Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло (1973) (1186217), страница 31
Текст из файла (страница 31)
пусть бэ — одноролный шар радиуса ?г=-1 н цея!,279,  — йа, где ! й=!,724. В а~рог! 9 (Р) =1 н 1(Р? ==е)!. Плотность начальной точки !9э заладим формулон Р=(2нРга) ', где г,— расстоякне Ол от центра шара. Плотность вероятностей перехода р(Р, Р') Рнг:1. пз точки Р в точку Р' выберем так, ~тобы в знаменателе стояла величпна (Р--Р')' (ср. гл 3, п. 3.23). ?(лп этого вос!юльзуемся сфернческпш! координатами (р, ф, В) с центром в !очке Р (рнс. 51). Пусть р(Р, Р')=сге сяРпрэР(Р, ы)) где Р(Р, ы) =1 — ехр( — ц1), а 1 — расстояние Рй по направлению ы от точки Р до границы шара. Нетрудно проверитж что =Х .г 4т (Р, ь!) З рл 2 4л ол о так что р(Р, Р') действительно есть условная плотность вероятностей.
Выведем формулы для расчета траектории Тг. Расстояние от начальной точки !2э до центра шара вычисляется по формуле гэ=?7)' у. Две другие координаты можно не разыгрывать из-за симметрии залачн Направление слл чайного луча Р'=()г+ рай из точки ч?! определяется велнчинамн р! = соа Э! и !р!. Первую нз ннх можно вы- Однородные интегрлльные РРлВнения !О! $41 чпслять по формуле р; =2Т вЂ” 1, а вторую (пз сообрзгксппй симметрии) могкно полагать равной иул!о 4р, =О. Расстояние от точки !41 по направлению шг до гранины шара равно где гг — расстояние от 441 до пептра шара. Если обозначить гг = р (()1, ыг), то, очевплио, рз =1 — ех!'( а(1).
Для определения случайного расстояния р! — †)01+1 — ч,), получаем уравнение Рг ) аз аз4(зев Тг'1, о откуда следует, что рг= — (1(а)1п(1--у г ! ). Вычислив точку 4)1+1= = !2! -) Ргюм можем найти расстояние от нее до центра шара гг+1 = )г с! + рг+ 2ргрггг т/ 2 2 Так как гр(Р) им1, 4Р(Р) =О, то (по формуле (6)) ну!кива нам величина равна 01 ы14,((1)=2л()огай"1 Так как из (5) следует, что йтг=)Р1 Ьгг а !Рс=!, то легко получить рекуррентну!о формулу для расчета непосредственно 61: Оа = 2пОЮз 6! = 61 — 1ЬР1 — 1 Полный набор расчетных формул.
1) Начальная точка траектории: г,=)!)Гу,! 6,=2пОВе. 2) Звено номер 1+1 (1=0, 1, .. ч 1-1): р) — — 2у 1+ — 1; !1 — — р.г + )/((з — гз (1 — рз()1 — о11 т =1 — е 1; р = — (1(а) 1п(1 — у 1+зг()1 01Р— — О Ьр)1 г = ~/42+ р. -)-2!4(р(г(. 2 З) Если 01, — значение 61, полученное при расчете траектории номер з, то нузгные нам скалярные произведен!!я(К11, 11) приближенно равны !92 Р!»!ПГН!!Е ЛР!НЕГСН!»!Х УРА ~ГЛ 6 ВНЕНИР! со СО о СО со и» С%СО 0 ОООООО с»: » с' С-" ~СЭисО 888 сосЕО, Ои» » Сч:СОС»О Э С ООСО, Ямо888 СЧ 4 с- -»--. и о . соси сч О О О Я Я о с»с»мс сч С О, ООЭС4 СР со ' Я О» Я С4 О яс! ясия о О» СО С» Со ОВ, и ОЧ оооЯЯО С» со ОС4СО! 'С' ОВО СРС Ос3 ЯЯЯ .с'С ОСООСО О ОО И»СО 80оооЯ СЭ и» О» О СРС'» со сом и- сосч ЯОЯЯОО со ср "'. О О СОСОСОЭЭО»СО О» О С» Си О М ом» со ОЕС с»и»ос О о с» Си 00 00 00 00 СО 00 С О С М СО со СЧ М С» О СО ОСС» Со'4'С! С4 сО с Э С ! О» СО 00 00 СО СО СО Ос1 О»О»СЭ алсос срс-с-»о СО М Со С- О СО ио СЧ СР СО 04 СЧ О» СО СО 00 СО СО Со М СО О О 00 СО и»соус сомо СО ОО:С ОЭср СЧ О СО сЧ Й О» СО СО ОЭ СО со ср СЕ»ос»со О сч' .со о сч у м с- О СО СО СО 00 ср а» О о со»-Ос-! й; ..-.--.
