Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Графическиизобразим уравнения (6.5). На рис. 6.5, а приведен график отношения (q In q)jk как функции числа уровней q при изменении числафакторов к от 1 до 5. Если отношение (q In q)jk> 1 при данных к и q,то доминирует число факторов к. Если это отношение меньше 1, тодоминирует число уровней q.225в)5)а)i/plnqi1k If1ft-.l 2f,3i77"II1 J1hАр21J'А Ii\Г*/\\ \\5"i£.p--iITt 2 3 b q w "j г J и q"1 2 3 4 qРис. 6.5. Графическое изображение зависимостей:а — gbaglh, 6—gl(kp)\ г — l/(pln«) в функцииНа рис. 6.5, б приведен график зависимости отношения qj{kp) отчисла уровней q для величин произведений кр в пределах от 1 до 5.Если в данном случае q/(kp)> 1, то доминирует число повторений р,а если q/(kp)<l, то доминирует число уровней q.На рис.
6.5, в показан график зависимости отношений 1/(р1п?)от числа уровней q для числа повторений р, изменяющихся в пределах от 1 до 10. Если 1/(р1п?)> 1, то доминирует число повторенийр, а если lj(p In q) < 1, то доминирует число факторов к.Пример 6.6. Пусть при составлении плана машинного эксперимента требуетсяоценить, какая переменная играет доминирующую роль в сокращении полного числамашинных прогонов модели N при it=4, 9=3, р=3. Воспользуемся рис. 6.S, а: для?=3 и fc=4 отношение (qiaq) к<1, т.
е. число уровней q доминирует над числомфакторов к. Исходя из рис. 6.5,6, для q=3, кр=8 имеем qj(kp) < 1, т. е. число уровнейq доминирует над числом повторений р. И наконец, воспользовавшись рис. 6.5, в,видим, что для 9—3 и/>=2 отношение 1/(рш?)<1, т. е. число факторов А: доминируетнад числом повторений р.Таким образом, использование при стратегическом планировании машинных экспериментов с Мм структурных и функциональныхмоделей плана позволяет решить вопрос о практической реализуемости модели на ЭВМ исходя из допустимых затрат ресурсов намоделирование системы S.63. ТАКТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ МАШИННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВС МОДЕЛЯМИ СИСТЕМТактическое планирование эксперимента с машинной модельюМы системы S связано с вопросами эффективного использованиявыделенных для эксперимента машинных ресурсов и определениемконкретных способов проведения испытаний модели Мы, намеченных планом эксперимента, построенным при стратегическом плани226ровании.
Тактическое планирование машинного эксперимента связано прежде всего с решением следующих проблем: 1) определенияначальных условий и их влияния на достижение установившегосярезультата при моделировании; 2) обеспечения точности и достоверности результатов моделирования; 3) уменьшения дисперсии оценок характеристик процесса функционирования моделируемых систем; 4) выбора правил автоматической остановки имитационногоэксперимента с моделями систем [36, 37, 46].Проблема определения начальных условий н их влияния на достижение установившегося результата при моделировании.
Перваяпроблема при проведении машинного эксперимента возникает вследствие искусственного характера процесса функционирования модели Мм, которая в отличие от реальной системы S работает эпизодически, т. е. только когда экспериментатор запускает машиннуюмодель и проводит наблюдения.
Поэтому всякий раз, когда начинается очередной прогон модели процесса функционирования системыS, требуется определенное время для достижения условий равновесия, которые соответствуют условиям функционирования реальнойсистемы. Таким образом, начальный период работы машинноймодели Мм искажается из-за влияния начальных условий запускамодели. Для решения этой проблемы либо исключается из рассмотрения информация о модели Мм, полученная в начальной частипериода моделирования (0, 7), либо начальные условия выбираютсятак, чтобы сократить время достижения установившегося режима.Все эти приемы позволяют только уменьшить, но не свести к нулювремя переходного процесса при проведении машинного .эксперимента с моделью Мы.*Проблема обеспечения точности н достоверности результатов моделирования.
Решение второй проблемы тактического планированиямашинного эксперимента связано с оценкой точности и достоверности результатов моделирования (при конкретном методе реализации модели, например, методе статистического моделирования наЭВМ) при заданном числе реализаций (объеме выборки) или с необходимостью оценки необходимого числа реализаций при заданныхточности и достоверности результатов моделирования системы S.Как уже отмечалось, статистическое моделирование системыS — это эксперимент с машинной моделью Мы.
