Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Jii^)f{v)dv;— oo—oo— oo—ooгде dv=dvlt..., dvk',f(v)=fk(v,..., vk) — совместная плотность вероятностей составляющих vu ..., v*.Ковариадия00Bi2=B[q1,q2]=I— aoСОJ \ix (?) \i2 (v)f(v)dv-ц^.— ooДостаточным условием неотрицательности ковариации, дающим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковаяупорядоченность условных средних /^ (v), \i2 (v) относительно векторного аргумента v=(vlt ..., v2), т. е. выполнение неравенстваfriG)-viG№2G)-ni&)]>o(7.1)для любых значений векторных аргументовz=(zx, ..., zk), u=(uv ..., ик).соос_^Действительно, учитывая, что j ... J f{v)dv — 1, находим—хВц= 1 - I h(v)/i2(v)f(v)dv— 00254— OO— ooJ ... J ii,{v)f{Z)dv—CC—ОСJ ... J x— 0 0 — 0 0*ti2(v)f(v)dv=0,5J ...
J— oofG)f{u)\til(ji)ii2{u)-iilG)n2<ji)+—oo+ fi1(z)fi2(z)-^)^)]dzdu=0,5 J ... J f(z)f(u)x— oo—ooТак как /(v)>0 для всех v, то при выполнении (7.1) имеем2?х 2^0, что и требовалось доказать.Когда в качестве результатов моделирования выступают вероятности событий А1г А2 для вариантов S1 и S2 системы, то условныезначенияtii0)=P(Al^); HzfaPiAJv),где P(AJv) — условная вероятность, i"= 1, 2.Тогда достаточное условие неотрицательности ковариации запишется в видеPiAjb-PiAJuMPiAjb-PiAjU)]^,(7.2)что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероятностей P(AJv) и P[A2(v) относительно векторного аргумента «.Одинаково упорядоченными являются монотонно возрастающие или монотонно убывающие функции /^ (v) и ц2 (v) скалярногоаргумента », а также одинаковые функции fii(v)=ti2(v) независимоот их монотонности.
Пример одинаково упорядоченных возрастающих (в) и убывающих (б) функций ц(и) показан на рис. 7.3.Если положительные функции fij(v),j=l, n, одинаково упорядочены, то произведение любой5)комбинации этих функций а)fik(v) ц,$)...ц„(И) одинаковоупорядочено с произведениемлюбойкомбинации/*/(в)^(«).../*р(«).
Это же можно сказать и об условных вероятностях P(Aj/v),j=\, п.f^ Ч^Пример 7.4. Пусть методом статистического моделирования на ЭВМ необходимо сравнить результаты моделирования двух вариантов S1 и S2 системы, составленных из одинаковыхблоков В1—В4.
(структура системы показана на рис. 7.4) и сравниваемых покритерию надежности с учетом случайных изменений внешней температурыСобытия Л j и А 2 соответствуют безотказной работе вариантов 5j и S2 системы в течение заданного времени Т.Рис. 7.3. Пример одинаково упорядоченных функцийРис. 7.4. Структуры сравниваемых вариантов систем Sl и S2255Вероятность безотказной работы В, при заданной температуре »=v можноопределить какгде A, (v) — интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциямитемпературы.Таким образом, функции P(BfJv) являются одинаково упорядоченными убывающими функциями. Можно показать, что функции P(AJv) = {l — [1— P(B1/v)][l —-P(B2M]Ul-[l-P(.B3lvW-P(BAM]},P(^/v) = l-[l-P(B 1 /v)xP(B 3 /v)][l—P(B2/v)P{BJv)] также одинаково упорядочены и убывают с ростом температурыv. Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами Sx и 5 2 системыодни и те же реализации v случайной температуры v, получим в результате моделирования большую точность сравнения вероятностей Р (Аг)яР (А2), чем при раздельном моделировании 5 } и S2 системы с использованием независимых реализаций v.Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента,например для набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т.
п.Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют,т.е. Vj=v2 = v, условные средние ^1(v)=A/[91/v], ^j(v)=Af[92/v] преобразуютсяв детерминированные зависимости критериев от случайных воздействии ?i=/i(v),При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими.Так, например, условия (7.2) выполняются лишь тогда, когда для всех значенийисключено одно из состояний: АХА2 или А1А2. Другими словами, положительнаякорреляция В12 и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когдавариант системы St равномерно лучше (хуже) варианта S2. В принятых в § 6.3обозначениях это соответствует рс=*0 или pD=0Состояния С—А^А.2 или D=A1A2 вариантов систем Sx и S2 возможны лишь приналичии двух неисправных блоков 5„ /=1, 4, состояние A=AtA2 возможно приотсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние B=AtA2 —при трех или четырех неисправностях.
Обозначив через ВЩ ситуацию с неисправностями блоков В( и Bj, находим соответствие между состояниями~EJ}2^>B, ~Ё^*Ъ-+А, ~EJii~*C,5253-t-C, ~B2BA-*A, T}3'E4.-fBи убеждаемся в отсутствии состояния D.Следует помнить, что условия одинаковой упорядоченности (7.1)и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточными условиями неотрицательности корреляции. Поэтому, обнаружив в конкретной схеме проведения имитационного экспериментанарушение этих условий при некоторых реализациях входных воздействий v, следует более детально рассмотреть процедуру сравнения средних значений или вероятностей.