д я со ю ср со О 00 СО 00" СО СО СО О СР О О СО Ф ИЭ Сч»СОСО ИСОСОО О» СО 00 00 СО СО СО 0 СО СО СР со СЧ О»С'»М "ОО С' МИЭОС И»О О С'4 'О ~ Ф3 СЧ Сч Со СО 00 СО 00 СО СО и~о О» оэс'»ср сч счм ссиэ Йсомсос~ с СЧО» ОСОСЧ О О» СО 00 00 00 00 СО СО О СЧО»СОСО СОСОО ВЧ'С'4 о»о ассмо очи» Ососч 00 в" со со со"а"со с " '.с О » ! 4 и решении линеиных ллгенрчических систвм 193 В табл 1 приведены значения(К)1, Р)ю полученные прн расче'- те по этим формулам, а в табл.
2 — соответствующие отношения лсп = (К)1, 5)„у(К'+с), 5)„. При расчете этого же примера методом характернстшс') получено значение )сс=!,000. В ходе расчета были сосчитаны дисперсии !)ОН которые при 1=0, 1, ..., б равны соответственно !07; 21,9; 37,3; 37,3;:81,1; 1!0,9; 147,0. Если по этим дисперсиям вычислить вероятные ошибки величин (К ! 5)м, например, при йс=йс», то получим значения гсм! ) =0,07; 0,10; 0,13; О,!7; 0,19; 022; 0,28 Нетрудно заметить, что погрешности соответствующих величин (К)1, 5) при йс=2сч в табл. 1 на порядок меньше, чем г„м (если судить по изменениям этих величин с ростом У). Это вызвано тем, что пример считался с помопсью детерминврованных псевдослучайных точек, о которых речь пойдет в гл. 7.
й 5. Решение линейных алгебраических систем 5.1. Алгебраическая система как частный случай интегрального уравнения, Рассмотрим линейную алгебра. ическую систему, состоящую из т уравнений с т неизвестными гс,..., г„: га = Х оа!сгй +!а~ 1 ~(сс'с тс (55) р=! которую сокращенно будем записывать как «=А«+). (56)' Запись (56) можно считать одним векторным уравневием, где «= (гь ° ., г„) и 1'= (1'с, ..., ) ) — т-мерные векторы, А=(аар) — квадратная матрица размера тХт (которая определяет линейное преобразование в пространстве векторов): (Аг) = Д ааргр.
й=! Скалярное произведение векторов будем по-прежнему ° ) Метод кврактеристик (1!) позволяет находить решения ураанепия (04) с большой точностью, но практически применим только в случае достаточно простой чгеометрии» области ба. 13 и.м. соечаь РЕШЕНИЕ ЛННЕЯНЫХ УРАВНЕНИЯ !Гл 6 !9А обозначать скобкой в )=Х~:.. Рассмотрим интегральное уравнение вида (25) г (х) = ) К(х, х') г(х') ах'+7'(х), с (57) $ 2 Ю 1 м-/ и ю 7' Рве. 52. 6= 6,+... +6,„ (рис. 52).
В качестве свободного чле- на и ядра уравнения (57) выберем кусочно постоянные функции ~(х) =( прп »~6а, Й(» х ) — Оав при хлеба, х с=ба, Для такого уравнения прп хенба 2(х)= ~',~ 1К(х х)2(х)ах +га=х~ пав~2(л)с»+га. аеч са Е=1 * сз И так как последнее выражение от х не зависит, то решение г(х) постоянно в 6„. Обозначив 2 (х)~с = га, (58) сможем переписать последнее уравнение как га = ..~ Оаа2а + Га Ь=! Следовательно, решение г(х) урагпения (57) представляет собой функцию, постоянную в каждом из ба, значения г„ которой на этих отрезках удовлетворяют где в качестве 6 выберем отрезок оси абсцисс 0(х -'Оь Обозначим через 6а отрезки а — 1~»(а, так что $51 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЯНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1ЭЗ алгебраической системе (55).