Обработка результатов подобного имитационного эксперимента принципиальноне может дать точных значений показателя эффективности Е системы S; в лучшем случае можно получить только некоторуюоценку Е такого показателя. При этом экономические вопросызатрат людских и машинных ресурсов, обосновывающие целесообразность статистического моделирования вообще, оказываютсятесно связанными с вопросами точности и достоверности оценкипоказателя эффективности Е системы S на ее модели Мм[4,7, 11, 18,21,25].227Таким образом, количество реализаций N при статистическоммоделировании системы S должно выбираться исходя из двух основных соображений: определения затрат ресурсов на машинныйэксперимент с моделью Мм (включая построение модели и ее машинную реализацию) и оценки точности и достоверности результатов эксперимента с моделью системы S (при заданных ограничениях не ресурсы).
Очевидно, что требования получения более хороших оценок и сокращения затрат ресурсов являются противоречивыми и при планировании машинных экспериментов на базестатистического моделирования необходимо решить задачу нахождения разумного компромисса между ними.Из-за наличия стохастичности и ограниченности числа реализаций N в общем случае Ё^Е. При этом величина Е называетсяточностью (абсолютной) оценки:вероятность того, что неравенство|Е-Ё|<е,(6.6)выполняется, называется достоверностью оценки2 = Р{|Е-Ё|<Б}.(6.7)Величина Е 0 =Е/Е называется относительной точностью оценки,а достоверность оценки соответственно будет иметь вид0=Р{|(Е-Ё)/Е|<£ О }.Для того чтобы при статистическом моделировании системыS по заданвым Е (или Е0) и Q определить количество реализацийN или, наоборот, при ограниченных ресурсах (известном N) найтинеобходимые Е и Q, следует детально изучить соотношение (6.7).Сделать это удается не во всех случаях, так как закон распределениявероятностей величины |Е—Ё| для многих практических случаевисследования систем установить не удается либо в силу ограниченности априорных сведений о системе S, либо из-за сложностивероятностных расчетов.
Основным путем преодоления подобныхтрудностей является выдвижение предположений о характере законов распределения случайной величины Ё, т. е. оценки показателяэффективности системы S.Рассмотрим взаимосвязь точности и достоверности результатовс количеством реализаций при машинном эксперименте, когда в качестве показателей эффективности Е выступают вероятность р,математическое ожидание а и дисперсия аг.Пусть цель машинного эксперимента с моделью Мм некоторойсистемы S — получение оценки р вероятности появления р=Р(А)некоторого события А, определяемого состояниями процесса функционирования исследуемой системы S. В качестве оценки вероятности р в данном случае выступает частость p=m/N, где т — числоположительных исходов.228Тогда соотношение (6.7), связывающее точность и достоверность оценок с количеством реализаций, будет иметь видР {\p-m/N]<E} = Q, Р {p-E<m/N<p+E}=:Q.(6.8)Для ответа на вопрос о законе распределения величины p=mjNNпредставим эту частость в виде p=m/N—(l/N) £ xit так как колиi= lчество наступлений события А в данной реализации из N реализаций является случайной величиной £, принимающей значения х 1 = 1с вероятностью р и х2=0 с дополнительной вероятностью 1— р.Математическое ожидание и дисперсия случайной величины £, будуттаковы:М[^] =х1р+х2(1-р)=1р+0(1-р)=р;D№ =(x1-M)[Z\)2P+(x2-M№(l-p)=(l-p)2p++(0-p)i(l-p)=p(l-p).ТогдаM\p\ = M[mlN\ = (llN)M\ % xA =(\/N)NM[^p.Это соотношение говорит о несмещенности оценки р для вероятности р.
С учетом независимости значений величин х, получимВ Й = Д [ т ^ = (1/^)/) Г £ х,1=(1/Л*ДОК]=р(1-/0/МВ силу центральной предельной теоремы теории вероятностей[или ее частного случая — теоремы Лапласа, см. (4.8)] частостьm/N при достаточно больших N можно рассматривать как случайную величину, описываемую нормальным законом распределениявероятностей с математическим ожиданием р и дисперсиейр(\ —p)/N. Поэтому соотношение (6.8) с учетом (4.8) можно переписать так:Р {,-.<=<,+.ЦФ.
(^L{NJWPQ-P)0А-ФОJto.\y/p(i-p)^W)Учитывая, что Ф0 (—z) = 1 — Ф0 (z), получим2Ф0 (в VX/VP^P)^1 + Ql Фо(е y/N/y/p(l-p))= (l + 0 / 2 = q>.Тогдав л/ЛГ/л//>(1-/») = /„229где t9 — квантиль нормального распределения вероятностейпорядка р=(1 + 0 / 2 ; находится из специальных таблиц [18, 21].В результате точность оценки р вероятности р можно определить какe = t9Jply^)iN,т. е. точность оценки вероятностей обратно пропорциональнау/Й.Из соотношения для точности оценки е можно вычислить количество реализацийN=tlp(l-p)lE2,(6.9)необходимых для получения оценки р с точностью е и достоверностью Q.Пример 6.7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
