Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем (3-е изд., 2001) (1186218), страница 51
Текст из файла (страница 51)
На основании случайных факторов могутбыть сделаны вероятностные выводы и о тех значениях факторов,которые в эксперименте не исследовались.В машинных экспериментах с моделями Мм не бывает неуправляемых или ненаблюдаемых факторов применительно к исследуемой системе S.
В качестве воздействий внешней среды Е, т. е.неуправляемых и ненаблюдаемых факторов, в машинной имитационной модели выступают стохастические экзогенные переменные.Если имитационная модель сформулирована, то все факторы определены и нельзя во время проведения данного эксперимента (испытания) с моделью Мм вводить дополнительные факторы.Как уже отмечалось, каждый фактор может принимать в испытании одно или несколько значений, называемых уровнями, причем фактор будет управляемым, если его уровни целенаправленновыбираются экспериментатором. Для полного определения фактора необходимо указать последовательность операций, с помощью которых устанавливаются его конкретные уровни.
Такое определение фактора называется операциональным и обеспечивает однозначность понимания фактора.Основными требованиями, предъявляемыми к факторам, являются требование управляемости фактора и требование непосредственного воздействия на объект. Под управляемостью фактора понимается возможность установки и поддержания выбранного нужногоуровня фактора постоянным в течение всего испытания или изменяющимся в соответствии с заданной программой.
Требование непосредственного воздействия на объект имеет большое значение в связи с тем, что трудно управлять фактором, если он является функцией других факторов.При планировании эксперимента обычно одновременно изменяются несколько факторов. Определим требования, которые предъявляются к совокупности факторов. Основные из них — совместимость и независимость.
Совместимость факторов означает, что всеих комбинации осуществимы, а независимость соответствует возможности установления фактора на любом уровне независимо отуровней других.При проведении машинного эксперимента с моделью Мы дляоценки некоторых характеристик процесса функционирования исследуемой системы S экспериментатор стремится создать такиеусловия, которые способствуют выявлению влияния факторов, находящихся в функциональной связи с искомой характеристикой.Для этого необходимо: отобрать факторы х„ i=\, k, влияющие наискомую характеристику, и описать функциональную зависимость;211установить диапазон изменения факторов xiBiD-i-xlBia;определить координаты точек факторного пространства {хи хг, ..., хк}, в которыхследует проводить эксперимент; оценить необходимоечисло реализаций и их порядок в эксперименте.Свойства объекта исследования, т.
е. процесса машинного моделирования системы S, можно описыватьс помощью различных методов (моделей планирова*2тохния). Для выбора -конкретной модели необходимоРис. 6.1. Геометрическое представление поверх сформулировать такие еености реакцииособенности, как адекватность, содержательность, простота и т. д.
Под содержательностьюмодели планирования понимается ее способность объяснять множество уже известных фактов, выявлять новые и предсказывать ихдальнейшее развитие. Простота — одно из главных достоинств модели планирования, выражающееся в реализуемости экспериментана ЭВМ, но при этом имеет место противоречие с требованиямиадекватности и содержательности.Для экстремального планирования экспериментов наибольшееприменение нашли модели в виде алгебраических полиномов.
Предполагаем, что изучается влияние к количественных факторов xhi=\,k, на некоторую реакцию ц в отведенной для экспериментирования локальной области факторного пространства G, ограниченной Xit^—Xian, 1=1, к (рис. 6.1 для случая к=2). Допустим, чтофункцию реакции ф(хи хг, ..., хк) можно с некоторой степеньюточности представить в виде полинома степени d от к переменныхПоверхностьреакции ^(л,,х 2 )П=Ь0+ 2) b,Xi+ £к/<*]</</<*b,jx,Xj+...+£/„ /,btl,itik(6.1)который содержит С *+</ коэффициентов.Соотношение (6.1) может быть представлено как(6.2)212где/(х) — вектор с элементами f,(x), a=0,k', входящими в исходный полином; В — вектор коэффициентов, которые соответственноимеют такой вид:?(*)=ll/"o(*X/i(*)Л(х)\\, k' = Ci+d-U* = Ц1» •••» 1 ; * i > •••» хк; xi}...,хк\xtx2, ....