Обратно, если (гь ..., еа) — решение системы (55), то формула (58) определяет решение уравнения (57). 6.2. Случайная цепь для решения алгебраической системы. Очевидно, все методы Монте-Карло, приведенные в $ 2, применимы для оценки решений уравнения (57) н дают нам возможность оценить решение системы (55). Однако специфика уравнения (57) позволяет упростить этн методы и дать им иную интерпретацию. Так как 1(х), К(х, х') и г(х) постоянны при Х~О, х'енОЕ, то естественно выбирать плотности р(х) и р(х, х') также постоянными Р(х) =Ра ИРи х~Оа, Р(Х, Х ) Раз ПРИ Хе:Оа, Х Е О!1.
(59) Величины ра и раз, очевидно, должны быть неотрицательными и удовлетворять условиям нормировки Хр =1, Хрз=1 ° (60) а'=1 а=! где начальные вероятности р„ и вероятности переходов р з должны удовлетворять условиям нормировки (60). 13' Правила (59) можно интерпретировать как равномерное распределение случайной точки внутри соответственно О или Оа. Можно, однако, совсем отказаться от фиксации положения этой точки и говорить только об отрезке, в котором эта точка расположена.
Тогда р — это вероятность того, что начальная точка траектории попадет в Оа, а р в в вероятность того, что случайная точка из Оа перейдет в Оэ. При такой интерпретации вместо траектории Т, случайной точки достаточно рассмотреть последовательность случайных номеров й,— й! (61) тех отрезков О в которые эта точка попадет. Итак, для решения системы (55) мы будем строить цепь случайных номеров (61), каждый из которых может принимать значения 1, 2, ..., и.
Правила построения цепи (61): Р(йь сс) =Раю Р(й!аааг)й1-1=а) =Раз, (бк) РЕШЕНИЕ ЛИНГЛНЫХ УРЛЕНЕНИИ !Гл о (64) В теории вероятностей такие цепи называются цепями Маркова с конечным числом н1 состояний [711. Веса Ьт» вдоль цепи (61) вычисляются по формуле а« « «« « ... а« 1Г! = (63) Р»,«,Р»,«, ° ° Р» « 1 — 11 или по рекуррентной формуле )р'1= )р'! ~(а» «ур», 1,,), Чт, = 1. 11! !11' Формулы зти — следствие (4) и (5). Условимся говорить, что распределение вероятностей (рь ..., р„) допустимо по отношению к вектору »р=(фи..,, «р„), если для тех а, для которых ~„ФО, значение р )О.
Аналогично распределение (р о) допустимо по отноп!ению к матрице А=(а в), если р в)О для тех пар (а, р), для которых а„оМО. Как известно, нз теории матриц, для того чтобы О ряд Х Ат! сходился для любого вектора 1, необходимо ! о и достаточно, чтобы все собственные значения 1«=р„ матрицы А, представляющие собой корни уравнения йе1 (а„о — рб а) =О, лежали внутри единичного круга (на комплексной плоскости): ( р~! (1 прн с«=1, 2, ..., ш. Достаточным условием может служить неравенство ги П! ~~"„а11 " 1 нли неравенство шах ~ 1а1!( < 1.
И!=0 1~~ т 1'=1 Сформулируем для системы (55) теорему, вытекающую из теоремы 4 (~ 2). Пусть бесконечная цепь йо-.й!- ... — й» вЂ” ... строится по правилам (62), где р, и р з допустимы по отношению к ф и (а„о) соответственно, и рассмотрим случайную величину О ь(ф) = (ф»ур».) л' ург!« ° 1=о ! Теорема 8. Если все собственные значения р„матрицы (1а„о1) по абсолютной величине меньше единицы, то л«атематическое ожидание случайной величины ~[ф) равно МЕЩ = («р, 2). (65) а! РЕшЕНие лИИЕЙИЫХ АЛГЕЕРАИчЕСКИХ СИСТЕМ г!!7 Повторим доказательство со стр, 177 применительно к рассматриваемому слу ~аю.
Так как Р ("е = 7е ° л! = 7!) = Рг,РЫ, ° ° ° РО то, принимая во внимание !63), получим, что Затем м. [ р! =. Х м ((рь„ула„) н'7!А,.1 = Х (1р А70 = Ор '1 7=0 7=0 причем существование этого математического ожидания обеспечивается условиями теоремы Если какие-нибудь из элементов матрицы (а„р) раины нулю, то обычно целесообразно выбрать соответствующие вероятности перехода р Е=О (ср. п. 3.2.1 гл, 3). В протнвном случае, если в цепи окажется переход йч: -ь йь которому отвечает ра а ) 0 и па а = О, ! — ! ! 7-! ! то из (63) видно, что все 577=%7ю — — ... — — 0; можно считать, что цепь, попав в йь останавливается: любые дальнейшие переходы й,-ьй,+,ч-...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
