Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 58
Текст из файла (страница 58)
д.,причем необходимую в этом случае статистическую обработку результатов ведут по возможности в процессе моделирования системы S на ЭВМ.Для принятия или опровержения гипотезы выбирают некоторуюслучайную величину U, характеризующую степень расхождениятеоретического и эмпирического распределения, связанную с недостаточностью статистического материала и другими случайнымипричинами. Закон распределения этой случайной величины зависитот закона распределения случайной величины г\ и числа реализацийN при статистическом моделировании системы S. Если вероятность245расхождения теоретического и эмпирического распределенийP{UT^U} велика в понятиях применяемого критерия согласия, топроверяемая гипотеза о виде распределения Яр не опровергается.Выбор вида теоретического распределения F(y) (или/(у)) проводится по графикам (гистограммам) F3(y) (или/ э 00), выведенным напечать или на экран дисплея.Рассмотрим особенности использования при обработке результатов моделирования системы S на ЭВМ ряда критериев согласия[7, И, 18, 21, 25].Критерий согласия Колмогорова.
Основан на выборе в качестве меры расхождения £/величины D=max [.Рэ О*)—F(y)].Из теоремы Колмогорова следует, что 5**D>/N при ЛГ—»оо имеет функциюраспределенияF(z)=P{6<z}= £(-l)*e-2*Vj2>0.Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение 5 меньше, чемтабличное значение при выбранном уровне значимости у, то гипотезу Н0 принимают,в противном случае расхождение между F3(y) в F(y) считается неслучайным^ гипотеза Н0 отвергается.Критерии Колмогорова для обработки результатов моделирования целесообразно применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функциираспределения. Недостаток использования этого критерия связан с необходимостьюфиксации в памяти ЭВМ для определения D всех статистических частот с целью ихупорядочения в порядке возрастания.Критерий согласи Пирсона.
Основан на определении в качестве меры расхождения U величиныf = £ <rn,-Npd/(.Npd,где m; — количество значений случайной величины г], попавших в i-й подынтервал;Pi — вероятность попадания случайной величины у в i-й подынтервал, вычисленнаяиз теоретического распределения; d — количество подынтервалов, на которые разбивается интервал измерения в машинном эксперименте.При N-юэ закон распределения величины U, являющейся мерой расхождения,зависит только от числа подынтервалов и приближается к закону распределения х(хи-квадрат) с (d— г— 1) степенями свободы, где г — число параметров теоретического закона распределения.Из теоремы Пирсона следует, что, какова бы ни была функция распределенияF{y) случайной величины г\, при 7V->oo распределение величины х2 имеет видFk(z) = P{X2<2} = l/[2kl2r(k/2)]] e-'l2tW2-l)dt,оz>0,где T(fc/2)—гамма-функция; z — значение случайной величины хг> k=d—r—\ —число степеней свободы.
Функции распределения Fk (z) табулированы.По вычисленному значению Ь'=х и числу степеней свободы к с помощьютаблиц находится вероятность Я{х* >Х2}- Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости у, то считается, что гипотеза Н0 о виде распределения неопровергается результатами машинного эксперимента.Критерий согласия Смирнова. При оценке адекватности машинной модели Мы реальной системе S возникает необходимость проверки гипотезы На, заключающейсяв том, что две выборки принадлежат той же генеральной совокупности. Если246выборки независимы и законы распределения совокупностей F(u) и F(z), из которыхизвлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов v и f, тодля проверки гипотезы Н0 можно использовать критерий согласия Смирнова, применение которого сводится к следующему.
По имеющимся результатам вычисляютэмпирические функции распределения F3(u) и F3(z) и определяютD=max\F3(u)-F3(z%Затем при заданном уровне значимости у находят допустимое отклонениегде TVj и N2 — объемы сравниваемых выборок для F3 (и) и F3 (z), и проводятсравнение значений D и D-.: если D>Dy, то нулевую гипотезу Н0 о тождественностизаконов распределения F(u) и -F(z) с доверительной вероятностью />=1 —у отвергают.Критерий согласия Стьюдевта. Сравнение средних значений двух независимыхвыборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями D[v]=D[£\, сводится к проверке нулевой гипотезы Н0: Д=и—г=0на основании критерия согласия Стьюдевта (f-критерия). Проверка по этому критерию сводится к выполнению следующих действий. Вычисляют оценку'=[£-5)/V(W1 -1)*? + № - WlVs/N^ (JV, +N2 -DKNi+NJ,где N, и N2 — объемы выборок для оценкийнгсоответственно; д% и 5\ — оценкидисперсий соответствующих выборок.Затем определяют число степеней свободы k=Nl+N1—2,выбирают уровеньзначимости у и по таблицам находят значение ty.
Расчетное значение / сравниваетсяс табличным ty и если |r| < ty, то гипотеза На не опровергается результатами машинного эксперимента.Критерий согласия Фишера. Задача сравнения дисперсий сводится к проверкенулевой гипотезы Н0, заключающейся в принадлежности двух выборок к одной и тойже генеральной совокупности. Пусть необходимо сравнить две дисперсии а\ и Ъ\,полученные при обработке результатов моделирования и имеющие fcj и к2 степенейсвободы соответственно, причем а\>а\. Для того чтобы опровергнуть нулевуюгипотезу Н0: a\—<ri, необходимо при уровне значимости у указать значимостьрасхождения между а\ и а\.