Xk-\Xk;...; д?5, ..., хк, xt~ x2, ..-,B = \\b0; Ь1г...,Ьк; ЬХ1,...,O1...12х^у-ц.-.х^^ц;Ь^; Ь12, ..., 6^-i)*; —', А1...1. •••» Ьк^;V-w-ia^*-«-1Введем фиктивную переменную х 0 = 1 , а также переменные-*к+1 = -*1> Хк+2 = Х2, ..., Хгк+1 = Хк,Xlk+2=X1X2,..., Хк- =Хк-ц-\у..Хк^Хк.Тогда (6.1) запишется как однородное линейное уравнение вида7=?(j?)!= £ шх)= I &*.,«=0bk=bk; ь'к+1=ьигде ЬЬ=Ь0; Ь[=Ь1г...,=b12,...,(б.з)«=0b'ik+\=*b>*> * a + 2 =6fc'=6[*_(<'-i)].(*-i)*-Для оценки коэффициентов в (6.3) можно применить методылинейной регрессии [10, 18, 21, 22].Пример 6.1. Аппроксимация полиномов второго порядка функции реакции в однофакторной модели планирования может быть представлена в видеБолее сложные объекты требуют применения полиномиальных моделей планирования большего порядка.
Так, модель второго порядка вfc-факторномэксперименте будет иметь вид*** .f = * o + Z *I*I+ £ *"*?+ Т. bvx>xrI-li-li+)На практике часто стремятся к использованию линейной модели планирования,преобразуя исходные полиномиальные модели. Например, модель второго порядка** *f = Z 6 <*' + £ Е bux>xj1-0i-l j-1213может быть преобразована к линейному виду путем введения фиктивных переменныхxij^xixj. Тогда в результате полутается модель множественной линейной регрессиивида** *1-01-1J-1Функция реакции может иметь и более сложную зависимость отфакторов. В этом случае некоторые из них удается привести к линейному виду. Такими моделями являются мультипликативная,регрессионная, экспоненциальная и др. [18, 21, 46].Если выбрана модель планирования, т. е. выбран вид функцииТ1=ф(х1, х2,..., хк) и записано ее уравнение, то остается в отведеннойдля исследования области факторного пространства G спланировать и провести эксперимент для оценки числовых значений констант (коэффициентов) этого уравнения.Так как полином (6.2) или (6.3) содержит (fk+d коэффициентов,подлежащих определению, то план эксперимента D должен содержать по крайней мере JV> С *+<г различных экспериментальных точек:х21• ••хк1х12 х22.
..хаХш•• •*11X2NXkNгде хы — значения, которые принимает i'-я переменная в и-м испытании, i = l , к, ы=1, N.Реализовав испытания в N точках области факторного пространства, отведенной для экспериментирования, получим вектор наблюдений, имеющий следующий вид:У =УхУгУнгдеу и — реакция, соответствующая ы-й точке плана хи= \\х1и, х^, ...,XfeJ. U=TTN.При незначительном влиянии неуправляемых входных переменных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями управляемых переменных в планировании эксперимента предполагаетсяверной следующая модель:214yu=riu+cu=<pu(x)+eu=b0x0u+b1xltt+...+bkxku++ bk+1xk+lu+... + bk-xk-u+eu, k'=CUd_u «=1> N,где eu — ошибка (шум, флуктуация) испытания, которая предполагается независимой нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием Af[ej=0 и постоянной дисперсией D[eu]=aze=const.Выписав аналогичные соотношения для всех точек планаu — \,N, получим матрицу планированияжт*01Х*02х\1Х21•"Хк1Хк+П•••Хих12—хк2**+12—хX2N•••XkNXjfc+UV...XON X\sК\кгХццразмерностью Nx (k'+1).Рассмотрим особенности планирования эксперимента для линейного приближения поверхности реакции, причем построению планапредшествует проведение ряда неформализованных действий (принятие решений), направленных на выбор локальной области факторного пространства G (рис.
6.1).Вначале следует выбрать границы x/min и x /miI области определения факторов, задаваемые исходя из свойств исследуемого объекта,т. е. на основе анализа априорной информации о системе S и внешней среде Е. Например, такая переменная, как температура, притермобарических экспериментах принципиально не может быть ниже абсолютного нуля и выше температуры плавления материала, изкоторого изготовлена термобарокамера.После определения области G необходимо найти локальнуюподобласть для планирования эксперимента путем выбора основного (нулевого) уровня хт и интервалов варьирования Ах1г г'=1, к.В качестве исходной точки х,0 выбирают такую, которая соответствует наилучшим условиям, определенным на основе анализааприорной информации о системе S, причем эта точка не должналежать близко к границам области определения факторовxjmin и ximax.
На выбор интервала варьирования Ах, накладываютсяестественные ограничения снизу (интервал не может быть меньшеошибки фиксирования уровня фактора, так как в противном случаеверхний и нижний уровни окажутся неразличимыми) и сверху(верхний и нижний уровни не должны выходить за область определения G).215В рамках выбранной модели планирования в виде алгебраических полиномов строится план эксперимента путем варьированиякаждого из факторов xt, i—l, к, на нескольких уровнях q относительно исходной точки х,0, представляющей центр эксперимента.Виды планов экспериментов. Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полнымфакторным экспериментом (ПФЭ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
