смирнова и Стьюдентадля проверки нулевой гипотезы затруднено в связи с наличиембольшого числа выборок при моделировании системы. Поэтомудля этой цели используется дисперсионный анализ.Пример 7.3.

Рассмотрим решение задачи дисперсионного анализа при обработкерезультатов моделирования системы в следующей постановке. Пусть генеральныесовокупности случайной величины {у(1)}, (У2'}, •••, {ум} имеют нормальное рас­пределение и одинаковую дисперсию Необходимо по выборочным средним значени­ям при некотором уровне значимости у проверить нулевую гипотезу Н0 о равенствематематических ожиданий.

Выявим влияние на результаты моделирования толькоодного фактора, т е рассмотрим однофакторный дисперсионный анализ.Допустим, изучаемый фактор х привел к выборке значений неслучайной251величины У следующего вида: у1а у2, •••> Ук, где к — количество уровней факторах. Влияние фактора будем оценивать неслучайной величиной Dx, называемойфакторной дисперсией:Лх-oJ- £(y,-y)lk,1-1где р — среднее арифметическое значение величины У.Вели генеральная дисперсия D [у] известна, то для оценки случайности разбросанаблюдений необходимо сравнить D \у] с выборочной дисперсией Si, используякритерий Фишера (F-распределение). Если эмпирическое значение F3 попадает в кри­тическую область, то влияние фактора х считается значимым, а разброс значенийх — неслучайным.

Если генеральная дисперсия D [х] до проведения машинногоэксперимента с моделью Мм неизвестна, то необходимо при моделировании найтиее оценку.Пусть серия наблюдений на уровне у-, имеет вид у,\, уцут, где и — числоповторных наблюдений на I-M уровне. Тогда на ;'-м уровне среднее значениенаблюдений1 "У-=~п I УФi-iа среднее значение наблюдений по всем уровнямI * "1 *У—JZ I I У'у-г. Z УОбщая выборочная дисперсия всех наблюденийПри этом разброс значений у определяется суммарным влиянием случайныхпричин и фактора х.

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы разложитьобщую дисперсию D\y] на составляющие, связанные со случайными и неслучайнымипричинами.Оценка генеральной дисперсии, связанной со случайными факторами,*м^СЦ*-Ц(£")"}а оценка факторной дисперсииAt-£M-£eM.Учитывая, что факторная дисперсия наиболее заметна при анализе среднихзначений на I-M уровне фактора, а остаточная дисперсия (дисперсия случайности) длясредних значений в п раз меньше, чем для отдельных измерений, найдем болееточную оценку выборочной дисперсии'Д . + 1 А > М = 7 — , 1 iy.-yfпкJ1-ХУмножив обе части этого выражения на п, получим в правой части выборочнуюдисперсию Si, имеющую (к— 1)-к> степень свободы. Влияние фактора х будет значи­мым, если при заданном у выполняется неравенство SljD0[y\>F\-yВ противномслучае влиянием фактора х на результаты моделирования можно пренебречь и счя252тать нулевую гипотезу Я 0 о равенстве средних значений на разлнчных уровняхсправедливой.Таким образом, дисперсионный анализ позволяет вместо про­верки нулевой гипотезы о равенстве средних значений выборокпроводить при обработке результатов моделирования проверкунулевой гипотезы о тождественности выборочной и генеральнойдисперсий.Возможны и другие подходы к анализу и интерпретации резуль­татов моделирования, но при этом необходимо помнить, что ихэффективность существенно зависит от вида и свойств конкретноймоделируемой системы S.7.3.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ МАШИННОГО ЭКСПЕРИМЕНТАПРИ СИНТЕЗЕ СИСТЕМПри синтезе системы S на базе машинной модели Мм задачапоиска оптимального варианта системы при выбранном критерииоценки эффективности и заданных ограничениях решается путеманализа характеристик процесса функционирования различных ва­риантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшеговарианта. Независимо от того, как организуется выбор наилучшеговарианта системы — простым перебором всех проанализированныхпри машинных экспериментах результатов или с помощью специ­альных процедур поиска оптимального варианта, например мето­дов математического программирования,— элементарной операци­ей является сравнение статистически усредненных критериев оценкиэффективности вариантов систем [9, 29, 33, 53].Особенности машинного синтеза.

Учитывая то обстоятельство,что конкурирующие варианты системы S отличаются друг от другаструктурой, алгоритмами поведения, параметрами, число такихвариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимальноговарианта системы 5 ^ особенно важно минимизировать затратыресурсов на получение в результате моделирования характеристиккаждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при син­тезе системы S обработку и анализ результатов моделированиякаждого варианта системы S следует рассматривать не автономно,а в их тесной взаимосвязи. Очевидно, что задача синтеза оптималь­ного варианта моделируемой системы S^ должна быть уже постав­лена при планировании машинного эксперимента с моделью Мы.В предыдущей главе было показано, что искусственная органи­зация статистической зависимости между выходными характеристи­ками сравниваемых вариантов St и S2 системы дает выигрышв точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсий приположительно коррелированных критериях qy и qz.

Корреляциямежду критериями qx и q2 возникает в силу того, что случайныевекторы253описывающие воздействие внешней среды Е на варианты Sx и S2системы, имеют общие составляющие v =(t;l5 ..., vk), в то времякак составляющие («tVi, ••-, vP) и («j$i, ..., viP) статистическинезависимы.Если через v=(vt, ..., vk) обозначить фиксированные значениясоставляющих v = {vt, ..., v*), то условные средние значения qi и q2будут такими:Mi (« ) = М [qjv] = М [q2jv],т. е, являются функциями переменных « =(vlt ..., vk).Рассмотрим особенности обработки результатов моделирова­ния, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экс­периментов полные средние значения критериев qtaq2 примут видHi=M[qi]= J ...

Характеристики

Список файлов книги