Например, при сравнениивероятностей, задаваясь значениями Ар—р1 —рг, рл иp D , необходимо рассчитать значения р2 =рл +pD, р± =р2+Ар, рс =pD + Ар и вычислить коэффициенты корреляции и «выигрыша» соответственно:Л12 = (Рл -PiPjIy/Pi 7У-р\)Рг О ~Pi)\y = Nm/N, = \p1 (1 -/>i)+/>2(l-P2)]I\PC+PD-(PC-PD)21256где NK и iV3 — объемы выборки, необходимые для получения заданной точности оценки Ар при использовании независимых и зависимых реализаций.Таким образом, использование зависимых испытаний дает возможность значительно сократить затраты машинного времени намоделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристиквариантов при синтезе системы с учетом их корреляции являетсяформальной.
Однако основа для получения с помощью этой методики практических преимуществ — неформальная операция выборатакой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бытребуемая корреляция.Оценка результатов моделирования системы. Рассмотрим возможность оценки при обработке результатов моделирования абсолютных значений характеристик процесса функционирования системы S. Пусть исследование одного из вариантов системы, например 5 2 , выполнено аналитическим методом и определено среднеезначение fi2 критерия q2. Тогда оценка /xi = /j 2 —а? среднего значения/j.L имеет дисперсию.0[Д1]=/)Й = (1?[Д1]+,0[Д^/у,=(1+а)1)[Д1]/у„где ум — коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разностисредних значений d=n2 — fi1 за счет зависимости испытаний;cc=D[fi2]/D[p.1].
Оценка /21 точнее Дх, если (1 + а)/у,,<1.Однако затраты машинного времени для получения оценки /21,которые обозначим как /12, превышают при заданном N затратымашинного времени /1} необходимого для автономной оценки nvПоэтому при заданной точности оценки среднего цх оценка Д1 даетвыигрыш по затратам машинного времени на имитацию тольков том случае, если (1 + a)f12/(yMf1)< 1.Для нормально распределенных критериев q^ и q2 оценка дисперсии D[=D2 + AD. Выигрыш в затратах машинного времени наимитационное моделирование по сравнению с автономной оценкойDt будет лишь при условии (l + cc)/tl2/yDtt)< 1, где yD — коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности дисперсий АЛ засчет зависимых испытаний.Рассмотренные методы сравнения вариантов £х и S2 моделируемой системы можно использовать в алгоритмах оптимизации наэтапе проектирования системы 5, т.
е. при ее синтезе, по результатам имитационного эксперимента с ее машинной моделью Л/м.При синтезе системы S на основе проведения машинных экспериментов с моделью Л/м возникает задача анализа чувствительности модели к вариациям ее параметров. Под анализомчувствительности машинной модели Мм понимают проверкуустойчивости результатов моделирования, т.
е. характеристик процесса функционирования системы S, полученных при проведении257имитационного эксперимента, по отношению к возможным отклонениям параметров машинной модели ДЛ=(АА1, ..., ДАЯ) от—»истинных их значений h=(h1h„) [29, 33, 53].Анализ чувствительности позволяет сравнивать методическиепогрешности, полученные при построении машинной модели Мм,с неточностями задания исходных данных, что особенно важно припрактической реализации для целей синтеза системы S.Малым отклонениям АЛ будут соответствовать изменения характеристик q Qi), которые в практических расчетах можно оценитьвеличиной Aq=q'(h)Ah+r0, где ^'(А)=(59(Л)/5А15 ..., 8q(h)ldhn);г0 — остаточный член второго порядка малости относительновариации, который используется для проверки точности решения.Частная производная q'(h) определяется в точках, соответствующих номинальным значениям параметров А „ом- Если hmai=h*, где—»—•—*—•_, —»Л* — оптимальные параметры системы по показателю q (Л), то?'(Лном)=0 и необходимо проводить оценку с использованием вто_ -»рой производной ^"(Аяом)- Таким образом, частные производные-» ~*-• ~*q'(h), q"(h) количественно характеризуют чувствительность машинной модели Мм к изменениям ее параметров.^ Большие отклонения характеристик q (А) при малых вариацияхАЛ свидетельствуют о неустойчивости модели Мм по отношениюк этим вариациям.
Для получения оценок q(h) показателя q(h)удобно рассматривать зависимые реализации внешних воздействийпри различных Л и проводить соответствующую обработку результатов машинного эксперимента с моделью Мм.Чувствительность можно оценить и на более простой модели,чем модель для определения характеристик процесса функционирования системы S. Кроме того, универсальные оценки производныхq'(h) и q"(h), вьшолняемые при моделировании по зависимымиспытаниям, в ряде частных случаев можно заменить более удобными непосредственными вычислениями.Таким образом, результаты машинного эксперимента с моделью Мм обрабатываются с учетом целей моделирования системы S,которые находятся в тесной связи с вопросами, решаемыми припланировании экспериментов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