При условии независимости выборок, взятых из нормальных совокупностей, в качестве критерия значимости используется распределениеФишера (/"-критерий) F=a\ja\, которое зависит только от числа степеней свободыk1 = Ni — l, k2 = N2—l, где Nl и N2 — объемы выборок для оценки of и а\ соответственно.Алгоритм применения критерия Фишера следующий: 1) вычисляется выборочноеотношение F=S\lS\\ 2) определяется число степеней свободыfc,=N1—1 и к2 =N2 — 1;3) при выбранном уровне значимости у по таблицам /'-распределения находятсязначения границ критической области Fi = l/[Fi-y/2(k1, k2)]; F2=Fi^y/2(k1, k2);4) проверяется неравенство F1£l^F2iесли это неравенство выполняется, тос доверительной вероятностью /? нулевая гипотеза Н0: а\=а\ может бытьпринята.Хотя рассмотренные оценки искомых характеристик процессафункционирования системы S, полученные в результате машинногоэксперимента с моделью Л/м, являются простейшими, но охватывают большинство случаев, встречающихся в практике обработкирезультатов моделирования системы для целей ее исследованияи проектирования.2'-77.2.
АНАЛИЗ И ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВМАШИННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯВозможность фиксации при моделировании системы S на ЭВМзначений переменных (параметров) и их статистическая обработкадля получения интересующих экспериментатора характеристик позволяют провести объективный анализ связей между этими величинами. Для решения этой задачи существуют различные методы,зависящие от целей исследования и вида получаемых при моделировании характеристик. Рассмотрим особенности использованияметодов корреляционного, регрессионного и дисперсионного анализа для результатов моделирования систем [7, 11, 18, 21, 25, 46].Корреляционный анализ результатов моделирования.
С помощьюкорреляционного анализа исследователь может установить, насколько тесна связь между двумя (или более) случайными величинами,наблюдаемыми и фиксируемыми при моделировании конкретнойсистемы S. Корреляционный анализ результатов моделированиясводится к оценке разброса значений г\ относительно среднего значения у, т. е. к оценке силы корреляционной связи. Существованиеэтих связей и их тесноту можно для схемы корреляционного анализа у=М[г]1£=х] выразить при наличии линейной связи между исследуемыми величинами и нормальности их совместного распределения с помощью коэффициента корреляциигь=м#-м[яьм[г1-мш1>/вщш==М[£-к]М[т,-11Ж<Гп0д,т.
е. второй смешанный центральный момент делится на произведение средних квадратичных отклонений, чтобы иметь безразмернуювеличину, инвариантную относительно единиц измерения рассматриваемых случайных переменных.Пример 7.1. Пусть результаты моделирования получены при N реализациях,а коэффициент корреляцииКL (*к-*)(Ук-5!)•_>-i1»Z хкУк-Nxyt^iОчевидно, что данное соотношение требует минимальных затрат машиннойпамяти на обработку результатов моделирования. Получаемый при этом коэффициент корреляции |г{ 4 |<1.
При сделанных предположениях »"{, = 0 свидетельствуето взаимной независимости случайных переменных ^ и п. исследуемых при моделировании (рис. 7.1, а). При |г{,| = 1 имеет место функциональная (т. е. нестохастическая)линейная зависимость вида y=ba + b1x, причем если Г{» > О, то говорят о положительной корреляции, т.
е. большие значения одной случайной величины соответствуютбольшим значениям другой (рис. 7.1, б). Случай 0<Г{,<1 соответствует либоналичию линейной корреляции с рассеянием (рис. 7.1, в), либо наличию нелинейнойкорреляции результатов моделирования (рис 7 1, г).248а)У5)Ъч=0Ъп='в)0<г^1г)00^ОРис.
7.1. Различные случаи корреляции переменныхДля того чтобы оценить точность полученной при обработкерезультатов моделирования системы S оценки г(т целесообразноввести в рассмотрение коэффициент w=ln[(l+r { ,)/(l— г{,)]/2, причем vv приближенно подчиняется гауссовскому распределению сосредним значением и дисперсией:д,=1п[(1 +r f ,)/(l -r{„)]/2, ol= 1/(ЛГ-3).Из-за влияния числа реализаций при моделировании Л" на оценкукоэффициента корреляции необходимо убедиться в том, что0^Г{,<1 действительно отражает наличие статистически значимойкорреляционной зависимости между исследуемыми переменнымимодели Мм.
Это можно сделать проверкой гипотезы Н0: Г{,=0. Еслигипотеза Н0 при анализе отвергается, то корреляционную зависимость признают статистически значимой. Очевидно, что выборочное распределение введенного в рассмотрение коэффициента w приГ{,=0 является гауссовским с нулевым средним /^=0 и дисперсиейal—(N— 3) - 1 . Следовательно, область принятия гипотезы Я 0 определяется неравенством-2«,2<v^V=3 ln[(l +г{„)/(1 -r{„)]/2<za/2,где 2а/2 подчиняется нормированному гауссовскому распределению.Если Г(п лежит вне приведенного интервала, то это означает наличиекорреляционной зависимости между переменными модели на уровне значимости у.При анализе результатов моделирования системы S важно отметить то обстоятельство, что даже если удалось установить тесную зависимость между двумя переменными, то отсюда еще непосредственно не следует их причинно-следственная взаимообусловленность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
